La raíz de un producto: Número de términos

Para simplificar la expresión dada usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para un producto de números con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos definiendo las raíces como exponentes usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}= \\ \downarrow\\ 2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}=$Como estamos multiplicando cuatro números con los mismos exponentes podemos usar la ley de exponentes mostrada en B (que también se aplica a un producto de números con la misma base) y combinarlos en un producto con la misma base que está elevada al mismo exponente:

$2^{\frac{1}{2}}\cdot5^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}= \\ (2\cdot5\cdot2\cdot2)^{\frac{1}{2}}=\\ 40^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{40}}$En el último paso realizamos el producto que está en la base, luego usamos nuevamente la definición de la raíz como un exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a escribir la raíz.

Por lo tanto, ten en cuenta que la respuesta correcta es la respuesta C.