El Teorema de Pitágoras: explicación y ejemplos

Equipo de Tutorela

20/10/2020 · Tiempo de lectura: 3 minutos

El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más célebres en el ámbito de la geometría (o de la ingeniería) y es uno de los temas más temidos entre los estudiantes de matemáticas. No es casualidad que se trate de uno de los teoremas matemáticos más comunes incluso años después de haber terminado el instituto. No obstante, el Teorema de Pitágoras es, en suma, un teorema destinado a describir la relación existente entre los tres lados de un triángulo rectángulo. En este artículo, te explicaremos de manera sencilla y práctica qué es el Teorema de Pitágoras y te daremos algunos ejemplos, así que deja el miedo a un lado y adéntrate.

Para comenzar, es esencial aclarar algunos puntos importantes:

  • un triángulo es un polígono con tres lados;
  • los ángulos de cualquier triángulo suman 180 grados;
  • un triángulo rectángulo es un triángulo en donde uno de los ángulos tiene 90 grados;
  • un ángulo recto es un ángulo de 90 grados;
  • en todo triángulo rectángulo hay dos lados que «encierran» el ángulo recto, es decir, el ángulo recto se encuentra entre estos dos lados. Estos lados reciben el nombre de «catetos» y, en singular, «cateto»;
  • el lado más largo de un triángulo rectángulo, aquel que se encuentra frente al ángulo recto, recibe en nombre de «hipotenusa».

Ahora que ya hemos sentado las bases, podemos comenzar con la explicación:

¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras se podría formular de la siguiente manera: en un triángulo rectángulo, la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.

En los triángulos rectángulos, se señalan los catetos con las letras a y b, respectivamente, y la hipotenusa, con la letra c. Por tanto, según el Teorema de Pitágoras:

a2+b2=c2

¿Cuál es el uso más común del Teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras se utiliza principalmente en ejercicios relacionados con los triángulos rectángulos en los que se facilita la longitud de ambos catetos para que hallemos la longitud de la hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras a la inversa

También existe el teorema inverso, mediante el cual podemos demostrar que un triángulo determinado es rectángulo: un triángulo en el que la suma de ambos catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado es un triángulo rectángulo.

Ejemplos y ejercicios sobre el Teorema de Pitágoras

Ejercicio n.º 1:

Halla la longitud de la hipotenusa en el siguiente triángulo:

Solución:

Según el plano, estamos ante un triángulo rectángulo (el ángulo recto se marca con un pequeño cuadrado) y, además, sabemos cuál es la longitud de cada uno de los catetos (entre ambos se encuentra el ángulo recto): 3 y 4 unidades respectivamente.

Se nos pide que calculemos la longitud de la hipotenusa. Para ello, disponemos la información que tenemos según el Teorema de Pitágoras:

3²+4²=c²

9+16=c²

25=c²

Ahora podemos aplicar una raíz cuadrada en cada miembro y obtendremos:

c=5

Por tanto, la respuesta es: 5 unidades, es decir, la longitud de la hipotenusa equivale a 5 unidades.

Ejercicio n.º 2:

Calcula la longitud del cateto en el siguiente triángulo rectángulo:

Solución:

En este triángulo, sabemos cuál es la longitud de uno de los catetos (3 unidades) y de la hipotenusa (5 unidades).

Nos falta saber cuál es la longitud del segundo cateto, que aparece señalado con la letra x. Para ello utilizaremos el Teorema de Pitágoras e insertaremos en él los datos de los que disponemos:

Después de hacer algunas operaciones simples, como pasar miembros, aislar la incógnita y aplicar una raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obtendremos un valor equivalente a 4.

Por tanto, la respuesta es: 4 unidades, es decir, la longitud del cateto equivale a 4 unidades.

Ejercicio n.º 3:

Nos encontramos con un triángulo rectángulo que también es isósceles, tal y como vemos en la siguiente imagen:

¿Cuál es la longitud de los lados del triángulo anterior?

Solución:

Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos de sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los dos catetos del triángulo rectángulo actúan a la vez como los lados del triángulo isósceles. Para hacerlo más fácil, señalamos cada uno de los lados con la letra x.

Ahora, insertamos los datos que se nos han dado en la fórmula del Teorema de Pitágoras:

x2+x2=10

Reducimos y obtenemos que: 2x2=10.

Dividimos los miembros en 2 y obtenemos que: x2=5

En último lugar, aplicamos una raíz cuadrada en ambos miembros y obtenemos que x=2,77 o x=-2,77.

Dado que x debe tener un valor positivo, la respuesta es x=2,77.

Por tanto, la respuesta es que la longitud del lado del triángulo es 2,77.