Área del trapecio: Uso de proporciones para el cálculo

Para resolver este problema, necesitamos usar la fórmula del área de un trapecio y las relaciones dadas en el problema.

Paso 1: Identificar la información dada
Del diagrama y el enunciado del problema, tenemos:

• Base superior (parte superior del trapecio) = $2x$
• Base inferior (parte inferior del trapecio) = $4x$
• Altura del trapecio = $x$
• Área del trapecio = $12$ centímetros cuadrados

Paso 2: Verificar las relaciones
Confirmemos las relaciones establecidas:

• La base inferior es 2 veces la base superior: $4x = 2 \times 2x = 4x$ ✓
• La base inferior es 4 veces la altura: $4x = 4 \times x = 4x$ ✓

Paso 3: Aplicar la fórmula del área del trapecio
El área de un trapecio está dada por:
$A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$
donde $b_1$ y $b_2$ son las dos bases paralelas y $h$ es la altura.

Paso 4: Sustituir los valores
Sustituyendo nuestras expresiones en la fórmula:
$12 = \frac{1}{2}(2x + 4x) \times x$

Paso 5: Simplificar y resolver para x
$12 = \frac{1}{2}(6x) \times x$
$12 = \frac{6x^2}{2}$
$12 = 3x^2$
$x^2 = \frac{12}{3}$
$x^2 = 4$
$x = 2$ (tomando la raíz positiva ya que x representa una longitud)

Paso 6: Verificar la solución
Cuando $x = 2$:

• Base superior = $2x = 4$ cm
• Base inferior = $4x = 8$ cm
• Altura = $x = 2$ cm
• Área = $\frac{1}{2}(4 + 8) \times 2 = \frac{1}{2}(12) \times 2 = 12$ centímetros cuadrados ✓

Por lo tanto, el valor de x es igual a $x = 2$.

Para calcular la razón entre los lados utilizaremos la figura existente:

$\frac{A_{AED}}{A_{ABCE}}=\frac{1}{3}$

Calculamos la razón entre los lados según la fórmula para hallar el área y luego reemplazamos los datos.

Sabemos que el área del triángulo ADE es igual a:

$A_{ADE}=\frac{h\times DE}{2}$

Sabemos que el área del paralelogramo es igual a:

$A_{ABCD}=h\times EC$

Reemplazamos los datos en la fórmula que nos dan mediante la razón entre las áreas:

$\frac{\frac{1}{2}h\times DE}{h\times EC}=\frac{1}{3}$

Resolvemos multiplicando por cruce y obtenemos la fórmula:

$h\times EC=3(\frac{1}{2}h\times DE)$

Abrimos los paréntesis en consecuencia

$h\times EC=1.5h\times DE$

Dividimos ambos lados por h

$EC=\frac{1.5h\times DE}{h}$

Simplificamos a h

$EC=1.5DE$

Por lo tanto, la razón entre$\frac{EC}{DE}=\frac{1}{1.5}$