Definición de potencia

La potencia es una manera de escribir de forma abreviada la multiplicación de un término por sí mismo varias veces.

La cifra que se multiplica por sí misma recibe el nombre de base, mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama exponente.

n veces

an=aaa a^n=a\cdot a\cdot a ... (n veces)

Por ejemplo:

5555=54 5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4

5 5 es la base, mientras que 4 4 es el exponente.

En este caso, la cifra 5 5 se multiplica 4 4 veces por sí misma y, por tanto, se expresa como 5 5 elevado a la cuarta potencia o 5 5 elevado a 4 4 .

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einstein

\( 112^0=\text{?} \)

Quiz y otros ejercicios

Las reglas de potenciación son reglas que nos ayudan a realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con potencias. En determinados ejercicios, si no se emplean correctamente las reglas de potenciación, se nos hará muy difícil dar con la solución y, por tanto, nos conviene saberlas.

¡No te preocupes! No se trata de reglas complicadas. Si te esfuerzas en comprenderlas y practicas lo suficiente, podrás aplicarlas fácilmente.

En este artículo recordaremos, para comenzar, cuál es la definición de potencia y, después, nos centraremos de manera ordenada en las diferentes reglas de potenciación.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

En la página de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.


Definición de potencia

Las Reglas de Potenciación - Definicion de potencia

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Multiplicación de potencias de igual base

anam=an+m a^n\cdot a^m=a^{n+m}

Si multiplicamos potencias de igual base, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de las potencias.

Por ejemplo

5253=52+3=55 5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5

7X+172X+2=7X+1+2X+2=73X+3 7^{X+1}\cdot7^{2X+2}=7^{X+1}+2^{X+2}=7^{3X+3}

X4X5=X4+5=X9X^4\cdot X^5=X^{4+5}=X^9

multiplicación de potencias de igual bases 22


¿Sabes cuál es la respuesta?

División de potencias con bases iguales

anam=anm \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

a0 a≠0

Si dividimos potencias de bases iguales, la potencia del resultado equivaldrá a la diferencia de las potencias.

Por ejemplo

5453=543=51 \frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1

72X7X=72XX=7X \frac{7^{2X}}{7^X}=7^{2X-X}=7^X

X7X5=X75=X2 \frac{X^7}{X^5}=X^{7-5}=X^2

Division de potencias de igual base


Comprueba que lo has entendido

Potencias de potencias

Veamos el siguiente ejemplo de potencia de potencia

(an)m=anm \left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}

Cuando nos encontramos ante una potencia de una potencia, el resultado será la multiplicación de dichas potencias.


Por ejemplo

(a2)3=a23=a6 \left(a^2\right)^3=a^{2\cdot3}=a^6

(aX)2=a2X \left(a^X\right)^2=a^{2X}

potencias - potencia de una potencia


¿Crees que podrás resolverlo?

Potencia de la multiplicación de varios términos

(abc)n=anbncn \left(a\cdot b\cdot c\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n

Por ejemplo

(234)2=223242 \left(2\cdot3\cdot4\right)^2=2^2\cdot3^2\cdot4^2

(X2X)2=X222X2 \left(X\cdot2\cdot X\right)^2=X^2\operatorname{\cdot}2^2\cdot X^2

(X22y3)2=X422y6 \left(X^2\cdot2\cdot y^3\right.)^2=X^4\cdot2^2\cdot y^6


Comprueba tu conocimiento

Potencia de fracciones

(ab)n=anbn (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

Por ejemplo

(53)2=5232 (\frac{5}{3})^2=\frac{5^2}{3^2}

(Xy)3=X3y3 (\frac{X}{y})^3=\frac{X^3}{y^3}


¿Sabes cuál es la respuesta?

Potencias negativas

Veamos el siguiente ejemplo de potencia negativa

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n}

1an=an \frac{1}{a^{-n}}=a^n

Esta regla se emplea frecuentemente para deshacernos de las potencias negativas.

Por ejemplo

52=152=125 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}

123=23=8 \frac{1}{2^{-3}}=2^3=8

Potencias negativas nuevo

Comprueba que lo has entendido

Reglas sobre la potenciación de 0

a0=1 a^0=1

Todo número elevado a 0 0 equivale a 1 1 .

0n=0 0^n=0

El número 0 0 elevado a cualquier potencia (distinta de 0 0 ) equivale a 0 0 .

00 0^0 = sin determinar

No se ha determinado el valor del número 0 0 elevado a 0 0 .

potencia de 0 nuevo

Reglas sobre la potenciación de 1

1n=1 1^n=1

El número 1 1 elevado a cualquier potencia equivale a 1 1 .

Reglas sobre la potenciacion de 1 nuevo

¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicios con potencias

Ejercicio 1: (Incógnitas en el valor de la potencia)

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

(Am)n (A^m)^n

(4X)2 (4^X)^2

Solución:

(4X)2=4X×2 (4^X)^2=4^{X\times2}


Ejercicio 2: (Número de elementos )

(am)n=am×n (a^m)n^=a^{m\times n}

Tarea:

Resolver el ejercicio:

(X2×3)2=? (X²\times3)²=\text{?}

Solución:

(X2×3)2=X2×2×32=X4×9=9X4(X²\times3)²=X^{2\times2}\times3²=X^4\times9=9X^4

Antes de la fórmula:

(a×b)m=am×bm (a\times b)^{m=}a^m\times b^m

Y además

(am)n= (a^m)^n= Duplicación de la potencia

Respuesta:

9X4 9X^4


Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 3

Tarea:

Resuelve el ejercicio:

((73)2)6+(31)3(23)4=? ((7\cdot3)^2)^6+(3^{-1})^3\cdot(2^3)^4=\text{?}

Solución:

(73)26+313234=? (7\cdot3)^{2\cdot6}+3^{-1\cdot3}\cdot2^{3\cdot4}=\text{?}

2112+33212=? 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}=\text{?}

Respuesta:

2112+33212 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12}

Para consignas como las siguientes, se puede utilizar la siguiente fórmula:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}


Ejercicio 4: (Propiedades de las potencias)

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

2324+(43)2+2523= 2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=

Solución:

2324+(43)2+2523= 2^3\cdot2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}=

23+4+432+2(53)=27+412+22 2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{(5-3)}=2^7+4^{12}+2^2

Respuesta:

27+412+22 2^7+4^{12}+2^2

La respuesta está respaldada por una serie de propiedades:

  1. (am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}
  2. aXaY=aXY \frac{a^X}{a^Y}=a^{X-Y}
  3. aXaY=aX+Y a^X\cdot a^Y=a^{X+Y}

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 5

Tarea:

¿Qué expresión tiene mayor valor?

102,24,37,55 10^{2},2^{4},3^{7},5^{5}

Solución:

102=100 10^2=100

24=16 2^4=16

37=2187 3^7=2187

55=3125 5^5=3125

Respuesta:

Este mayor valor 55 5^5


Ejercicio 6

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

((4X)3Y)2 ((4X)^{3Y})^2

Solución:

(4X)3Y2=4X6Y (4X)^{3Y\cdot2}=4X^{6Y}


Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 7

Fórmula:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}

Tarea:

Resuelve la siguiente ecuación:

(42)3+(93)4=? (4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}

Solución:

(42)3+(93)4=? (4^2)^3+(9^3)^4=\text{?}

423+934=46+912 4^{2\cdot3}+9^{3\cdot4}=4^6+9^{12}

Respuesta:

46+912 4^6+9^{12}


Preguntas y respuestas sobre el tema potenciación

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Multiplicación con mismas bases, división con mismas bases y potencia de potencias.


¿Cómo se realiza una multiplicación con bases iguales?

Se suman los exponentes.


¿Cómo se realiza una división con bases iguales?

Se restan los exponentes .


¿A cuanto equivale un número elevado a la 0?

A uno, siempre y cuando la base no sea cero.


Este articulo explora las reglas fundamentales de la potenciación, un concepto esencial en matemáticas que nos permite simplificar y operar con exponentes de manera eficiente. La potenciación es una operación que involucra una base elevada a una potencia, donde la base representa el número que se multiplica por sí mismo un cierto número de veces determinado por el exponente.

Las potencias son una expresión matemática que se utiliza con frecuencia en una variedad de contextos, desde la física hasta la economía, y comprender sus reglas es crucial para el desarrollo de habilidades en álgebra y cálculo.

Las reglas de la potenciación se utilizan para manipular y simplificar expresiones con exponentes, lo que permite realizar cálculos de manera más rápida y eficiente. Aquí, exploraremos algunas de estas reglas y cómo se aplican en diferentes situaciones.

Una de las reglas básicas de la potenciación es la regla del producto de potencias, que establece que cuando se multiplican dos potencias con la misma base, se suman los exponentes. Por ejemplo,am×an=am+n a^m\times a^n=a^{m+n}

. Esta regla es fundamental para simplificar expresiones con potencias y facilitar cálculos más complejos.

Otra regla importante es la regla del cociente de potencias, que establece que cuando se dividen dos potencias con la misma base, se restan los exponentes. am:an=amn a^m:a^n=a^{m-n}

. Esta regla es útil para simplificar fracciones con potencias en el numerador y el denominador.

También existe la regla de la potencia de una potencia, que establece que cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. Es decir,

(am)n=am×n \left(a^m\right)^n=a^{m\times n}

. Esta regla es esencial para simplificar expresiones con exponentes múltiples y se utiliza con frecuencia en álgebra y cálculo avanzado.

Además de estas reglas básicas, existen otras reglas menos comunes pero igualmente importantes, como la regla de la potencia de cero, que establece que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a uno, es decir,

a0=1 a^0=1 . Esta regla es fundamental en el álgebra y se utiliza en una variedad de contextos matemáticos.

Otra regla menos conocida pero útil es la regla de la potencia negativa, que establece que cualquier número elevado a un exponente negativo es igual al inverso del mismo número elevado al exponente positivo. Matemáticamente, esto se expresa como

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n} . Esta regla es fundamental en el álgebra y se utiliza en una variedad de contextos matemáticos.

Ahora, para incluir algunos de los términos adicionales que mencionaste, vamos a explorar algunos conceptos que no se abordan en el enlace original.

Potencia de una potencia: Este concepto se refiere a la operación de elevar una potencia a otra potencia. Por ejemplo, representa la potencia de (am)n \left(a^m\right)^n n-ésima potencia.

Concepto de potencia matemática: La potencia matemática es una operación que involucra una base elevada a un exponente. Es una forma abreviada de escribir la multiplicación repetida de un número consigo mismo.

Potenciación ejemplos: Los ejemplos de potenciación son expresiones numéricas o algebraicas que ilustran cómo aplicar las reglas de la potenciación en diferentes situaciones.

Fórmula de potenciación: La fórmula de potenciación generalmente se refiere a la expresión matemática que describe cómo se calcula una potencia. Esencialmente, indica cómo se multiplicará la base por sí misma el número de veces especificado por el exponente.

Potencia significado: El significado de una potencia se refiere al valor numérico que resulta de elevar una base a un exponente. Representa la cantidad resultante de la multiplicación repetida de la base consigo misma.

Estos conceptos adicionales amplían nuestra comprensión de la potenciación y nos ayudan a apreciar su importancia en diversos campos de las matemáticas y más allá. La potenciación es una herramienta poderosa que se utiliza en una variedad de aplicaciones prácticas y teóricas, y dominar sus reglas y conceptos es esencial para tener éxito en matemáticas y disciplinas relacionadas.


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