Área del trapecio: Usando formas geométricas adicionales

Para resolver este problema, necesitamos usar la fórmula del área de un trapecio y las relaciones dadas en el problema.

Paso 1: Identificar la información dada
Del diagrama y el enunciado del problema, tenemos:

• Base superior (parte superior del trapecio) = $2x$
• Base inferior (parte inferior del trapecio) = $4x$
• Altura del trapecio = $x$
• Área del trapecio = $12$ centímetros cuadrados

Paso 2: Verificar las relaciones
Confirmemos las relaciones establecidas:

• La base inferior es 2 veces la base superior: $4x = 2 \times 2x = 4x$ ✓
• La base inferior es 4 veces la altura: $4x = 4 \times x = 4x$ ✓

Paso 3: Aplicar la fórmula del área del trapecio
El área de un trapecio está dada por:
$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$
donde $b_1$ y $b_2$ son las dos bases paralelas y $h$ es la altura.

Paso 4: Sustituir los valores
Sustituyendo nuestras expresiones en la fórmula:
$12 = \frac{1}{2}(2x + 4x) \times x$

Paso 5: Simplificar y resolver para x
$12 = \frac{1}{2}(6x) \times x$
$12 = \frac{6x^2}{2}$
$12 = 3x^2$
$x^2 = \frac{12}{3}$
$x^2 = 4$
$x = 2$ (tomando la raíz positiva ya que x representa una longitud)

Paso 6: Verificar la solución
Cuando $x = 2$:

• Base superior = $2x = 4$ cm
• Base inferior = $4x = 8$ cm
• Altura = $x = 2$ cm
• Área = $\frac{1}{2}(4 + 8) \times 2 = \frac{1}{2}(12) \times 2 = 12$ centímetros cuadrados ✓

Por lo tanto, el valor de x es igual a $x = 2$.

Dado que DE cruza AB y AC, es decir:

$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6=3$

$AE=EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times10=5$

Ahora vamos a observar el triángulo ADE, donde ya hemos calculado 2 de sus lados.

Ahora podemos hallar el tercer lado DE usando el teorema de Pitágoras:

$AD^2+DE^2=AE^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$3^2+DE^2=5^2$

$9+DE^2=25$

$DE^2=25-9$

$DE^2=16$

Extraemos la raíz:

$DE=\sqrt{16}=4$

Ahora observemos el triángulo ABC en el que se nos dan dos de los lados,

Ahora podemos hallar el tercer lado BC usando el teorema de Pitágoras:

$AB^2+BC^2=AC^2$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$6^2+BC^2=10^2$

$36+BC^2=100$

$BC^2=100-36$

$BC^2=64$

Extraemos la raíz:

$BC=\sqrt{64}=8$

Ahora tenemos todos los datos para calcular el área del trapecio DECB mediante la fórmula:

(base + base) multiplicado por la altura dividido 2:

Tengamos en cuenta que la altura en el trapecio es DB

$S=\frac{(4+8)}{2}\times3$

$S=\frac{12\times3}{2}=\frac{36}{2}=18$

Para hallar el área del trapecio, debes recordar su fórmula:$\frac{(base+base)}{2}+\text{altura}$Nos centraremos en hallar las bases.

Para hallar GF usamos el teorema de Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$ En el triángulo AFG

Reemplazamos:

$3^2+GF^2=5^2$

Aislamos a GF y resolvemos:

$9+GF^2=25$

$GF^2=25-9=16$

$GF=4$

Realizaremos el mismo proceso con el lado DB en el triángulo ABD:

$8^2+DB^2=17^2$

$64+DB^2=289$

$DB^2=289-64=225$

$DB=15$

A partir de aquí hay dos formas de finalizar el ejercicio:

1. Calcular el área del trapecio GFBD, demostrar que es igual al trapecio EGDC y sumarlos.

2. Usar los datos que hemos revelado hasta ahora para encontrar las partes del trapecio EFBC y resolver.

Comencemos hallando la altura de GD:

$GD=AD-AG=8-3=5$

Ahora revelamos que EF y CB:

$GF=GE=4$

$DB=DC=15$

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales entonces:

$EF=GF\times2=4\times2=8$

$CB=DB\times2=15\times2=30$

Reemplazamos los datos en la fórmula del trapecio:

$\frac{8+30}{2}\times5=\frac{38}{2}\times5=19\times5=95$