Las Reglas de Potenciación

Definición de potencia

La potencia es una manera de escribir de forma abreviada la multiplicación de un término por sí mismo varias veces.
La cifra que se multiplica por sí misma recibe el nombre de base, mientras que la cantidad de veces que esta se multiplica por sí misma se llamaexponente.

\( a^n=a\cdot a\cdot a \)... (n veces)

Por ejemplo:

\( 5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4 \)

\( 5 \) es la base, mientras que \( 4 \) es el exponente.

En este caso, la cifra \( 5 \) se multiplica \( 4 \) veces por sí misma y, por tanto, se expresa como \( 5 \) elevado a la cuarta potencia o \( 5 \) elevado a \( 4 \).

Las reglas de potenciación son reglas que nos ayudan a realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con potencias. En determinados ejercicios, si no se emplean correctamente las reglas de potenciación, se nos hará muy difícil dar con la solución y, por tanto, nos conviene saberlas.

¡No te preocupes! No se trata de reglas complicadas. Si te esfuerzas en comprenderlas y practicas lo suficiente, podrás aplicarlas fácilmente.

En este artículo recordaremos, para comenzar, cuál es la definición de potencia y, después, nos centraremos de manera ordenada en las diferentes reglas de potenciación.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Definición de potencia

Definicion de potencia 1

Multiplicación de potencias con base idéntica

\( a^n\cdot a^m=a^{n+m} \)

Si multiplicamos potencias de idéntica base, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de las potencias.

Por ejemplo:

\( 5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5 \)

\( 7^{X+1}\cdot7^{2X+2}=7^{X+1}+2^{X+2}=7^{3X+3} \)

\(X^4\cdot X^5=X^{4+5}=X^9\)

Multiplicacion de potencias con base identica 1

División de potencias con base idéntica

\( \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \)

\( a≠0 \)

Si dividimos potencias de idéntica base, la potencia del resultado equivaldrá a la diferencia de las potencias.
Por ejemplo:

\( \frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1 \)

\( \frac{7^{2X}}{7^X}=7^{2X-X}=7^X \)

\( \frac{X^7}{X^5}=X^{7-5}=X^2 \)

Division de potencias con base identica 2

Potencias de potencias

Veamos el siguiente ejemplo de potencia de potencia

\( \left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m} \)

Cuando nos encontramos ante una potencia de una potencia, el resultado será la multiplicación de dichas potencias.
Por ejemplo:

\( \left(a^2\right)^3=a^{2\cdot3}=a^6 \)

\( \left(a^X\right)^2=a^{2X} \)

Potencias de potencias nuevo

Potencia de la multiplicación de varios términos

\( \left(a\cdot b\cdot c\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n \)

Por ejemplo:

\( \left(2\cdot3\cdot4\right)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2 \)

\( \left(X\cdot2\cdot X\right)^2=X^2\operatorname{\cdot}2^2\cdot X^2 \)

\( \left(X^2\operatorname{\cdot}2\operatorname{\cdot}y^3\right)^2=X^4\operatorname{\cdot}2^2\cdot y^6 \)

Potencia de fracciones

\( (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)

Por ejemplo:

\( (\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2} \)

\( (\frac{X}{y})^3=\frac{X^3}{y^3} \)

Potencias negativas

Veamos el siguiente ejemplo de potencia negativa

\( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)

\( \frac{1}{a^{-n}}=a^n \)

Esta regla se emplea frecuentemente para deshacernos de las potencias negativas.
Por ejemplo:

\( 5^2=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \)

\( \frac{1}{2^{-3}}=2^3=8 \)

Potencias negativas nuevo

Reglas sobre la potenciación de 0

\( a^0=1 \)

Todo número elevado a \( 0 \) equivale a \( 1 \).

\( 0^n=0 \)

El número \( 0 \) elevado a cualquier potencia (distinta de \( 0 \)) equivale a \( 0 \).

\( 0^0 \) = sin determinar

No se ha determinado el valor del número \( 0 \) elevado a \( 0 \).

potencia de 0 nuevo

Reglas sobre la potenciación de 1

\( 1^n=1 \)

El número \( 1 \) elevado a cualquier potencia equivale a \( 1 \).

Reglas sobre la potenciacion de 1 nuevo

Ejercicios con potencias

¡Muy pronto!