Elementos de la circunferencia

¿Qué es la circunferencia?

Esta pregunta no tiene fácil respuesta y más complicado aún es entenderla. Si imaginas un punto cualquiera sobre una superficie plana y una serie de puntos cuya distancia con respecto a dicho punto es idéntica, entonces estarás ante una circunferencia. 

La_circunferencia_-_Un_circulo_y_sus_partes (1)

Características de la circunferencia

Perímetro de la circunferencia

Se puede calcular el perímetro de toda circunferencia. Generalmente, podemos decir que para calcularlo, hay que multiplicar por \( 2 \) el valor de \( π \) (pi) y la longitud del radio.

Haz clic para acceder al artículo sobre el perímetro de la circunferencia

El_perimetro_de_la_circunferencia


Área del círculo

Otro dato igual de importante que podemos obtener con respecto a cualquier circunferencia es el área del círculo. Para hallarla, debemos elevar la longitud del radio al cuadrado y después multiplicar el resultado obtenido por π. Haz clic para acceder al artículo sobre el área del círculo

El_area_del_circulo


Ejemplos y práctica

Ejercicio 1:

Tengamos en cuenta la siguiente circunferencia.

El radio de la circunferencia equivale a \( 7 cm \).

La_circunferencia_-_Ejercicio_01

Ayúdate de la imagen y del dato proporcionado para calcular:

1. el diámetro de la circunferencia

2. el perímetro de la circunferencia

3. el área del círculo

Solución: 

\( P=2\times R\timesπ=2\times7\times3,14=43,96 \)

El perímetro de la circunferencia equivale a \( 43,96 cm \).

3. Para calcular el área del espacio que se encuentra dentro de la circunferencia, es decir, del círculo, debemos elevar la longitud del radio de la circunferencia al cuadrado y luego multiplicar el resultado obtenido por el valor de \( π \).

Así, obtenemos: 

\( S=π\times R\times R=3,14X7\times7=153,86 \)

El área del círculo es de \( 153,86cm² \) 

Respuesta: 

El diámetro de la circunferencia equivale a \( 14 cm \).


Ejercicio 2:

Tengamos en cuenta la siguiente circunferencia.

Sabemos que su diámetro es de \(20cm \).

La_circunferencia_-_Ejercicio_02

Ayúdate de la imagen y del dato proporcionado para calcular:

  1. el radio de la circunferencia
  2. el perímetro de la circunferencia
  3. el área del círculo

Solución: 

  1. El diámetro de la circunferencia es en realidad la longitud del radio multiplicada por \( 2 \). En nuestro caso, ya sabemos cuál es el diámetro, por lo que lo único que debemos hacer para hallar la longitud del radio es dividir el diámetro entre \( 2 \). Al dividirlo, obtenemos que el radio de la circunferencia equivale a \( 10 cm \) \( (20/2) \).
  2. Como ya hemos dicho, para calcular el perímetro de la circunferencia debemos multiplicar por \( 2 \) el valor de \( π \) l la longitud del radio (o utilizar directamente el valor del diámetro en lugar de multiplicar la longitud del radio por \( 2 \)). El valor de \( π \) es \( 3,14 \).

Obtenemos que:

\( P=2\times R\timesπ=2\times10\times3,14=62,8 \)

El perímetro de la circunferencia es de \( 62,8 cm \).Para calcular el área del círculo, debemos elevar la longitud del radio (obtenida en el apartado a. anterior) de la circunferencia al cuadrado y luego multiplicar el resultado obtenido por el valor de \( π \).

Así, obtenemos: 

\( S=π\times R\times R=3,14\times10\times10=314 \)

  1. El área del círculo es de \( 314 cm² \)

Ejercicios de la circunferencia:

Ejercicio 1:

Consigna:

Dado la circunferencia de la figura

El diámetro de la circunferencia es \( 13 \),

¿Cuál es su área?

Ejercicio 1 Consigna Dado la circunferencia de la figura

Solución

Es sabido que el diámetro de la circunferencia es dos veces su radio, es decir es posible saber el radio del círculo en la figura.

\( 13:2=6.5 \)

Para encontrar el área del círculo, reemplazamos los datos que tenemos en la fórmula del cálculo del círculo

\( A=\pi\times R² \)

Reemplazamos los datos que tenemos:

\( A=\pi\times6.5² \)

\( A=\pi42.25 \)

Respuesta

\( pi42.25 \)


Ejercicio 2:

Consigna

Dado un triángulo equilátero en un círculo

¿Cuál es elárea del círculo?

Ejercicio 2 Consigna Dado un triángulo equilátero en un círculo

Solución

Recordemos primero el teorema de que un ángulo circunferencial que se inclina sobre el diámetro es igual a 90 grados

Es decir, el triángulo dentro del círculo es un triángulo rectángulo e isósceles, por lo que se puede usar la fórmula de Pitágoras.

Reemplazamos los datos que tenemos con la fórmula de Pitágoras

\( X=Diámetro \)

\( (\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²=X² \)

La raíz cancela la potencia y por lo tanto obtenemos que

\( 2+2=X² \)

Es decir

\( X²=4 \)

La raíz de \(4\) es \(2\) y por lo tanto el diámetro es igual a \(2\) y el radio es igual a la mitad del diámetro y por lo tanto es igual a \(1\)

Por lo tanto obtenemos que el diámetro es igual a \(2\)

Y el radio es \( 1 \)

Luego agregamos la fórmula del área del círculo

Respuesta

\( π \)


Ejercicio 3:

Dado el semicírculo:

nuevo Ejercicio 3- Dado el semicírculo

Consigna

Calcula su áreaSolución

Puesto que sabemos que se trata de un semicírculo se puede concluir que la base del semicírculo es el diámetro

Sabemos que el diámetro es el doble del radio y por lo tanto podemos saber el radio del círculo

\( Diámetro = 14 \)

\( 14:2=7 \)

\( Radio = 7 \)

La fórmula de cálculo del área de la circunferencia es

\( A=\pi\times R² \)

Reemplazamos los datos en la fórmula

\( A=\pi\times 7² \)

\( A=\pi\times 49 \)

Ya que la consigna era el área del semicírculo dividimos el área de la circunferencia por \( 2 \) y obtenemos la respuesta.

\( \pi49:2=24.5\pi \)

Respuesta

\( \pi49:2=24.5\pi \)


Ejercicio 4:

Consigna

Dada la circunferencia de la figura

Dado que el radio es igual a \( 6 \),

¿Cuál es la circunferencia?

Ejercicio 4- Consigna Dada la circunferencia de la figura

Solución

El radio de la circunferencia es \( r=6 \)

Utilizamos la fórmula de la circunferencia \( 2\pi r \)

Reemplazamos por \( r=6 \)

Obtenemos

\( 2\cdot\pi\cdot6 \)

\( 12\pi \)

Respuesta

\( 12\pi \)


Ejercicio 5:

Consigna

Dada la circunferencia de la figura.

Dado que el radio es igual a \(\frac{2}{3}\),

¿Cuál es la circunferencia?

Ejercicio 5- Consigna Dada la circunferencia de la figura

Solución

El radio de la circunferencia \( r=\frac{2}{3} \)

Utilizamos la fórmula de la circunferencia \( 2\pi r \)

Reemplazamos por \( r=\frac{2}{3} \)

Obtenemos

\( 2\cdot\pi\cdot\frac{2}{3}= \)

\( \frac{4}{3}\pi \)

Respuesta

\( \frac{4}{3}\pi \)


Ejercicio 6:

Dada la circunferencia de la figura.

Dado que el radio es igual a \( 5 \),

¿Cuál es la circunferencia?

Dado que el radio es igual a 5 Cuál es la circunferencia

Solución

Diámetro de la circunferencia

\( 2r=5 \)

Dividimos por \( 2 \)

\( r=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2} \)

Por lo tanto el radio de la circunferencia es \( r=2\frac{1}{2} \)

Utilizamos la fórmula de la circunferencia \( 2\pi r \)

Reemplamos por \( r=2\frac{1}{2} \)

Obtenemos

\( 2\cdot\pi\cdot2\frac{1}{2}= \)

\( 2\cdot2\frac{1}{2}\cdot\pi= \)

\( 5\pi \)

Respuesta

\( 5\pi \)