Área del círculo: ¿Cuántas veces cabe la forma dentro de otra forma?

Para resolver este problema, necesitamos encontrar cuántas veces cabe el área del círculo pequeño en el área del círculo grande. Haremos esto calculando ambas áreas y encontrando su razón.

Paso 1: Identificar la información dada
Tenemos dos círculos:

• Círculo pequeño con radio $r_1 = 4$ cm
• Círculo grande con radio $r_2 = 10$ cm

Paso 2: Calcular el área del círculo pequeño
Usando la fórmula para el área de un círculo $A = \pi r^2$, obtenemos:
$A_1 = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi$ centímetros cuadrados

Paso 3: Calcular el área del círculo grande
De manera similar, para el círculo grande:
$A_2 = \pi \cdot 10^2 = \pi \cdot 100 = 100\pi$ centímetros cuadrados

Paso 4: Encontrar cuántas veces cabe el área pequeña en el área grande
Dividimos el área grande entre el área pequeña:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{100\pi}{16\pi} = \frac{100}{16}$

Paso 5: Simplificar la fracción
$\frac{100}{16} = \frac{25}{4}$

Paso 6: Convertir a un número mixto
$\frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$

Esto tiene sentido porque cuando escalamos el radio de un círculo por un factor de $\frac{10}{4} = 2.5$, su área se escala por el cuadrado de ese factor: $(2.5)^2 = 6.25 = 6\frac{1}{4}$.

Por lo tanto, el área del círculo pequeño cabe en el círculo grande $6\frac{1}{4}$ veces.