El círculo es en realidad la parte interior de la circunferencia, es decir, el área cerrada dentro del marco del círculo.
A continuación se muestran algunos ejemplos de diferentes circunferencias. La parte coloreada en cada una de las circunferencias representa el círculo:
El círculo es la parte interior, la que está coloreada (Verde, azul, anaranjado). La circunferencia es solamente el contorno, aquí de color negro.
A menudo, mientras vayas avanzando en los estudios, deberás calcular el área del círculo o el perímetro de la circunferencia (en los siguientes artículos veremos cómo se hace). El área del círculo es la región que está delimitada por la circunferencia (por el contorno). El perímetro de la circunferencia es la longitud del contorno del círculo.
Cuando hablamos de área debemos decir área del círculo y no área de la circunferencia, aunque es cierto que a veces se usa por error y, por lo tanto, tal vez te cruces con la expresión «área de la circunferencia».
Ejemplo:
Hemos dibujado un punto rojo para cada una de las ilustraciones. En la ilustración de la derecha el punto está dentro del área del círculo. También podemos decir que se encuentra dentro del perímetro de la circunferencia.
En la ilustración del medio el punto está fuera del área del círculo. También podemos decir que se encuentra fuera del perímetro de la circunferencia. En la ilustración de la izquierda el punto rojo está sobre el perímetro de la circunferencia.
Otros términos fundamentales relacionados al tema son: centro, radio, cuerda y diámetro.
Centro
El centro es el punto interior que equidista a todos los puntos del perímetro. Por lo general este punto se señala con la letra O.
En estas ilustraciones el centro de la circunferencia está marcado con un punto negro:
Radio
El radio es la distancia que hay entre el centro de la circunferencia y cualquier otro punto del perímetro. Se señala con la letra R mayúscula o r minúscula del siguiente modo:
Veremos que, intuitivamente, cuanto más grande sea el área del círculo y del perímetro, más grande será la longitud del radio. A continuación aprenderemos más peculiaridades de la relación entre ellos.
Cuerda
Una cuerda es una línea recta que une dos puntos del perímetro de la circunferencia. Podemos trazar una cantidad infinita de cuerdas en cualquier circunferencia. Nota que la cuerda no tiene que atravesar el centro de la circunferencia necesariamente. Por ejemplo, observa las cuerdas en la siguiente ilustración:
Diámetro de la circunferencia
El diámetro de la circunferencia es la cuerda que pasa exactamente por el centro. Es decir, es la línea recta que une dos puntos del perímetro atravesando el centro de la circunferencia. Se suele señalar con la letra D. Se ve así:
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Ejercicio 1:
Consigna:
Dado la circunferencia de la figura
El diámetro de la circunferencia es \( 13 \),
Solución
Es sabido que el diámetro de la circunferencia es dos veces su radio, es decir es posible saber el radio del círculo en la figura.
\( 13:2=6.5 \)
Para encontrar el área del círculo, reemplazamos los datos que tenemos en la fórmula del cálculo del círculo
\( A=\pi\times R² \)
Reemplazamos los datos que tenemos:
\( A=\pi\times6.5² \)
\( A=\pi42.25 \)
Respuesta
\( 42.25\pi \)
Ejercicio 2:
Consigna
Dado un triángulo equilátero en un círculo
¿Cuál es el área del círculo?
Solución
Recordemos primero el teorema de que un ángulo circunferencial que se inclina sobre el diámetro es igual a \( 90^o \) grados
Es decir, el triángulo dentro del círculo es un triángulo rectángulo e isósceles, por lo que se puede usar la fórmula de Pitágoras.
Reemplazamos los datos que tenemos con la fórmula de Pitágoras
\( X=Diámetro \)
\( (\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²=X² \)
La raíz cancela la potencia y por lo tanto obtenemos que
\( 2+2=X² \)
Es decir
\( X²=4 \)
La raíz de \(4\) es \(2\) y por lo tanto el diámetro es igual a \(2\) y el radio es igual a la mitad del diámetro y por lo tanto es igual a \(1\)
Por lo tanto obtenemos que el diámetro es igual a \(2\)
Y el radio es \( 1 \)
Luego agregamos la fórmula del área del círculo
Respuesta
\( π \)
Ejercicio 3:
Dado el semicírculo:
Consigna
Calcula su área
Solución
Puesto que sabemos que se trata de un semicírculo se puede concluir que la base del semicírculo es el diámetro
Sabemos que el diámetro es el doble del radio y por lo tanto podemos saber el radio del círculo
\( Diámetro = 14 \)
\( 14:2=7 \)
\( Radio = 7 \)
La fórmula de cálculo del área de la circunferencia es
\( A=\pi\times R² \)
Reemplazamos los datos en la fórmula
\( A=\pi\times 7² \)
\( A=\pi\times 49 \)
Ya que la consigna era el área del semicírculo dividimos el área de la circunferencia por \( 2 \) y obtenemos la respuesta.
\( \pi49:2=24.5\pi \)
Respuesta
\( \pi49:2=24.5\pi \)
Ejercicio 4:
Consigna
Dado un círculo cuya circunferencia \( 6.28 \)
¿Cuál es el área?
Solución
Para resolver esta consigna utilizaremos dos fórmulas:
La primera fórmula es para calcular la circunferencia:
\( P=2×π×R \)
\( 3.14=pi\times R \)
Dividimos por \( (3.14) \)
\( R=1 \)
La segunda fórmula es para calcular el área del círculo
\( A=π×R×R \)
Reemplazamos la respuesta que obtuvimos
\( A=π×1×1 \)
\( A=π \)
Respuesta
\( π \)
Ejercicio 5:
Consigna
Dada la forma de la figura
Un cuadrilátero es un cuadrado que el largo de sus lados \( 5\operatorname{cm} \)
Para cada lado se le extiende un semicírculo
¿Cuál es la circunferencia de esta forma?
Solución
La circunferencia se compone de \( 4 \) semicírculos
\( 4\cdot\frac{1}{2}p=2p \)
Es decir, en total \( 2 \) circunferencias que su diámetro \( 5\operatorname{cm} \)
Diámetro = Radio multiplicado por \( 2 \)
El radio multiplicado \( 2=5 \)
Dividir por \( 2 \)
\( radio=2.5 cm \)
\( p=2\pi\cdot2.5=5\pi \)
Calculamos el área de la forma
\( 2\cdot p=2\cdot5\pi=10\pi \)
Respuesta
\( 10\pi \)
Ejercicio 6:
Consigna
Dada la forma de la figura
Para los lados del triángulo se extienden dos semicírculos
El triángulo es equilátero y cada lado tiene una longitud de \( 6X\operatorname{cm} \)
¿Cuál es la circunferencia de la forma?
Solución
\( P=ladotriángulo+2\cdot\left(\frac{1}{2}P\right) \)
Diámetro del círculo
= \( 6X\operatorname{cm} \)
Cada semicírculo aporta a la circunferencia del semicírculo de todo el círculo el diámetro de un lado de un triángulo.
\( p=6x+2\cdot(\frac{1}{2}\cdot2\pi r)= \)
Reducimos por : \( 2 \)
\( 6x+2\cdot\pi(\frac{6x}{2})= \)
Reducimos por: \( 2 \)
\( 6x+6\pi x \)
Respuesta
\( 6x+6\pi x \)
Ejercicio 7:
Consigna
Dado el círculo de la figura
El radio del círculo es igual a: \( 9.5 \)
¿Cuál es su circunferencia?
Solución
El radio del círculo es \( r=9\frac{1}{2} \)
Usamos la fórmula de la circunferencia
\( 2\pi r \)
Reemplazamos en consecuencia y obtenemos
\( 2\cdot\pi\cdot9\frac{1}{2}=19\pi \)
Respuesta
\( 19\pi \)
Ejercicio 7:
Consigna
Una empresa constructora ofreció dos carpas para el jardín de infantes
Los círculos son idénticos en cada carpa y forman agujeros.
¿Cuál carpa generará más sombra?
Solución
La sombra depende del área de la carpa:
\( S_1=7\cdot8-4\cdot\pi(\frac{2}{2})^2= \)
\( 56-4\pi(\frac{2}{2})^2=43.44 \)
\( S_2=9\cdot20-3\cdot\pi(\frac{3}{2})^2= \)
\( 9\cdot20-3\pi(\frac{3}{2})^2= \)
\( 9\cdot20-6.75\pi=158.805 \)
Respuesta
\( B \)