Funciones para séptimo grado

Por un lado, las funciones son un concepto bastante abstracto, pero por otro lado es un tema muy útil en muchas áreas de las matemáticas. El tema de las funciones domina muchas áreas, incluyendo álgebra, trigonometría, cálculo diferencial y de integrales y más. Por lo tanto, es importante comprender el concepto de las funciones, para que se pueda aplicar en cualquiera de los campos de las matemáticas, y especialmente cuando comenzamos a aprender funciones en séptimo grado. 

¿Qué es una función?

Una función expresa una relación entre dos variables (X e Y)

  • \( X \) representa una variable independiente 
  • \( Y \) representa una variable dependiente

Una variable independiente \( (X) \) es una constante no variable por la cual explicamos Y, la variable dependiente

Por ejemplo , si el dato es que Romina trabajó como niñera y ganó 30 pesos por hora y queremos saber cuánto ganó Daniela después de 10 horas, la cantidad de horas que trabajó es en realidad la variable independiente \( (X) \) con la que sabemos cuánto ganó. En definitiva esta es la variable dependiente. \( (Y) \)

En otras palabras, se puede decir que la cantidad que ganó Daniela es en función del número de horas que trabajó \( (X) \).
Marcaremos los datos de la función algebraicamente de esta forma: \( fx=X\times30 \)

Es importante recordar que cada elemento en el área \( X \) siempre tendrá solo un elemento en el rango \( Y \).
Esto significa que no puede ser que durante las 10 horas que trabajó Romina, recibió tanto 300 pesos como 200 pesos.

Ahora la explicación matemática de una función

Supongamos que tenemos ante nosotros dos grupos diferentes, un primer grupo y un segundo grupo, y cada grupo tiene elementos que pertenecen únicamente a un mismo grupo. Una función es en realidad nuestra capacidad para colocar a cada miembro del primer grupo un único miembro del segundo grupo. 

  • El primer grupo incluye elementos llamados "variables"
  • Mientras que el segundo grupo incluye los "valores de función" obtenidos para estas "variables". 

Como ya hemos mencionado, para cada variable existe un solo valor de función, pero para un valor de función específico puede haber varias variables. 

Variable ---------------------> Valor de función única

Marcador de funciones

Marcar una función es realmente la forma en que se escribe la función. En principio, la variable (es decir, el valor que se puede colocar en una función) se denota por \( x \) o cualquier otra letra del abecedario, mientras que el valor de la función para esa variable \( x \) se denota por \( f\left(x\right) \).

Representación de una función

Existen varias formas de representar una función. Los mencionaremos brevemente:

Es importante comprender que cada función se puede representar de las 4 formas descritas anteriormente y una parte importante de la comprensión del tema de las funciones es la capacidad de "convertir" una representación en otra representación.

Representaciones de una función

Tipos de funciones

Como se mencionó, el tema de las funciones es una asignatura muy amplia y se enseña desde el séptimo al duodécimo grado en diferentes niveles y marcos de diferentes materias.

  • Función lineal
  • Función cuadrática
  • Función polinómica
  • Función racional
  • Raíz de una función
  • Función trigonométrica
  • Función exponencial
  • Función logarítmica
  • Función con parámetros
  • Funciones pares
  • Funciones impares
  • Y más...

Características de una función

Es habitual analizar las funciones de acuerdo con las siguientes secciones:

  • Dominio de una función : los valores \( x \) que se pueden colocar en una función (para una explicación detallada de "Dominio de una función "). También hay funciones que no están definidas para determinados dominios o valores (consulte el artículo "Función no definida (Integral indefinida) ").
  • Puntos de corte con los ejes - Los puntos comunes de la función con el sistema de coordenadas.
  • Puntos extremos de una función : los puntos en los que la función cambia de manera ascendente a descendente y de descendente a ascendente.
  • Pendiente de una función : el ritmo a la que cambia una función (consulte el artículo "Ecuación con variable en el denominador ")
  • Áreas de ascendencia y descendencia de la función : las áreas \( x \) donde la función aumenta o disminuye (consulte el artículo "Áreas de aumento y disminución de la función ")

Características de una función

La función también puede ser:

  • Función constante : los valores de la función no cambian para todos los valores de \( x \)
  • Función creciente : los valores de la función aumentan a medida que aumentan los valores \( x \)
  • Función descendente : los valores de la función disminuyen al aumentar los valores de \( x \) 

Colocar un valor numérico dentro de una función

Se pueden colocar diferentes números en lugar de la \( x \).

Por ejemplo, si tenemos la función

\( f(x)=x+2 \)

Podemos colocar en lugar de \( x \) cualquier número que queramos. Para cada número que colocamos, obtenemos un valor de función diferente. 

Veamos algunos ejemplos: 

  • \( f(2)=2+2=4 \)
  • \( f(5)=5+2=7 \)
  • \( f(10)=10+2=12 \)
  • \( f(100)=100+2=102 \)
  • \( f(-5)=-5+2=-3 \)

Ejemplos y funciones de práctica para séptimo grado

Ejercicio N°1: 

Dada la función \( Y=X+5 \)

A. ¿Cuál es el tipo de función?

B. ¿Es constante la tasa de variabilidad (pendiente) de la función? Además, ¿cuánto vale la pendiente?

C. Dibuje la gráfica de la función  

Solución: 

A. Después de un vistazo rápido en la función, se puede determinar que la función es lineal. Esto se debe a que es la primera potencia de \( X \).

B. La tasa de variabilidad, es decir, la pendiente de una función lineal es constante e igual al coeficiente de \( X \). En nuestro caso, el coeficiente de \( X \) es igual a \( 1 \). Por lo tanto, la pendiente de la función también es igual a \( 1 \)

C. Para dibujar una función lineal, solo \( 2 \) puntos pueden ser suficientes. Agregaremos otro tercer punto para ponernos a prueba.

Para \( X=0 \) obtenemos \( Y=5 \)

Para \( X=1 \) obtenemos \( Y=6 \)

Para \( X=2 \) obtenemos \( Y=7 \)

Ahora marcaremos los puntos en el sistema de coordenadas y los uniremos:

Respuesta:

A. Función lineal

B. Pendiente igual a \( 1 \).

  1. A continuación se muestra el dibujo:

Ejercicio N°2: 

Dada la función \( F(x)=5X+3 \)

¿Cuánto vale la función para los siguientes valores \( X \)?

  • 0
  • 1
  • 2
  • -1
  • -2
  • -3
  • -4
  • 5
  • 6
  • 7

Solución: 

Colocaremos en la función los valores que tenemos ante nosotros en lugar de la \( X \) y obtendremos: 

  • \( f(0)=5x+3=5\cdot0+3=0+3=3 \)
  • \( f(2)=5x+3=5\cdot2+3=10+3=13 \)
  • \( f(1)=5x+3=5\cdot1+3=5+3=8 \)
  • \( f(-1)=5x+3=5\cdot(-1)+3=-5+3=-2 \)
  • \( f(-2)=5x+3=5\cdot(-2)+3=-10+3=-7 \)
  • \( f(-3)=5x+3=5\cdot(-3)+3=-15+3=-12 \)
  • \( f(-4)=5x+3=5\cdot(-4)+3=-20+3=-17 \)
  • \( f(5)=5x+3=5\cdot5+3=25+3=28 \)
  • \( f(6)=5x+3=5\cdot6+3=30+3=33 \)
  • \( f(7)=5x+3=5\cdot7+3=35+3=38 \)

Ejercicio N°3:  

Aquí están los siguientes dibujos:

Determine para cada dibujo si es una función ascendente, descendente o constante y explique por qué. 

Solución:

A. Esta es una función ascendente porque si miramos de izquierda a derecha, los valores de la función aumentan al aumentar los valores de \( x \).

B. Esta es una función descendente porque si miramos de izquierda a derecha, los valores de la función disminuyen al disminuir los valores de \( x \).

  1. Esta es una función constante porque si miramos de izquierda a derecha, los valores de la función no cambian en absoluto a medida que aumentan los valores de \( x \).

Respuesta:

A. Función ascendente

B. Función descendente

C. Función constante