Líneas paralelas (Rectas paralelas)

¿Qué son las líneas paralelas?

Las rectas paralelas son rectas que pertenecen al mismo plano (son coplanares) y nunca se encuentran (no se cortan).

Sean dos rectas paralelas \( a \) y \( b \) como las que se muestran a continuación.

Qué son las rectas paralelas

Si afirmamos lo siguiente:

La recta \( a \) es paralela a la recta \( b \)

podemos decir lo mismo usando el lenguaje matemático del siguiente modo:

\( a\parallel b \)

El estudio de las rectas paralelas es un tema de las matemáticas relativamente sencillo con amplia aplicación en el campo de la ingeniería y de la geometría. Dado que se trata de un tema básico, su comprensión es completamente necesaria para resolver problemas de geometría en todos los niveles.

Líneas paralelas (Rectas paralelas)2

Líneas paralelas (Rectas paralelas) 3


Características de las rectas paralelas

Podemos afirmar lo siguiente acerca de rectas que sean

  • Rectas paralelas tienen el mismo valor de la pendiente.
  • La distancia entre dos rectas paralelas es constante.

Además podemos notar que en los siguientes cuadriláteros hay lados

En los paralelogramos, rectángulos, cuadrados y rombos hay dos pares de líneas paralelas
  • En los paralelogramos, rectángulos, cuadrados y rombos hay dos pares de lados paralelos.
  • En los trapecios hay un par de lados paralelos

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos interesantes sobre matemáticas


Ángulos que resultan cuando se cortan dos rectas

Cuando dos rectas se cortan cuatro ángulos se forman. En la siguiente imagen dos rectas c y d se cortan. Cuatro ángulos 1, 2, 3, 4, resultan.

Imagen Angulos que resultan cuando se cortan dos re


Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos opuestos por el vértice 1

  • Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.
  • De la intersección de dos rectas resultan dos pares de ángulos opuestos por el vértice (el vértice en este caso es el punto de intersección).
  • Los ángulos opuestos por el vértice están dispuestos uno frente a otro.
  • Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

En la siguiente figura:

Imagen Angulos que resultan cuando se cortan dos re
  • 1 y 3 son ángulos opuestos por el vértice
  • 2 y 4 son ángulos opuestos por el vértice

Podemos por tanto afirmar que:

  • \( \sphericalangle1=\sphericalangle3 \)
  • \( \sphericalangle2=\sphericalangle4 \)

Ángulos adyacentes

  • Ángulos adyacentes son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
  • Los ángulos adyacentes comparten un lado.
  • Dos ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, la suma de sus valores es igual a 180º.
Ángulos adyacentes 2

En la siguiente figura :

Imagen Angulos que resultan cuando se cortan dos re

  • 1 y 2 son ángulos adyacentes
  • 2 y 3 son ángulos adyacentes
  • 3 y 4 son ángulos adyacentes
  • 4 y 1 son ángulos adyacentes

Podemos por tanto afirmar que:

  • \( \sphericalangle1+\sphericalangle2=180° \)
  • \( \sphericalangle2+\sphericalangle3=180° \)
  • \( \sphericalangle3+\sphericalangle4=180° \)
  • \( \sphericalangle4+\sphericalangle1=180° \)

Ángulos que resultan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta oblicua, denominada secante, 8 ángulos se forman, 4 en cada punto de intersección de la secante con las dos rectas paralelas. En la siguiente imagen, dos rectas paralelas l y m son cortadas por una recta secante s. Ocho ángulos 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 y 8 se forman

Figura 3 :

Imagen 2 Angulos que resultan cuando dos rectas paral

Clasificación de los ángulos

Según su posición respecto a las 2 rectas paralelas:

Internos. Son los ángulos que están entre las 2 rectas paralelas.

  • En la Figura 3 los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos.

Externos. Son los ángulos que están en la parte del plano que no está comprendida entre las rectas.

  • En la Figura 3 los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos.

Según su posición respecto a la recta secante, tenemos ángulos alternos, ángulos conjugados y ángulos correspondientes.


Ángulos opuestos por el vértice 1


Ángulos alternos

  • Dos ángulos son alternos si están en lados opuestos de la recta secante
  • Dos ángulos alternos son ambos externos o ambos internos
  • Dos ángulos alternos no comparten ninguno de sus lados

En la Figura 3:

  • Los ángulos 4 y 6 son alternos internos
  • Los ángulos 3 y 5 son alternos internos
  • Los ángulos 1 y 7 son alternos externos
  • Los ángulos 2 y 8 son alternos externos

En la siguiente imágen se pueden ver dos pares de ángulos alternos internos, uno resaltado en rojo y otro, en azul.

pueden ver dos pares de ángulos alternos internos

Podemos afirmar que

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos alternos internos son iguales

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos alternos externos son iguales

Lo cual significa que en la Figura 3:

  • \( \sphericalangle4=\sphericalangle6 \)
  • \( \sphericalangle3=\sphericalangle5 \)
  • \( \sphericalangle1=\sphericalangle7 \)
  • \( \sphericalangle2=\sphericalangle9 \)

Ángulos conjugados

  • Dos ángulos conjugados están al mismo lado de la recta secante
  • Dos ángulos conjugados son ambos externos o ambos internos.

En la Figura 3:

  • Los ángulos 3 y 6 son conjugados internos
  • Los ángulos 4 y 5 son conjugados internos
  • Los ángulos 2 y 7 son conjugados externos
  • Los ángulos 1 y 8 son conjugados externos
Ángulos conjugados 4

Podemos afirmar que:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos conjugados internos son suplementarios

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces las parejas de ángulos conjugados externos son suplementarios

Lo cual significa que en la Figura:

Imagen 2 Angulos que resultan cuando dos rectas paral
  • \( \sphericalangle3+\sphericalangle6=180° \)
  • \( \sphericalangle4+\sphericalangle5=180° \)
  • \( \sphericalangle2+\sphericalangle7=180° \)
  • \( \sphericalangle1+\sphericalangle9=180° \)

Ángulos correspondientes

En la siguiente imágen los ángulos α y ß son ángulos correspondientes

imágen los ángulos α y ß son ángulos correspondientes
  • Dos ángulos correspondientes están al mismo lado de la recta secante
  • Dos ángulos correspondientes son uno externo y el otro interno
  • Dos ángulos correspondientes no comparten ninguno de sus lados

En la Figura:

Imagen 2 Angulos que resultan cuando dos rectas paral
  • Los ángulos 1 y 5 son correspondientes
  • Los ángulos 2 y 6 son correspondientes
  • Los ángulos 3 y 7 son correspondientes
  • Los ángulos 4 y 8 son correspondientes

Podemos afirmar que:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces los ángulos correspondientes son iguales

Lo cual significa que en la figura 3:

  • \( \sphericalangle1=\sphericalangle5 \)
  • \( \sphericalangle2=\sphericalangle6 \)
  • \( \sphericalangle3=\sphericalangle7 \)
  • \( \sphericalangle4=\sphericalangle8 \)

Ejercicios sobre rectas paralelas

Ejercicio 1: sobre rectas paralelas

En la siguiente imágen, sea a||b

Pregunta:

¿Cual es el valor de ß?

Ejercicio 1 sobre rectas paralelas

Solución:

Podemos ver que los ángulos α y ß son ángulos correspondientes. Sabemos que cuando dos rectas paralelas como a y b son cortadas por una secante como c, los ángulos correspondientes son iguales y, por tanto, ß=40º.


Ejercicio 2: sobre rectas paralelas

En la siguiente imágen, sea a||b

Pregunta:

¿Cuáles son los valores de α y ß?

\( A\Vert B \)

Observa el plano y resuelve:

  • \( ß=? \)
  • \( α=? \)
Ejercicio 2: sobre rectas paralelas 2

Solución:

Por ser nuestro caso el de dos rectas paralelas cortadas por una secante y viendo que los ángulos y el ángulo de 130º son ángulos correspondientes entonces sabemos que estos ángulos son iguales y, por tanto \( ß=130º \).

Nos queda calcular el tamaño del ángulo α. Como los ángulos α y ß son adyacentes entonces suman 180º. Por tanto,

\( α+ß=180º \)

Reemplazando ß por su valor obtenemos lo siguiente:

\( α+130º=180º \).

Despejando resulta

α = 50º


Ejercicio 3: sobre rectas paralelas

Indique cuántas líneas paralelas hay en el siguiente gráfico:

Ejercicio 3 sobre rectas paralelas

Explicación

En el siguiente gráfico se puede ver:

  • que la recta f intersecta a las rectas b y c (en líneas discontinuas) en sendos puntos
  • que en ambos puntos de intersección el ángulo de corte es el mismo (90°)
  • que estos dos ángulos son correspondientes

Por lo tanto las rectas b y c son paralelas

Ejercicio 3 sobre rectas paralelas elaborado

En el siguiente gráfico puede ver:

  • que la recta b intersecta a las rectas d y e (en líneas discontinuas) en sendos puntos
  • que en ambos puntos de intersección el ángulo de corte es el mismo (130°)
  • que estos dos ángulos son alternos externos

Por tanto, se puede decir que las rectas d y e son paralelas.

ejercicio 3 segundo parte

Solución:

Por tanto, la respuesta final es que la gráfica tiene 2 pares de rectas paralelas.


Ejercicio 4: sobre rectas paralelas

¿Cuántos grados tenemos que añadir al ángulo β para que haya otra recta paralela en el en el siguiente gráfico?

Ejercicio 3 sobre rectas paralelas

Explicación

Al agregar 4° grados al ángulo \( ∡β\)obtenemos un ángulo de 90° grados y básicamente se creará otra recta paralela a las dos debajo de ella.

\( 86°+4°=90° \)

Ejercicio 4 sobre rectas paralelas solucion

Solución:

La respuesta correcta es:


Ejercicio 5: sobre rectas paralelas

Esta pregunta se divide en varias partes:

  1. ¿Cuántos grados es el ángulo de \( ∡ABC \) y qué tipo de ángulo es en relación con \( ∡CBF \)?
  2. ¿Cuántos grados es el ángulo \( ∡BDE \) y qué tipo de ángulo es en relación con el \( ∡ADC \)?
Ejercicio 5 sobre rectas paralelas

Respuesta 1:

A. El ángulo de \( ∡ABC \) es igual a \( 180º-130º=50º \)

B. El ángulo de \( ∡ABC \) con respecto al ángulo de \( ∡CBF \) se llama Ángulos adyacentes

Respuesta 2:

  1. El ángulo \( ∡BDE \) es igual a \( 90º \) ya que es un ángulo opuesto por el vértice con respecto al ángulo \( ∡ADC=90º \)