Las Reglas de Potenciación

La potencia es una manera de escribir de forma abreviada la multiplicación de un término por sí mismo varias veces.

La cifra que se multiplica por sí misma recibe el nombre de base, mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama exponente.

$a^n=a\cdot a\cdot a$... (n veces)

Por ejemplo:

$5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4$

$5$ es la base, mientras que $4$ es el exponente.

En este caso, la cifra $5$ se multiplica $4$ veces por sí misma y, por tanto, se expresa como $5$ elevado a la cuarta potencia o $5$ elevado a $4$.

Las reglas de potenciación son reglas que nos ayudan a realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con potencias. En determinados ejercicios, si no se emplean correctamente las reglas de potenciación, se nos hará muy difícil dar con la solución y, por tanto, nos conviene saberlas.

¡No te preocupes! No se trata de reglas complicadas. Si te esfuerzas en comprenderlas y practicas lo suficiente, podrás aplicarlas fácilmente.

En este artículo recordaremos, para comenzar, cuál es la definición de potencia y, después, nos centraremos de manera ordenada en las diferentes reglas de potenciación.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

• Potencias
• Multiplicación de potencias de igual base
• División de potencias de igual base
• Potencia de una multiplicación
• Potencia de un cociente
• Potencia de una potencia
• Potencia con exponente cero
• Potencias de exponente entero negativo
• Sacar provecho de todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes
• Potenciación de números enteros

En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Si multiplicamos potencias de igual base, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de las potencias.

Por ejemplo:

$5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5$

$7^{X+1}\cdot7^{2X+2}=7^{X+1}+2^{X+2}=7^{3X+3}$

$X^4\cdot X^5=X^{4+5}=X^9$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

$a≠0$

Si dividimos potencias de bases iguales, la potencia del resultado equivaldrá a la diferencia de las potencias.

Por ejemplo:

$\frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1$

$\frac{7^{2X}}{7^X}=7^{2X-X}=7^X$

$\frac{X^7}{X^5}=X^{7-5}=X^2$

Veamos el siguiente ejemplo de potencia de potencia

$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

Cuando nos encontramos ante una potencia de una potencia, el resultado será la multiplicación de dichas potencias.
Por ejemplo:

$\left(a^2\right)^3=a^{2\cdot3}=a^6$

$\left(a^X\right)^2=a^{2X}$

$\left(a\cdot b\cdot c\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n$

Por ejemplo:

$\left(2\cdot3\cdot4\right)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2$

$\left(X\cdot2\cdot X\right)^2=X^2\operatorname{\cdot}2^2\cdot X^2$

$\left(X^2\operatorname{\cdot}2\operatorname{\cdot}y^3\right)^2=X^4\operatorname{\cdot}2^2\cdot y^6$

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Por ejemplo:

$(\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2}$

$(\frac{X}{y})^3=\frac{X^3}{y^3}$

Veamos el siguiente ejemplo de potencia negativa

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$\frac{1}{a^{-n}}=a^n$

Esta regla se emplea frecuentemente para deshacernos de las potencias negativas.
Por ejemplo:

$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$

$\frac{1}{2^{-3}}=2^3=8$

$a^0=1$

Todo número elevado a $0$ equivale a $1$.

$0^n=0$

El número $0$ elevado a cualquier potencia (distinta de $0$) equivale a $0$.

$0^0$ = sin determinar

No se ha determinado el valor del número $0$ elevado a $0$.

$1^n=1$

El número $1$ elevado a cualquier potencia equivale a $1$.

Ejercicio 1: (Incógnitas en el valor de la potencia)

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

$(A^m)^n$

$(4^X)^2$

Solución:

$(4^X)^2=4^{X\times2}$

Ejercicio 2: (Número de elementos )

$(a^m)n^=a^{m\times n}$

Tarea:

Resolver el ejercicio:

$(X²\times3)²=\text{?}$

Solución:

$(X²\times3)²=X^{2\times2}\times3²=X^4\times9=9X^4$

Antes de la fórmula:

$(a\times b)^{m=}a^m\times b^m$

Y además

$(a^m)^n=$ Duplicación de la potencia

Respuesta:

$9X^4$

Ejercicio 3:

Tarea,:

Resuelve el ejercicio:

$((7\cdot3)^2)^6+(3^{-1})^3\cdot(2^3)^4=\text{?}$

Solución:

$(7\cdot3)^{2\cdot6}+3^{-1\cdot3}\cdot2^{3\cdot4}=\text{?}$

$21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}=\text{?}$

Respuesta:

$21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}$

Para consignas como las siguientes, se puede utilizar la siguiente fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Ejercicio 4: (Propiedades de las potencias)

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

$2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=$

Solución:

$2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=$

$2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{(5-3)}=2^7+4^{12}+2^2$

Respuesta:

$2^7+4^{12}+2^2$

La respuesta está respaldada por una serie de propiedades:

1. $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
2. $\frac{a^X}{a^Y}=a^{X-Y}$
3. $a^X\cdot a^Y=a^{X+Y}$

Ejercicio 5:

Tarea:

¿Qué expresión tiene mayor valor?

$10^{2},2^{4},3^{7},5^{5}$

Solución:

$10^2=100$

$2^4=16$

$3^7=2187$

$5^5=3125$

Respuesta:

Este mayor valor $5^5$

Ejercicio 6:

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

$((4X)^{3Y})^2$

Solución:

$(4X)^{3Y\cdot2}=4X^{6Y}$

Ejercicio 7:

Fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

$(4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}$

Solución:

$(4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}$

$4^{2\cdot3}+9^{3\cdot4}=4^6+9^{12}$

Respuesta:

$4^6+9^{12}$

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Multiplicación con mismas bases, división con mismas bases y potencia de potencias.

¿Cómo se realiza una multiplicación con bases iguales?

Se suman los exponentes.

¿Cómo se realiza una división con bases iguales?

Se restan los exponentes .

¿A cuanto equivale un número elevado a la 0?

A uno, siempre y cuando la base no sea cero.