El círculo es en realidad la parte interior de la circunferencia, es decir, el área cerrada dentro del marco del círculo.

A continuación se muestran algunos ejemplos de diferentes circunferencias. La parte coloreada en cada una de las circunferencias representa el círculo:

Circulo

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¡Pruébate en partes del círculo!

einstein

Complete:

El número Pi \( (\pi) \) representa la relación entre ¿qué partes del círculo?

Quiz y otros ejercicios

El círculo es la parte interior, la que está coloreada (Verde, azul, anaranjado). La circunferencia es solamente el contorno, aquí de color negro.

A menudo, mientras vayas avanzando en los estudios, deberás calcular el área del círculo o el perímetro de la circunferencia (en los siguientes artículos veremos cómo se hace). El área del círculo es la región que está delimitada por la circunferencia (por el contorno). El perímetro de la circunferencia es la longitud del contorno del círculo.

Cuando hablamos de área debemos decir área del círculo y no área de la circunferencia, aunque es cierto que a veces se usa por error y, por lo tanto, tal vez te cruces con la expresión «área de la circunferencia».

Ejemplo:

puntos en posición relativa al círculo

Hemos dibujado un punto rojo para cada una de las ilustraciones. En la ilustración de la derecha el punto está dentro del área del círculo. También podemos decir que se encuentra dentro del perímetro de la circunferencia.

En la ilustración del medio el punto está fuera del área del círculo. También podemos decir que se encuentra fuera del perímetro de la circunferencia. En la ilustración de la izquierda el punto rojo está sobre el perímetro de la circunferencia.


Otros términos fundamentales: centro, radio, cuerda y diámetro

Centro

El centroes el punto interior que equidista a todos los puntos del perímetro. Por lo general este punto se señala con la letra O.

En estas ilustraciones el centro de la circunferencia está marcado con un punto negro:

El centro de la circunferencia


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Radio

El radio es la distancia que hay entre el centro de la circunferencia y cualquier otro punto del perímetro. Se señala con la letra R mayúscula o r minúscula del siguiente modo:

1 - Radio

Veremos que, intuitivamente, cuanto más grande sea el área del círculo y del perímetro, más grande será la longitud del radio. A continuación aprenderemos más peculiaridades de la relación entre ellos.


Cuerda

Una cuerda es una línea recta que une dos puntos del perímetro de la circunferencia. Podemos trazar una cantidad infinita de cuerdas en cualquier circunferencia. Nota que la cuerda no tiene que atravesar el centro de la circunferencia necesariamente. Por ejemplo, observa las cuerdas en la siguiente ilustración:

Cuerda_del_circulo


¿Sabes cuál es la respuesta?

Diámetro de la circunferencia

El diámetro de la circunferencia es la cuerda que pasa exactamente por el centro. Es decir, es la línea recta que une dos puntos del perímetro atravesando el centro de la circunferencia. Se suele señalar con la letra D. Se ve así:

Diametro


Ejercicios de Círculos

Ejercicio 1

Consigna:

Dado la circunferencia de la figura

El diámetro de la circunferencia es 13 13 ,

¿Cuál es su área?

Ejercicio 1 Consigna Dado la circunferencia de la figura

Solución

Es sabido que el diámetro de la circunferencia es dos veces su radio, es decir es posible saber el radio del círculo en la figura.

13:2=6.5 13:2=6.5

Para encontrar el área del círculo, reemplazamos los datos que tenemos en la fórmula del cálculo del círculo

A=π×R2 A=\pi\times R²

Reemplazamos los datos que tenemos:

A=π×6.52 A=\pi\times6.5²

A=π42.25 A=\pi42.25

Respuesta

42.25π 42.25\pi


Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 2

Consigna

Dado un triángulo equilátero en un círculo

¿Cuál es el área del círculo?

Ejercicio 2 Consigna Dado un triángulo equilátero en un círculo

Solución

Recordemos primero el teorema de que un ángulo circunferencial que se inclina sobre el diámetro es igual a 90o 90^o grados

Es decir, el triángulo dentro del círculo es un triángulo rectángulo e isósceles, por lo que se puede usar la fórmula de Pitágoras.

Reemplazamos los datos que tenemos con la fórmula de Pitágoras

X=Diaˊmetro X=Diámetro

(2)2+(2)2=X2 (\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²=X²

La raíz cancela la potencia y por lo tanto obtenemos que

2+2=X2 2+2=X²

Es decir

X2=4 X²=4

La raíz de 44 es 22 y por lo tanto el diámetro es igual a 22 y el radio es igual a la mitad del diámetro y por lo tanto es igual a 11

Por lo tanto obtenemos que el diámetro es igual a 22

Y el radio es 1 1

Luego agregamos la fórmula del área del círculo

Respuesta

π π


Ejercicio 3

Dado el semicírculo:

nuevo Ejercicio 3- Dado el semicírculo

Consigna

Calcula su área

Solución

Puesto que sabemos que se trata de un semicírculo se puede concluir que la base del semicírculo es el diámetro

Sabemos que el diámetro es el doble del radio y por lo tanto podemos saber el radio del círculo

Diaˊmetro=14 Diámetro = 14

14:2=7 14:2=7

Radio=7 Radio = 7

La fórmula de cálculo del área de la circunferencia es

A=π×R2 A=\pi\times R²

Reemplazamos los datos en la fórmula

A=π×72 A=\pi\times 7²

A=π×49 A=\pi\times 49

Ya que la consigna era el área del semicírculo dividimos el área de la circunferencia por 2 2 y obtenemos la respuesta.

π49:2=24.5π \pi49:2=24.5\pi

Respuesta

π49:2=24.5π \pi49:2=24.5\pi


¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicio 4

Consigna

Dado un círculo cuya circunferencia 6.28 6.28

¿Cuál es el área?

Ejercicio 4- Consigna Dado un círculo cuya circunferencia 6.28

Solución

Para resolver esta consigna utilizaremos dos fórmulas:

La primera fórmula es para calcular la circunferencia:

P=2×π×R P=2×π×R

3.14=pi×R 3.14=pi\times R

Dividimos por (3.14) (3.14)

R=1 R=1

La segunda fórmula es para calcular el área del círculo

A=π×R×R A=π×R×R

Reemplazamos la respuesta que obtuvimos

A=π×1×1 A=π×1×1

A=π A=π

Respuesta

π π


Ejercicio 5

Consigna

Dada la forma de la figura

Un cuadrilátero es un cuadrado que el largo de sus lados 5cm 5\operatorname{cm}

Para cada lado se le extiende un semicírculo

¿Cuál es la circunferencia de esta forma?

Dada la forma de la figura Un cuadrilátero es un cuadrado que el largo de sus lados

Solución

La circunferencia se compone de 4 4 semicírculos

412p=2p 4\cdot\frac{1}{2}p=2p

Es decir, en total 2 2 circunferencias que su diámetro 5cm 5\operatorname{cm}

Diámetro = Radio multiplicado por 2 2

El radio multiplicado 2=5 2=5

Dividir por 2 2

radio=2.5cm radio=2.5 cm

p=2π2.5=5π p=2\pi\cdot2.5=5\pi

Calculamos el área de la forma

2p=25π=10π 2\cdot p=2\cdot5\pi=10\pi

Respuesta

10π 10\pi


Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 6

Consigna

Dada la forma de la figura

Para los lados del triángulo se extienden dos semicírculos

El triángulo es equilátero y cada lado tiene una longitud de 6Xcm 6X\operatorname{cm}

¿Cuál es la circunferencia de la forma?

Ejercicio 6 lados del triángulo se extienden dos semicírculos

Solución

P=ladotriaˊngulo+2(12P) P=ladotriángulo+2\cdot\left(\frac{1}{2}P\right)

Diámetro del círculo

= 6Xcm 6X\operatorname{cm}

Cada semicírculo aporta a la circunferencia del semicírculo de todo el círculo el diámetro de un lado de un triángulo.

p=6x+2(122πr)= p=6x+2\cdot(\frac{1}{2}\cdot2\pi r)=

Reducimos por : 2 2

6x+2π(6x2)= 6x+2\cdot\pi(\frac{6x}{2})=

Reducimos por: 2 2

6x+6πx 6x+6\pi x

Respuesta

6x+6πx 6x+6\pi x


Ejercicio 7

Consigna

Dado el círculo de la figura

El radio del círculo es igual a: 9.5 9.5

¿Cuál es su circunferencia?

Ejercicio 7 -Dado radio del círculo es igual a 9.5

Solución

El radio del círculo es r=912 r=9\frac{1}{2}

Usamos la fórmula de la circunferencia

2πr 2\pi r

Reemplazamos en consecuencia y obtenemos

2π912=19π 2\cdot\pi\cdot9\frac{1}{2}=19\pi

Respuesta

19π 19\pi


¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 8

Consigna

Una empresa constructora ofreció dos carpas para el jardín de infantes

Los círculos son idénticos en cada carpa y forman agujeros.

¿Cuál carpa generará más sombra?

Ejercicio 7 -Consigna Una empresa constructora ofreció dos carpas para el jardín de infantes

Solución

La sombra depende del área de la carpa:

S1=784π(22)2= S_1=7\cdot8-4\cdot\pi(\frac{2}{2})^2=

564π(22)2=43.44 56-4\pi(\frac{2}{2})^2=43.44

S2=9203π(32)2= S_2=9\cdot20-3\cdot\pi(\frac{3}{2})^2=

9203π(32)2= 9\cdot20-3\pi(\frac{3}{2})^2=

9206.75π=158.805 9\cdot20-6.75\pi=158.805

Respuesta

B B


Preguntas de repaso

¿Qué es un círculo?

Un círculo es aquella parte que está encerrada en una línea curva llamada circunferencia, en la siguiente imagen el círculo es la parte que está de color azul.

Qué es un círculo


Comprueba que lo has entendido

¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia?

El circulo es la parte que está adentro de la circunferencia, y la circunferencia es la línea que rodea al círculo, veamos la diferencia con la siguiente imagen.

Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia


¿Cuáles son las partes de un círculo?

Un círculo está conformado por un centro, un radio, un diámetro y por una circunferencia.

Un círculo está conformado por un centro, un radio, un diámetro y por una circunferencia


¿Crees que podrás resolverlo?

¿Qué es un círculo unitario?

Aquel que tenga un radio igual a 1 1 se le llama círculo unitario.

Aquel que tenga un radio igual a 1  se le llama círculo unitario


¿Qué es el área de un círculo y como se calcula?

El Área de un círculo es la superficie, es decir, la parte interior de toda la circunferencia y la podemos calcular con la formula A=πR2 A=\pi R^2

Veamos un ejemplo:

Consigna:

Calcular el área del siguiente círculo con D=9 cm D=9\text{ cm}

Calcular el área del siguiente circulo con D=9 cm

Sabemos que el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto:

R=4.5 cm R=4.5\text{ cm}

π=3.14 \pi=3.14

Ahora sustituimos estos datos en la fórmula del área:

A=πR2=3.14(4.5 cm)2 A=\pi R^2=3.14\left(4.5\text{ cm} \right)^2

3.14(20.25cm2)=63.585cm2 3.14\left(20.25\operatorname{cm}^2 \right)=63.585\operatorname{cm}^2

Respuesta

A=63.585cm2 A=63.585\operatorname{cm}^2


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