El estudio de las rectas paralelas es un tema de las matemáticas relativamente sencillo con amplia aplicación en el campo de la ingeniería y de la geometría. Dado que se trata de un tema básico, su comprensión es completamente necesaria para resolver problemas de geometría en todos los niveles.
Características de las rectas paralelas
Podemos afirmar lo siguiente acerca de rectas que sean
Rectas paralelas tienen el mismo valor de la pendiente.
La distancia entre dos rectas paralelas es constante.
Además podemos notar que en los siguientes cuadriláteros hay lados
En los paralelogramos, rectángulos, cuadrados y rombos hay dos pares de lados paralelos.
En los trapecios hay un par de lados paralelos
Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:
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Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
a es paralela a b
¿Cuáles de los siguientes pares de ángulos son equiláteros?
Ejercicio 2
a es paralela a b
¿Cuáles de los siguientes pares de ángulos son equiláteros?
Ejercicio 3
¿Cuáles ángulos en el dibujo son equiláteros?
Dado que a paralela a b
Ángulos que resultan cuando se cortan dos rectas
Cuando dos rectas se cortan cuatro ángulos se forman. En la siguiente imagen dos rectas c y d se cortan. Cuatro ángulos 1,2,3,4 , resultan.
Ángulos opuestos por el vértice
Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.
De la intersección de dos rectas resultan dos pares de ángulos opuestos por el vértice (el vértice en este caso es el punto de intersección).
Los ángulos opuestos por el vértice están dispuestos uno frente a otro.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
En la siguiente figura:
1 y 3 son ángulos opuestos por el vértice
2 y 4 son ángulos opuestos por el vértice
Podemos por tanto afirmar que:
∢1=∢3
∢2=∢4
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
Dado a paralelo a b
Halla los ángulos del dibujo
Ejercicio 2
¿Qué ángulos están marcados con la letra A en el dibujo?
¿Y cuáles con la letra B?
Responda la pregunta asumiendo que ABCD es un rectángulo
Ejercicio 3
¿Cuáles son los tipos de ángulos en las diferentes secciones dadas y líneas a,b ¿Paralelas?
Ángulos adyacentes
Ángulos adyacentes son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
Los ángulos adyacentes comparten un lado.
Dos ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, la suma de sus valores es igual a180º .
En la siguiente figura :
1 y 2 son ángulos adyacentes
2 y 3 son ángulos adyacentes
3 y 4 son ángulos adyacentes
4 y 1 son ángulos adyacentes
Podemos por tanto afirmar que:
∢1+∢2=180°
∢2+∢3=180°
∢3+∢4=180°
∢4+∢1=180°
Ángulos que resultan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta oblicua, denominada secante, 8 ángulos se forman, 4 en cada punto de intersección de la secante con las dos rectas paralelas. En la siguiente imagen, dos rectas paralelas l y m son cortadas por una recta secante s. Ocho ángulos 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 y 8 se forman
Figura 3 :
Clasificación de los ángulos
Según su posición respecto a las 2 rectas paralelas:
Internos. Son los ángulos que están entre las 2 rectas paralelas.
En la Figura 3 los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos.
Externos. Son los ángulos que están en la parte del plano que no está comprendida entre las rectas.
En la Figura 3 los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos.
Según su posición respecto a la recta secante, tenemos ángulos alternos, ángulos conjugados y ángulos correspondientes.
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
Dado el paralelogramo ABCD ¿Cuáles son los ángulos marcados?
Ejercicio 2
a.b paralelas. Halla los ángulos marcados
Ejercicio 3
a es paralela a b
¿Cuál es la conexión entre los ángulos?
Ángulos alternos
Dos ángulos son alternos si están en lados opuestos de la recta secante
Dos ángulos alternos son ambos externos o ambos internos
Dos ángulos alternos no comparten ninguno de sus lados
En la Figura 3:
Los ángulos 4 y 6 son alternos internos
Los ángulos 3 y 5 son alternos internos
Los ángulos 1 y 7 son alternos externos
Los ángulos 2 y 8 son alternos externos
En la siguiente imagen se pueden ver dos pares de ángulos alternos internos, uno resaltado en rojo y otro, en azul.
Podemos afirmar que:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos alternos internos son iguales
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos alternos externos son iguales
Lo cual significa que en la Figura 3:
∢4=∢6
∢3=∢5
∢1=∢7
∢2=∢9
Ángulos conjugados
Dos ángulos conjugados están al mismo lado de la recta secante
Dos ángulos conjugados son ambos externos o ambos internos.
En la Figura 3:
Los ángulos 3 y 6 son conjugados internos
Los ángulos 4 y 5 son conjugados internos
Los ángulos 2 y 7 son conjugados externos
Los ángulos 1 y 8 son conjugados externos
Podemos afirmar que:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos conjugados internos son suplementarios
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos conjugados externos son suplementarios
Lo cual significa que en la Figura:
∢3+∢6=180°
∢4+∢5=180°
∢2+∢7=180°
∢1+∢9=180°
¿Crees que podrás resolverlo?
Ejercicio 1
Dados los ángulos de la figura
¿Cuál es la conexión entre ellos?
Ejercicio 2
a es paralela a b
¿Cuáles de los ángulos en el dibujo son adyacentes entre sí?
Ejercicio 3
Dado que \( \alpha=34 \)
Halla a \( \beta \)
Ángulos correspondientes
En la siguiente imágen los ángulos α y ß son ángulos correspondientes
Dos ángulos correspondientes están al mismo lado de la recta secante
Dos ángulos correspondientes son uno externo y el otro interno
Dos ángulos correspondientes no comparten ninguno de sus lados
En la Figura:
Los ángulos 1 y 5 son correspondientes
Los ángulos 2 y 6 son correspondientes
Los ángulos 3 y 7 son correspondientes
Los ángulos 4 y 8 son correspondientes
Podemos afirmar que:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces los ángulos correspondientes son iguales
Lo cual significa que en la figura 3:
∢1=∢5
∢2=∢6
∢3=∢7
∢4=∢8
Ejercicios sobre rectas paralelas
Ejercicio 1: sobre rectas paralelas
En la siguiente imágen, sea a∣∣b
Pregunta:
¿Cual es el valor de ß?
Solución:
Podemos ver que los ángulos α y ß son ángulos correspondientes. Sabemos que cuando dos rectas paralelas como α y ß son cortadas por una secante como c, los ángulos correspondientes son iguales y, por tanto, ß=40º .
Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
Dadas las rectas y los ángulos en el dibujo
¿Cuáles son todos los ángulos adyacentes?
Ejercicio 2
¿Que par de ángulos se describen en el dibujo?
Ejercicio 3
a es paralela a b
Determina cuál de las afirmaciones es correcta.
Ejercicio 2: sobre rectas paralelas
En la siguiente imágen, sea a∣∣b
Pregunta:
¿Cuáles son los valores de α y ß?
A∥B
Observa el plano y resuelve:
ß=?
α=?
Solución:
Por ser nuestro caso el de dos rectas paralelas cortadas por una secante y viendo que los ángulos y el ángulo de 130º son ángulos correspondientes entonces sabemos que estos ángulos son iguales y, por tanto ß=130º.
Nos queda calcular el tamaño del ángulo ∡α Como los ángulos ∡α y ∡ß son adyacentes entonces suman 180º. Por tanto,
α+ß=180º
Reemplazando ß por su valor obtenemos lo siguiente:
α+130º=180º.
Despejando resulta
α=50º
Ejercicio 3: sobre rectas paralelas
Indique cuántas líneas paralelas hay en el siguiente gráfico:
Explicación
En el siguiente gráfico se puede ver:
que la recta f intersecta a las rectas b y c (en líneas discontinuas) en sendos puntos
que en ambos puntos de intersección el ángulo de corte es el mismo (90°)
que estos dos ángulos son correspondientes
Por lo tanto las rectas b y c son paralelas
En el siguiente gráfico puede ver:
que la recta b intersecta a las rectas d y e (en líneas discontinuas) en sendos puntos
que en ambos puntos de intersección el ángulo de corte es el mismo (130°)
que estos dos ángulos son alternos externos
Por tanto, se puede decir que las rectas d y e son paralelas.
Solución:
Por tanto, la respuesta final es que la gráfica tiene 2 pares de rectas paralelas.
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
a es paralela a b
¿Cuáles de los siguientes pares de ángulos son equiláteros?
Ejercicio 2
a es paralela a b
¿Cuáles de los siguientes pares de ángulos son equiláteros?
Ejercicio 3
¿Cuáles ángulos en el dibujo son equiláteros?
Dado que a paralela a b
Ejercicio 4: sobre rectas paralelas
¿Cuántos grados tenemos que añadir al ánguloβ para que haya otra recta paralela en el en el siguiente gráfico?
Explicación
Al agregar 4° grados al ángulo ∡βobtenemos un ángulo de 90° grados y básicamente se creará otra recta paralela a las dos debajo de ella.
86°+4°=90°
Solución:
La respuesta correcta es: 4°
Ejercicio 5: sobre rectas paralelas
Esta pregunta se divide en varias partes:
¿Cuántos grados es el ángulo de ∡ABC y qué tipo de ángulo es en relación con ∡CBF?
¿Cuántos grados es el ángulo ∡BDE y qué tipo de ángulo es en relación con el ∡ADC?
Respuesta 1:
A. El ángulo de ∡ABC es igual a 180º−130º=50º
B. El ángulo de ∡ABC con respecto al ángulo de ∡CBF se llama Ángulos adyacentes
Respuesta 2:
El ángulo ∡BDE es igual a 90º ya que es un ángulo opuesto por el vértice con respecto al ángulo ∡ADC=90º
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
Dado a paralelo a b
Halla los ángulos del dibujo
Ejercicio 2
¿Qué ángulos están marcados con la letra A en el dibujo?
¿Y cuáles con la letra B?
Responda la pregunta asumiendo que ABCD es un rectángulo
Ejercicio 3
¿Cuáles son los tipos de ángulos en las diferentes secciones dadas y líneas a,b ¿Paralelas?