El Teorema de Pitágoras se puede formular de la siguiente manera: en un triángulo rectángulo, elcuadradode la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
En el triángulo rectángulo que se muestra en la imágen a continuación usamos las primeras letras del alfabeto para designar sus lados:
a yb son los catetos
c es la hipotenusa
Podemos ahora expresar el teorema de Pitágoras en forma algebraica del siguiente modo:
c2=a2+b2
Podemos expresar en forma geométrica el Teorema de Pitagoras a través de la siguiente imagen, donde se puede demostrar que el area del cuadrado c) (cuadrado de la hipotenusa) es la suma de las areas de los cuadrados (a) y (b) (cuadrados de los catetos).
El Teorema de Pitágoras: explicación y ejemplos ¿Qué es el Teorema de Pitágoras?
El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más célebres en el ámbito de las matemáticas y uno de los temas más temidos entre los estudiantes. No es casualidad que se trate de uno de los teoremas matemáticos más comunes, con el que nos seguimos topando incluso años después de haber salido de las instituciones educativas.
Este teorema se le atribuye a Pitágoras de Samos, nacido en 570 AC, sabio griego a quien debemos también la palabra filósofo
¿Qué establece el Teorema de Pitágoras? El Teorema de Pitágoras establece la relación existente entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
En este artículo, te explicaremos de manera sencilla y práctica que es el Teorema de Pitágoras y te daremos algunos ejemplos, así que deja el miedo a un lado y adéntrate.
Para comenzar, es esencial aclarar algunos puntos importantes:
En todo triángulo rectángulo loslados adyacentes al ángulo recto reciben el nombre de «catetos», es decir, los catetos son los lados que encierran el ángulo recto.
el lado más largo de un triángulo rectángulo, aquel que se opone al ángulo recto, recibe el nombre de «hipotenusa».
¿Qué es un teorema?
Podemos usar el Teorema de Pitágoras para entender que es un teorema.
Un teorema es una afirmación demostrable que vincula dos proposiciones:
se parte de una primera proposición que llamamos hipótesis para afirmar una segunda proposición que llamamos tesis.
El enunciado de un teorema afirma que si la hipótesis es cierta entonces la tesis es cierta.
La demostración de un teorema es la parte más difícil del mismo y generalmente se deja en manos de matemáticos. Lo importante es que una vez demostrado un teorema, podemos estar seguros de usar el enunciado del teorema como una verdad permanente.
Volviendo al Teorema de Pitágoras, destaquemos cual es la hipótesis y cuál la tesis. Para ello reformulamos el enunciado del teorema usando las expresiones si y entonces del siguiente modo:
El Teorema de Pitágoras afirma que Si:
1.Un triangulo es rectangulo, es decir, el valor de uno de los ángulos de un triángulo es 90o (hipótesis)
Entonces:
2.El cuadrado del lado más largo del triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados (tesis)
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En el Teorema de Pitágoras, el recíproco del teorema también es cierto, es decir, Si:
1.El cuadrado del lado más largo de un triángulo es la suma de los cuadrados de los otros dos lados (hipótesis)
Entonces:
2.El triangulo es rectangulo, es decir, el valor de uno de los ángulos del triángulo es 90o (tesis)
¿Para qué se usa el Teorema de Pitágoras?
El Teorema de Pitágoras es, si se puede decir, la piedra fundacional de la geometría cartesiana, y por lo tanto se ha convertido en herramienta primordial en el desarrollo de las ciencias como las conocemos hoy día.
La importancia de este teorema proviene de la importancia del triángulo rectángulo, que es aquel triángulo que vincula la recta horizontal con la recta vertical (los catetos del triángulo). En efecto, la horizontal y la vertical siempre guardan entre sí un ángulo de 90o, que es el mismo ángulo que encierran siempre entre sí los catetos del triángulo rectángulo.
El Teorema de Pitágoras tiene aplicación y es usado en todas las áreas de las ciencias, ya que todas tienen fundamento matemático.
Si está interesado en aprender más sobre otros temas de triángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:
Calcula la longitud X en el siguiente triángulo rectángulo:
La imagen muestra un triángulo rectángulo del cual conocemos la longitud de dos de sus lados y queremos conocer el valor del tercer lado, en este caso uno de los catetos.
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:
c2=a2+b2
En nuestro triángulo rectángulo
a=3
b=X
c=5
Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:
52=32+X2
25=9+X2
Para despejar la X debemos comenzar restando 9 a cada miembro de la ecuación
25−9=X2
16=X2
Extrayendo ahora la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación obtenemos el valor de X
16=X
X=4
Por tanto, la respuesta es: 4 unidades, es decir, la longitud del cateto equivale a 4 unidades.
Ejercicio 3
¿Cuál es el valor de X en el triángulo que vemos en la siguiente imagen?
Solución:
Nos encontramos con un triángulo rectángulo, que también es isósceles, pues dos de sus lados tienen la misma longitud.
En este caso conocemos del triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa y queremos conocer la longitud de cada cateto, sabiendo que ambos catetos tienen el mismo valor.
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:
c2=a2+b2
En nuestro triángulo rectángulo
a=X
b=X
c=10
Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:
102=X2+X2
100=2X2
Para despejar la x debemos comenzar dividiendo entre 2 cada miembro de la ecuación
2100=22X2
50=X2
Extrayendo ahora la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación obtenemos el valor de X
¿Cuál es el uso más común del Teorema de Pitágoras?
El Teorema de Pitágoras se utiliza principalmente en ejercicios relacionados con los triángulos rectángulos en los que se facilita la longitud de ambos catetos para que hallemos la longitud de la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras inverso
También existe el teorema inverso, mediante el cual podemos demostrar que un triángulo determinado es rectángulo: untriánguloen el que la suma de ambos catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado es un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras inverso (o a la inversa) enuncia lo siguiente:
Si se cumple en cierto triángulo que la suma del cuadrado de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa, o sea:
Si:
a2+b2=c2
se puede determinar que ¡dicho triángulo es un triángulo rectángulo!
Además, en ciertos casos podríamos ver que ya se conoce la hipotenusa, pero que hay que hallar uno de los lados del triángulo.
Practiquemos este tipo de casos aplicando el teorema de Pitágoras inverso:
Sabiendo que se trata de un triángulo rectángulo, podremos aplicar el teorema de Pitágoras que dice que, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Es decir, en nuestro ejercicio:
ac2+cb2=ab2
Ahora colocaremos los datos que tenemos para descubrir la longitud de la arista AC
Colocaremos:
ac2+22=62
Sigamos resolviendo:
ac2+4=36
Transpongamos miembros y obtendremos:
ac2=32
Despejemos la raíz y obtendremos:
Ac=32=5.656
Otro ejercicio:
Dado el triángulo:
Dado que:
AC=4
CB=3
AB=5
Determina si este triángulo es rectángulo o no.
Solución:
Podemos utilizar el teorema de Pitágoras inverso para descubrir si este triángulo es rectángulo o no.
Como hemos aprendido, el teorema de Pitágoras inverso enuncia que, si la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa, se puede determinar que se trata de un triángulo rectángulo.
Colocaremos los datos en el teorema de Pitágoras y revisaremos para ver si se cumple aquí un enunciado verdadero:
42+32=52
Sigamos viendo:
16+9=25
25=25
Efectivamente, tenemos un enunciado verdadero y esto quiere decir que podemos determinar, con total certeza, que éste es un triángulo rectángulo tal como lo enuncia el teorema de Pitágoras inverso.
El Teorema de Pitágoras aplicado en un triángulo isósceles
El teorema de Pitágoras se ocupa de los triángulos rectángulos, pero, si hacemos memoria y recordamos las características de los triángulos isósceles, nos percataremos de que la altura de la base (que también es la mediana de la base y la bisectriz), divide el triángulo isósceles en 2 triángulos rectángulos congruentes.
Veámoslo en una ilustración:
Como podemos observar, la altura ha dividido el triángulo isósceles en 2 triángulos rectángulos congruentes, por lo tanto
podremos hacer uso del teorema de Pitágoras ya que es aplicable a los triángulos rectángulos y, de este modo, resolver diversos ejercicios.
Practiquemos el uso del teorema de Pitágoras en un triángulo isósceles:
Dado el triángulo isósceles ABC
Se sabe que la altura equivale a la longitud de la base
También sabemos que la altura mide 6 cm.
Halla la longitud del lado AC .
Solución:
Sabemos que: ad=cb=6
Sabemos que en los triángulos isósceles la altura también es la mediana de la base, lo que implica que: CB=DB
Sabemos que la altura mide 6 cm. y que es igual a la longitud de la base. De aquí podemos deducir que: cd=db=3
ya que la mediana corta la arista en 2 .
Es así cómo podemos hallar la longitud de la arista AB utilizando el teorema de Pitágoras ya que ahora se trata de un triángulo rectángulo.
Colocaremos en el teorema de Pitágoras los parámetros y hallaremos la longitud de la hipotenusa AB
Obtendremos:
62+32=ab2
36+9=ab2
45=ab2
ab=45=6.708
Sabiendo que el triángulo ABC es isósceles, podemos deducir que: ac=ab
No caigas en la trampa, esta es una pregunta frustrante
Recuerda, en el Teorema de Pitágoras solo se puede usar un triángulo rectángulo. Este triángulo, según el dibujo, es un triángulo obtuso, por lo que el teorema no se aplica a él
Respuesta:
No es posible calcular, con la ayuda de la teoría de Pitágoras
Ejercicio 2
Dado el triángulo △ABC :
Consigna:
Encontrar la longitud de BC
Solución:
Teorema de Pitágoras - Aplicar la fórmula
Dado el triángulo △ABC en el dibujo.
Escribir el Teorema de Pitágoras del triángulo rectángulo △ABC