Potencias y raíces: Uso del paréntesis

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):

$(10^2-2\cdot5):3^2 = (100-10):3^2 =90:3^2=\frac{90}{3^2}$Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión entre paréntesis y en el siguiente paso escribimos la operación de división como una fracción,

Posteriormente realizamos la división (en realidad simplificamos la fracción):

$\frac{90}{3^2} =\frac{\not{90}}{\not{9}}=10$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):

$5:(13^2-12^2) =5:(169-144) =5:25=\frac{5}{25}$

Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión entre paréntesis y en el siguiente paso escribimos la operación de división como una fracción,

Posteriormente realizamos la división (en realidad simplificamos la fracción):

$\frac{\not{5}}{\not{25}}=\frac{1}{5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Recuerda primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que estas preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo).

Así que primero calcula los valores de los términos en la potencia y luego resta entre los resultados:

$(5-2)^2-2^3 =3^2-2^3=9-8=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):

$(\sqrt{100}-\sqrt{9})^2:7 = (10-3)^2:7 =7^2:7=\frac{7^2}{7}$Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión entre paréntesis y en el siguiente paso escribimos la operación de división como una fracción,

A continuación, calculamos el valor del término en el numerador de la fracción realizando la multiplicación, y en el siguiente paso realizamos la división (en realidad simplificamos la fracción):

$\frac{7^2}{7} =\frac{\not{49}}{\not{7}}=7$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y la división, que preceden a la suma y la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Entonces, primero calculamos el valor de la expresión dentro de los paréntesis (calculando primero las raíces dentro de los paréntesis):

$(\sqrt{9}-\sqrt{4})^2\cdot4^2-5^1 =(3-2)^2\cdot4^2-5^1 =1^2\cdot4^2-5^1$Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión de los paréntesis,

A continuación, calculamos el valor de los términos de la potencia

$1^2\cdot4^2-5^1 =1\cdot16-5$A continuación, calculamos el resultado de las multiplicaciones

$1\cdot16-5 =16-5$Luego, realizamos la resta:

$16-5=11$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):

$(4^2+3^2):\sqrt{25} =(16+9):\sqrt{25} =25:\sqrt{25} =\frac{25}{\sqrt{25}}$Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión entre paréntesis y en el siguiente paso escribimos la operación de división como una fracción,

$$ Continuamos y calculamos el valor de la raíz en el denominador:

$\frac{25}{\sqrt{25}} =\frac{25}{5}$Y luego realizamos la división (simplificando la fracción de hecho):

$\frac{25}{5} =5$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):$(\sqrt{25}-2^2)^3+2^3= (5-4)^3+2^3=1^3+2^3$Cuando en el segundo paso simplificamos la expresión entre paréntesis,

A continuación, calculamos los valores de los términos en los exponentes y realizamos la operación de suma:

$1^3+2^3=1+8=9$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Recordemos primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Por lo tanto, primero calculamos el valor de la expresión dentro del paréntesis (calculando primero los valores de los términos en la potencia dentro de los paréntesis):

$(3^2+2^2)^2:(\sqrt{256}-\sqrt{9})-\sqrt{9}\cdot\sqrt{9} =\\ (9+4)^2:(16-3)-\sqrt{9}\cdot\sqrt{9}$Posteriormente simplificamos las expresiones entre paréntesis y realizamos la operación de división:

$(9+4)^2:(16-3)-\sqrt{9}\cdot\sqrt{9} =\\ 13^2:13-\sqrt{9}\cdot\sqrt{9} =\\ \frac{13^2}{13}-3\cdot3$Cuando en el último paso registramos la operación de división como una fracción y calculamos el valor numérico de las raíces en el segundo término desde la izquierda,

Aquí puedes usar la propiedad de potenciación para dividir términos con bases idénticas, para calcular el resultado del primer término de la izquierda en la expresión que obtuvimos en el último paso, sin embargo, también puedes recordar que elevar al cuadrado es duplicar el número en sí, por lo que esta fracción se puede calcular más fácilmente simplificando:$\frac{13^2}{13}-3\cdot3=\frac{\not{13}\cdot13}{\not{13}}-3\cdot3=13-9$Cuando en el último paso realizamos adicionalmente la multiplicación en el segundo término desde la izquierda,

Luego queda calcular el resultado de la operación de resta:$13-9 =4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$$Un concepto básico en este marco de operaciones matemáticas es que la multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma y resta, y que las operaciones entre paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

Debemos notar que cuando se menciona la palabra 'fracción' (cualquier fracción) se refiere a fracciones (en su totalidad) entre las cuales se realiza una operación de división, es decir, se puede tratar la fracción como el numerador y el denominador como fracciones en paréntesis, lo que nos permite simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \downarrow\\ \big((2^2-3)^{15}+4^2\big):(15+2)-(3^2-2^2):5$Esto destaca que debemos tratar las fracciones que están en el numerador y las que están en el denominador por separado, como si estuvieran en paréntesis,

Volveremos a la fracción original en el problema, es decir, en la forma dada, y simplificaremos, simplificando por separado las fracciones diferentes que están en los numeradores y denominadores que causan el problema, y esto se hace siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado y de manera ordenada,

Comenzaremos con el numerador de la primera fracción de izquierda a derecha en la fracción dada, debemos notar que en este numerador cambiará la fracción en paréntesis que afecta la multiplicación, por lo tanto, simplificaremos esta fracción, esto siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, debemos notar además que en esta fracción en paréntesis (que afecta la multiplicación por 15) existe un excedente, por lo tanto, comenzaremos a calcular el valor numérico de este excedente en la multiplicación y luego realizaremos la operación de resta que está en paréntesis:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{(4-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5} \\$ Continuaremos con la simplificación de la fracción que recibimos en el paso anterior y simplificaremos los numeradores y denominadores que están en la fracción, esto se hace siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, por lo tanto, comenzaremos a calcular los valores numéricos de los excedentes en la multiplicación y luego realizaremos las operaciones de división y resta que están en paréntesis:

$\frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1+16}{17}-\frac{9-4}{5}= \\ \frac{17}{17}-\frac{5}{5}\\$ Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, esto nuevamente, siguiendo el orden de operaciones matemáticas mencionado, por lo tanto, comenzaremos a realizar la operación de división de los denominadores, esto se hace manualmente, y luego realizaremos la operación de resta:

$\frac{17}{17}-\frac{5}{5}=\\ \frac{\not{17}}{\not{17}}-\frac{\not{5}}{\not{5}}=\\ 1-1=\\ 0$

Concluiremos si seguimos estos pasos de simplificación de la fracción dada, recibimos que:

$\frac{(2^2-3)^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5}= \\ \frac{1^{15}+4^2}{15+2}-\frac{3^2-2^2}{5} =\\ \frac{1+16}{17}-\frac{9-4}{5}= \\ 0$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta D.

Este concepto básico se llama la jerarquía de las operaciones matemáticas, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas,

Recordemos que la suma y la resta son operaciones inversas entre sí (cada una deshace a la otra) y que la multiplicación y la división son operaciones inversas entre sí (en su totalidad) que se realizan entre ellas la operación de división, es decir, podemos tratar la suma y la resta como fracciones que se suman o restan, de esta manera podemos simplificar la fracción dada y escribirla de la siguiente manera:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}= \\ \downarrow\\ \big((25-2-16)^2+3\big):(8+5):\sqrt{9}$Esto se hace para enfatizar que las fracciones que se suman o restan deben tratarse por separado, ya que realmente existen como fracciones,

Regresando al concepto original de la pregunta, es decir, en la forma dada, y simplificando por separado las fracciones que se suman o restan en la pregunta y las fracciones que se multiplican, esto se hace en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada anteriormente y de una manera ordenada,

Recordemos que en la fracción dada, las fracciones que se multiplican cambian la fracción en términos de su fortaleza, por lo tanto, comenzaremos simplificando esta fracción, ya que esta fracción incluye solo multiplicación y división, realizamos las operaciones en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, simplificando la fracción que se multiplica:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}\\$Continuaremos y simplificaremos la fracción que recibimos en el paso anterior, es decir, primero realizaremos la operación de división del divisor, esto se hace mediante simplificación, y luego realizaremos la operación de división restante:

$\frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{49+3}{13}:3=\\ \frac{52}{13}:3\\$En el primer paso, dado que el resultado de la operación de división puede ser una fracción impropia (mayor que un entero, dado que el divisor es mayor que el dividendo) lo anotamos como una fracción mixta (donde el entero es mayor que el denominador),

Resumiremos los pasos de simplificación de la fracción dada, hemos encontrado que:

$\frac{\not{52}}{\not{13}}:3=\\ 4:3=\\ \frac{4}{3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la respuesta B.

Nota:

Recordemos que en el conjunto de los últimos pasos de la solución al problema, podemos comenzar a anotar el divisor y la operación de división que se realiza sobre él incluso sin el divisor, pero mediante la operación de división:

$\frac{(25-2-16)^2+3}{8+5}:\sqrt{9}=\\ \frac{7^2+3}{13}:\sqrt{9}=\\ \frac{52}{13}:3=\\ \frac{4}{3}$Y continuando comenzaremos a calcular la operación de división en el divisor y solo después de hacerlo en el número 3, enfatizamos que en general simplificamos esta fracción en conformidad con la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, realizamos las operaciones una tras otra de izquierda a derecha, y esto significa que no hay prioridad para una operación de división en la fracción dada más allá de lo que está determinado por la jerarquía de las operaciones matemáticas naturales, es decir, de izquierda a derecha, (Recordemos además que la jerarquía de las operaciones matemáticas mencionada al principio del problema, que establece que la multiplicación y la división se realizan antes que la suma y la resta, y que las operaciones dentro de los paréntesis tienen prioridad sobre todas ellas, no define una prioridad incluso entre la multiplicación y la división, y por lo tanto el orden entre estas dos operaciones, en diferentes contextos, es diferente, se considera de izquierda a derecha).

Antes de resolver el ejercicio, comencemos por simplificar la potencia y la raíz:

$7^2=7\times7=49$

$\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$

Ahora, ordenamos el ejercicio en consecuencia:

$\frac{49-6:6}{3+3}\times(5+2)=$

Según las reglas del orden de las operaciones aritméticas, los paréntesis se resuelven primero:

$\frac{49-6:6}{3+3}\times(7)=$

Ahora nos enfocamos en la fracción, comenzamos con el ejercicio de división en el numerador, luego sumamos y restamos según corresponda:

$\frac{49-1}{3+3}\times(7)=\frac{48}{6}\times(7)=$

Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha, primero el ejercicio de división y finalmente multiplicamos:

$8\times7=56$