Definición de potencia

La potencia es una manera de escribir de forma abreviada la multiplicación de un término por sí mismo varias veces.

La cifra que se multiplica por sí misma recibe el nombre de base, mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama exponente.

an=aaa a^n=a\cdot a\cdot a ... (n veces)

Por ejemplo:

5555=54 5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4

5 5 es la base, mientras que 4 4 es el exponente.

En este caso, la cifra 5 5 se multiplica 4 4 veces por sí misma y, por tanto, se expresa como 5 5 elevado a la cuarta potencia o 5 5 elevado a 4 4 .

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¡Pruébate en propiedades de potenciación!

einstein

\( 8^2\cdot8^3\cdot8^5= \)

Quiz y otros ejercicios

Las reglas de potenciación son reglas que nos ayudan a realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con potencias. En determinados ejercicios, si no se emplean correctamente las reglas de potenciación, se nos hará muy difícil dar con la solución y, por tanto, nos conviene saberlas.

¡No te preocupes! No se trata de reglas complicadas. Si te esfuerzas en comprenderlas y practicas lo suficiente, podrás aplicarlas fácilmente.

En este artículo recordaremos, para comenzar, cuál es la definición de potencia y, después, nos centraremos de manera ordenada en las diferentes reglas de potenciación.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.


Definición de potencia

Las Reglas de Potenciación - Definicion de potencia

Comprueba tu conocimiento

Multiplicación de potencias de igual base

anam=an+m a^n\cdot a^m=a^{n+m}

Si multiplicamos potencias de igual base, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de las potencias.

Por ejemplo

5253=52+3=55 5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5

7X+172X+2=7X+1+2X+2=73X+3 7^{X+1}\cdot7^{2X+2}=7^{X+1}+2^{X+2}=7^{3X+3}

X4X5=X4+5=X9X^4\cdot X^5=X^{4+5}=X^9

multiplicación de potencias de igual bases 22


¿Sabes cuál es la respuesta?

División de potencias con bases iguales

anam=anm \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

a0 a≠0

Si dividimos potencias de bases iguales, la potencia del resultado equivaldrá a la diferencia de las potencias.

Por ejemplo

5453=543=51 \frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1

72X7X=72XX=7X \frac{7^{2X}}{7^X}=7^{2X-X}=7^X

X7X5=X75=X2 \frac{X^7}{X^5}=X^{7-5}=X^2

Division de potencias de igual base


Comprueba que lo has entendido

Potencias de potencias

Veamos el siguiente ejemplo de potencia de potencia

(an)m=anm \left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}

Cuando nos encontramos ante una potencia de una potencia, el resultado será la multiplicación de dichas potencias.


Por ejemplo

(a2)3=a23=a6 \left(a^2\right)^3=a^{2\cdot3}=a^6

(aX)2=a2X \left(a^X\right)^2=a^{2X}

potencias - potencia de una potencia


¿Crees que podrás resolverlo?

Potencia de la multiplicación de varios términos

(abc)n=anbncn \left(a\cdot b\cdot c\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n

Por ejemplo

(234)2=223242 \left(2\cdot3\cdot4\right)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2

(X2X)2=X222X2 \left(X\cdot2\cdot X\right)^2=X^2\operatorname{\cdot}2^2\cdot X^2

(X22y3)2=X422y6 \left(X^2\cdot2\cdot y^3\right.)^2=X^4\cdot2^2\cdot y^6


Comprueba tu conocimiento

Potencia de fracciones

(ab)n=anbn (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

Por ejemplo

(53)2=5232 (\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2}

(Xy)3=X3y3 (\frac{X}{y})^3=\frac{X^3}{y^3}


¿Sabes cuál es la respuesta?

Potencias negativas

Veamos el siguiente ejemplo de potencia negativa

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n}

1an=an \frac{1}{a^{-n}}=a^n

Esta regla se emplea frecuentemente para deshacernos de las potencias negativas.

Por ejemplo

52=152=125 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}

123=23=8 \frac{1}{2^{-3}}=2^3=8

Potencias negativas nuevo

Comprueba que lo has entendido

Reglas sobre la potenciación de 0

a0=1 a^0=1

Todo número elevado a 0 0 equivale a 1 1 .

0n=0 0^n=0

El número 0 0 elevado a cualquier potencia (distinta de 0 0 ) equivale a 0 0 .

00 0^0 = sin determinar

No se ha determinado el valor del número 0 0 elevado a 0 0 .

potencia de 0 nuevo

Reglas sobre la potenciación de 1

1n=1 1^n=1

El número 1 1 elevado a cualquier potencia equivale a 1 1 .

Reglas sobre la potenciacion de 1 nuevo

¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicios con potencias

Ejercicio 1: (Incógnitas en el valor de la potencia)

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

(Am)n (A^m)^n

(4X)2 (4^X)^2

Solución:

(4X)2=4X×2 (4^X)^2=4^{X\times2}


Ejercicio 2: (Número de elementos )

(am)n=am×n (a^m)n^=a^{m\times n}

Tarea:

Resolver el ejercicio:

(X2×3)2=? (X²\times3)²=\text{?}

Solución:

(X2×3)2=X2×2×32=X4×9=9X4(X²\times3)²=X^{2\times2}\times3²=X^4\times9=9X^4

Antes de la fórmula:

(a×b)m=am×bm (a\times b)^{m=}a^m\times b^m

Y además

(am)n= (a^m)^n= Duplicación de la potencia

Respuesta:

9X4 9X^4


Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 3

Tarea:

Resuelve el ejercicio:

((73)2)6+(31)3(23)4=? ((7\cdot3)^2)^6+(3^{-1})^3\cdot(2^3)^4=\text{?}

Solución:

(73)26+313234=? (7\cdot3)^{2\cdot6}+3^{-1\cdot3}\cdot2^{3\cdot4}=\text{?}

2112+33212=? 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}=\text{?}

Respuesta:

2112+33212 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}

Para consignas como las siguientes, se puede utilizar la siguiente fórmula:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}


Ejercicio 4: (Propiedades de las potencias)

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

2324+(43)2+2523= 2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=

Solución:

2324+(43)2+2523= 2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=

23+4+432+2(53)=27+412+22 2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{(5-3)}=2^7+4^{12}+2^2

Respuesta:

27+412+22 2^7+4^{12}+2^2

La respuesta está respaldada por una serie de propiedades:

  1. (am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}
  2. aXaY=aXY \frac{a^X}{a^Y}=a^{X-Y}
  3. aXaY=aX+Y a^X\cdot a^Y=a^{X+Y}

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 5

Tarea:

¿Qué expresión tiene mayor valor?

102,24,37,55 10^{2},2^{4},3^{7},5^{5}

Solución:

102=100 10^2=100

24=16 2^4=16

37=2187 3^7=2187

55=3125 5^5=3125

Respuesta:

Este mayor valor 55 5^5


Ejercicio 6

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

((4X)3Y)2 ((4X)^{3Y})^2

Solución:

(4X)3Y2=4X6Y (4X)^{3Y\cdot2}=4X^{6Y}


Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 7

Fórmula:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

(42)3+(93)4=? (4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}

Solución:

(42)3+(93)4=? (4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}

423+934=46+912 4^{2\cdot3}+9^{3\cdot4}=4^6+9^{12}

Respuesta:

46+912 4^6+9^{12}


Preguntas y respuestas sobre el tema potenciación

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Multiplicación con mismas bases, división con mismas bases y potencia de potencias.


¿Cómo se realiza una multiplicación con bases iguales?

Se suman los exponentes.


¿Cómo se realiza una división con bases iguales?

Se restan los exponentes .


¿A cuanto equivale un número elevado a la 0?

A uno, siempre y cuando la base no sea cero.


¿Crees que podrás resolverlo?
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