Criterio de congruencia: Ángulo, Lado, Ángulo

En este artículo estudiaremos el segundo criterio de congruencia:

Ángulo, Lado, Ángulo

Definición:

2 triángulos en los que 2 de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos sean iguales son triángulos congruentes.

Atención: ¡Los dos ángulos deben ser contiguos al lado igual y correspondiente en ambos triángulos!

ΔABCΔDEFΔ ABC ≅ Δ DEF

nuevo imagen 2 triangulos congruentes

Para demostrar que 2 triángulos son congruentes podemos utilizar uno de los siguientes postulados:

Ejemplo 1 - Triángulos congruentes

Dados los triángulos ΔABCΔ ABC  y ΔDEFΔ DEF de modo que:
A=D\sphericalangle A=\sphericalangle D
AB=DEAB = DE
B=E\sphericalangle B=\sphericalangle E

2 triángulos congruentes

De esto se deduce que los triángulos ΔABCΔ ABC y ΔDEFΔ DEF son congruentes, por lo tanto, escribiremos:

ΔDEFΔABCΔ DEF ≅ Δ ABC según el criterio de congruencia: Ángulo, Lado, Ángulo (ALA)

Por consiguiente, deduciremos que:

BC=EFBC = EF

AC=DFAC = DF

ya que éstos son lados correspondientes e iguales en triángulos congruentes.

Entonces, también deduciremos que:

\\sphericalangle C=\sphericalangle F\)

ya que éstos son ángulos correspondientes e iguales en triángulos congruentes.


Ejemplo 2 - Ejercicio con congruencia de triángulos

Dadas dos rectas paralelas. Entre ellas pasa la recta AC AC y la recta BD BD de tal modo que se cruzan en el punto O O . Asimismo, se nos hace saber que AO=OCAO = OC

Ejemplo 1

Demuestra que AB=DCAB = DC


Demostración:

Primero debemos mostrar que los triángulos ΔABOΔ ABO y ΔDOCΔ DOC son congruentes. Nos basaremos en el criterio anterior.

Prestemos atención a que \(\sphericalangle AOB = \sphericalangle COD\) (Por ser ángulos opuestos por el vértice)

Dado que AE=ECAE = EC (Lado)

Recordemos que las dos rectas dadas son rectas paralelas.

Por lo tanto, ​​OAB=OCD​​\sphericalangle OAB=\sphericalangle OCD ya que son ángulos alternos entre rectas paralelas (ángulo).

Observaremos que ahora tenemos 2 2 triángulos en los que 2 2 de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos son iguales.

Por consiguiente, los triángulos ΔABOΔ ABO y ΔDOCΔ DOC son congruentes

y lo escribiremos ΔABOΔDOCΔ ABO ≅ Δ DOC según el criterio de congruencia Ángulo, Lado, Ángulo (ALA)

Por lo tanto, podremos deducir que AB=DCAB=DC (Lados correspondientes entre triángulos congruentes).

QED QED


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Ejercicios de criterio de congruencia - Ángulo, Lado, Ángulo

Ejercicio 1

Consigna

Dado que el punto K K cruza a la mitad AC AC .

y también A=C ∢A=∢C

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔAMKΔCBK ΔAMK≅ΔCBK ?

Dado que el punto K  cruza AC

Solución

Dado que los ángulos A=C A=C

AK=KC AK=KC

Dado que el punto K K corta a AC AC

Ángulos AKM=CKB AKM=CKB

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Los triángulos son congruentes según el teorema A.L.A A.L.A

Respuesta

A.L.A A.L.A


Ejercicio 2

Consigna

Dado: el cuadrilátero ABCD ABCD es un rectángulo.

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔADOΔCBO ΔADO≅ΔCBO ?

el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

Solución

BC=AD BC=AD

Dado que el cuadrilátero ABCD ABCD es un rectángulo y en un rectángulo se tiene dos pares de lados paralelos e iguales

Ángulos BCO=ADO \sphericalangle BCO=\sphericalangle ADO Ángulos alternos entre líneas paralelas iguales.

Ángulos O1=O2 O_1=O_2

ángulos opuestos por el vértice son iguales

Entonces decimos que son triángulos congruentes según el teorema L.A.A L.A.A

Respuesta

Según el teorema L.A.A L.A.A


Ejercicio 3

Consigna

En la figura dada: DEAB DE || AB

y el punto C C corta a la mitad al segmento BE BE .

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos?

ΔABCΔDEC ΔABC≅ΔDEC

Ejercicio 3 Consigna En la figura dada

Solución

Dado que DE DE es paralela a AB AB

Ángulos D=A D=A

Los ángulos alternos son iguales entre rectas paralelas

BC=CE BC=CE El punto C C corta la recta BE BE

Ángulos C1=C2 C_1=C_2

Ángulos opuestos por el vértice

Triángulos congruentes según el teorema de superposición L.A.A L.A.A

Respuesta

Superpuestos según L.A.A L.A.A


Ejercicio 4

Consigna

Dado el triángulo ΔEDC ΔEDC isósceles.

ADE=BCE ∢ADE=∢BCE

AC=BD AC=BD

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos?

ΔADEΔBCE ΔADE≅ΔBCE

Ejercicio 4 Dado el triángulo EDC isósceles.

Solución

Triángulo ΔEDC ΔEDC es un triángulo isósceles

DE=EC DE=EC

En un triángulo isósceles, dos lados son iguales

Ángulos D=C D=C dado

ángulos EDC=ECDEDC=ECD los ángulos de la base del triángulo isósceles son iguales

ángulos ADE=BCE ADE=BCE

DEDC=CECD \sphericalangle D-\sphericalangle EDC=\sphericalangle C-\sphericalangle ECD

Resta de ángulos

E1=E2 \sphericalangle E_1=\sphericalangle E_2

Triángulos congruentes según el teorema A.L.A A.L.A

Respuesta

A.L.A A.L.A


Ejercicio 5

Consigna

Dado: cuadrilátero ABCD ABCD cuadrado.

Y dentro está encasillado el deltoide KBPD KBPD .

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔBAKΔBCP ΔBAK≅ΔBCP ?

Ejercicio 5 cuadrilátero ABCD  cuadrado.

Solución

ABCD ABCD es un cuadrado

AB=BC AB=BC

En un cuadrado todos los lados son iguales

Dado que KBPD KBPD es un deltoide

BK=BP BK=BP

En el deltoide dos pares de lados adyacentes son iguales

C=A \sphericalangle C=\sphericalangle A

Ángulos iguales en un cuadrado equivalen a 90° 90° grados

BPC=BKA \sphericalangle BPC=\sphericalangle BKA

Los ángulos del deltoide son iguales K=P \sphericalangle K=\sphericalangle P

por lo tanto 180°K=180°P 180° -\sphericalangle K=180° -\sphericalangle P

ABK=PBC \sphericalangle ABK=\sphericalangle PBC

si dos ángulos son iguales entonces el tercero también es igual

Los triángulos iguales según L.A.L L.A.L

Respuesta

L.A.L L.A.L


Preguntas de repaso

¿Qué es un criterio en geometría?

En matemáticas un criterio es un juicio o una pauta que nos permite determinar ciertas características según sea el caso o tema a estudiar, en el caso de geometría nos permite juzgar ciertas características para figuras dadas.


¿Qué es el criterio de congruencia de triángulos?

Existen 4 4 criterios de congruencia de triángulos, los cuales nos ayudan a determinar cuándo dos triángulos son congruentes, es decir, nos ayudan a determinar cuándo dos triángulos tienen las mismas dimensiones y ángulos correspondientes teniendo así la misma forma y medidas de lados sin importar la orientación que se encuentren dichos triángulos.


¿Cuál es el criterio AAL?

Decimos que dos triángulos son congruentes con el criterio AAL, cuando dos de sus ángulos y un lado no comprendido entre ellos correspondientes son congruentes.


¿Cuál es el criterio ángulo lado ángulo?

Este criterio me dice que dos triángulos son congruentes, cuando dos ángulos y el lado comprendido entre estos son congruentes.


¿Cómo saber el criterio de un triángulo?

Esto depende de los ángulos y lados correspondientes de ambos triángulos

Por ejemplo, dados dos triángulos:

Si tenemos los tres lados correspondientes de dos triángulos que son congruentes entonces estamos hablando del criterio LLL

Si se tiene que los dos ángulos y el lado comprendido entre los ángulos correspondientes son congruentes nos referimos al criterio ALA

Al observar que dos de sus ángulos y el lado no comprendido entre ellos son congruentes respectivamente entonces hablamos del criterio AAL

Y por último cuando dos pares de lados correspondientes y el ángulo comprendido entre estos lados son congruentes será el criterio de LAL.

De acuerdo a esto podremos determinar a qué criterio de congruencia nos estamos refiriendo y deducir si son o no triángulos congruentes.