La raíz de un producto

Comencemos recordando cómo definir una raíz como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

A continuación, recordaremos que elevar 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1, incluso la potencia de un medio de la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{16}\cdot\sqrt{1}= \\ \downarrow\\ \sqrt{16}\cdot\sqrt[2]{1}=\\ \sqrt{16}\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\\ \sqrt{16} \cdot1=\\ \sqrt{16} =\\ \boxed{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Comencemos recordando cómo definir una raíz cuadrada como una potencia:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Luego, recordemos que elevar 1 a cualquier potencia siempre nos da 1, incluso la potencia de un medio que obtuvimos al convertir la raíz cuadrada.

En otras palabras:

$$$\sqrt{1} \cdot \sqrt{2}= \\ \downarrow\\ \sqrt[2]{1}\cdot \sqrt{2}=\\ 1^{\frac{1}{2}} \cdot\sqrt{2} =\\ 1\cdot\sqrt{2}=\\ \boxed{\sqrt{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$B. La ley de exponentes para dividir potencias con la misma base (en la dirección opuesta):

$x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n$

Empecemos usando la ley de exponentes mostrada en A:

$\sqrt{10}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=$Continuamos, ya que tenemos una multiplicación entre dos términos con exponentes iguales, podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos bajo la misma base que está elevada al mismo exponente:

$10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (10\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 30^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{30}}$En los últimos pasos, realizamos la multiplicación de las bases y usamos la definición de la raíz como exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, porque la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{100}\cdot\sqrt{25}=\\ 10\cdot5=\\ \boxed{50}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Podemos simplificar la expresión directamente sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

$\sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=\\ 5\cdot2=\\ \boxed{10}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.