Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras) - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

En triángulos rectángulos, tenemos una condición que ya existe en primer lugar. Se refiere al ángulo recto que aparece como dado y es el que convierte un triángulo en un triángulo rectángulo. 

En la segunda etapa, pasaremos a los lados. En cada triángulo rectángulo tenemos dos perpendiculares (dos lados entre los que se comprende el ángulo recto) y el otro (el lado mayor del triángulo que se encuentra frente al ángulo recto). 

Cuando hay dos triángulos rectángulos frente a nosotros, en los que un tamaño es perpendicular y el tamaño del resto es igual entre sí, entonces se puede concluir que se trata de triángulos congruentes

Practicar Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)

Ejercicio #1

Dados los triángulos del dibujo

¿Cuál de las afirmaciones es verdadera?

242424242424444666666444AAACCCBBBEEEFFFDDD

Solución Paso a Paso

Esta pregunta en realidad tiene dos pasos:

En el primer paso, debe definir si los triángulos son congruentes o no,

y luego identificar la respuesta correcta entre las opciones.

 

Observemos los triángulos: tenemos dos lados iguales y un ángulo,

Pero este no es el ángulo entre ellos, por lo tanto, no se puede probar de acuerdo con el teorema de L.A.L

Recuerda el cuarto teorema de congruencia - L.L.A
Si los dos triángulos son iguales entre sí en cuanto a las longitudes de los dos lados y el ángulo opuesto al lado que es el mayor, entonces los triángulos son congruentes.

 

Pero el ángulo que tenemos no es opuesto al lado mayor, sino al lado menor,

Por lo tanto, no es posible probar que los triángulos son congruentes y no se puede establecer ningún teorema.

Respuesta

No es posible calcular

Ejercicio #2

Dados los triángulos congruentes ABC y CDA

¿Cuál ángulo es igual al ángulo BAC?

AAABBBEEECCCDDD

Solución en video

Solución Paso a Paso

Observamos el orden de las letras en los triángulos congruentes y escribimos las coincidencias (de izquierda a derecha).

ABC=CDA ABC=CDA

Es decir:

Ángulo A es igual al ángulo C

Ángulo B es igual al ángulo D

Ángulo C es igual al ángulo A

De aquí se deduce que el ángulo BAC (donde la letra A es el medio)

Igual al ángulo C, es decir, al ángulo DCA (donde la letra C es el medio)

Respuesta

C

Ejercicio #3

Dados los triángulos del dibujo

Determina cuál de las afirmaciones es correcta:

343434343434555444444555AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución Paso a Paso

Tengamos en cuenta que:

AC=EF=4

DF=AB=5

Como 5 es mayor que 4 y el ángulo igual a 34 es opuesto al lado mayor en ambos triángulos, entonces el ángulo ACB es igual al ángulo DEF

Por lo tanto, los triángulos son congruentes según el teorema L.L.A, como resultado de esto todos los ángulos y lados son congruentes, y todas las respuestas son correctas.

Respuesta

Todas las respuestas son correctas

Ejercicio #4

Dados los triángulos del dibujo

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?

535353535353101010131313131313101010AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución Paso a Paso

De acuerdo con los datos existentes:

EF=BA=10 EF=BA=10 (Lado)

ED=AC=13 ED=AC=13 (Lado)

Los ángulos iguales a 53 grados son ambos opuestos al lado mayor (que es igual a 13) en ambos triángulos.

(Ángulo)

Puesto que los lados y los ángulos son iguales entre triángulos congruentes, se puede determinar que el ángulo DEF es igual al ángulo BAC

Respuesta

Ángulos BAC es igual al ángulo DEF

Ejercicio #5

Dado: los triángulos ABO y CBO son congruentes.

¿Qué lado es igual a BC?

AAABBBCCCDDDOOO

Solución en video

Solución Paso a Paso

Tengamos en cuenta a las letras de los triángulos congruentes correspondientes:

CBO=ABO CBO=ABO

Es decir, a partir de esto se puede determinar:

CB=AB CB=AB

BO=BO BO=BO

CO=AO CO=AO

Respuesta

Lado AB

Ejercicio #1

Dado: ΔABC isósceles

y la recta AD divide en dos a BC.

¿Acaso ΔADC y ΔADB son congruentes?

Y si es así, ¿según qué teorema de congruencia?

AAABBBCCCDDD

Solución Paso a Paso

Como sabemos que el triángulo es isósceles, entonces AC=AB

AD=AD ya que es un lado común a los triángulos ADC y ADB

Dado que la recta AD interseca al lado BC, y por lo tanto BD=DC

Por lo tanto los triángulos son congruentes según el teorema L.L.L (lado, lado, lado)

Respuesta

Congruentes por L.L.L

Ejercicio #2

¿Qué dato se debe agregar para que los triángulos sean congruentes?

656565555888555888AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución Paso a Paso

Tengamos en cuenta que:

DF=AC=8

DE=AB=5

8 es mayor que 5, por lo tanto el ángulo DEF es opuesto al lado mayor y es igual a 65 grados.

Es decir, la figura que nos falta es el ángulo del segundo triángulo.

Examinaremos qué ángulo está opuesto al lado grande AC.

ABC es el ángulo opuesto al lado mayor AC por lo que debe ser igual a 65 grados.

Respuesta

Ángulo ABC es igual a 65

Ejercicio #3

¿Los triángulos que aparecen en el dibujo son congruentes? En caso afirmativo, explique de acuerdo con qué teoremas de congruencia

120°120°120°120°120°120°161616999161616999AAABBBCCCGGGFFFDDD

Solución Paso a Paso

Para responder a la pregunta, necesitamos conocer el cuarto teorema de congruencia: L.L.A.

El teorema dice que los triángulos son congruentes cuando tienen un par de lados y un ángulo iguales

Sin embargo, existe una condición: el ángulo debe ser el opuesto al lado mayor del triángulo.

 

Comenzamos por los lados:

DF=CB=16
GD=AC=9

Ahora, observamos los ángulos:

A=G=120

 Sabemos que un ángulo de 120 es un ángulo obtuso y este tipo de ángulo siempre está opuesto al lado mayor del triángulo.

Por lo tanto, podemos argumentar que los triángulos son congruentes de acuerdo con el teorema L.L.A

 

Respuesta

Congruentes según L.L.A

Ejercicio #4

¿Cuáles de los triángulos son congruentes?

454545454545454545IIIIII

Solución Paso a Paso

Observemos el ángulo en cada uno de los triángulos y notemos que cada vez es opuesto a la longitud de un lado diferente.

Por lo tanto, ninguno de los triángulos es congruente ya que es imposible saberlo a partir de los datos.

Respuesta

No es posible saber según los datos

Ejercicio #5

¿Son congruentes los triángulos de la imagen?

393939393939555777777555

Solución Paso a Paso

Aunque las longitudes de los lados son iguales en ambos triángulos, observamos que en el triángulo rectángulo el ángulo está junto al lado cuya longitud es 7 y en el triángulo del lado izquierdo el ángulo está junto al lado cuya longitud es 5 .

Como no es el mismo ángulo, los ángulos entre los triángulos no coinciden y por lo tanto los triángulos no son congruentes.

Respuesta

No

Ejercicio #1

¿Qué dato se debe agregar para que los triángulos sean congruentes?

414141393939777999999777AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución Paso a Paso

No es posible añadir datos para que los triángulos sean congruentes ya que los ángulos correspondientes no son iguales entre sí y por tanto los triángulos no podrían ser congruentes entre sí.

Respuesta

No se puede agregar datos para que los triángulos sean congruentes

Ejercicio #2

¿Son congruentes los triángulos del dibujo?

303030303030X+2X+2X+23333332X+4

Solución Paso a Paso

Para que los triángulos sean congruentes, es necesario demostrar que se cumple el teorema L.L.A

Tenemos un lado común cuya longitud en ambos triángulos es igual a 3.

Ahora buscaremos las longitudes de los otros lados:

2X+4=X+2 2X+4=X+2

Pasamos las secciones en concecuencia:24=2XX 2-4=2X-X

2=X -2=X

Colocamos en el triángulo rectángulo y encontraremos la longitud del lado:2+2=0 -2+2=0

Como no es posible que la longitud de un lado sea igual a 0, los triángulos no son congruentes.

Respuesta

No

Ejercicio #3

Dado en el dibujo

AD=BC

AD||BC

¿Según qué teorema, los triángulos ΔADB≅ΔCBD son congruentes?

AAABBBCCCDDD

Solución Paso a Paso

Se nos da que AD=BC

El ángulo ADB es igual al ángulo CBD ya que AD es paralela a BC y los ángulos correspondientes son iguales entre rectas paralelas.

DB=DB ya que es un lado común.

Por lo tanto tenemos dos triángulos que son congruentes según el teorema L.A.L (lado, ángulo, lado)

Respuesta

Según el teorema L.A.L

Ejercicio #4

Dado el triángulo EDC isósceles.

ADE=BCE ∢ADE=∢BCE

AC=BD AC=BD

¿Según qué teorema, los triángulos son congruentes?

ΔADEΔBCE ΔADE≅ΔBCE

AAADDDCCCBBBEEE

Solución Paso a Paso

Argumento:

ΔEDC Triángulo Isósceles

DE=EC (L)

D=C ∢D=∢C

EDC=ECD ∢\text{EDC}=∢\text{ECD}

ADE=BCE ∢\text{ADE}=∢\text{BCE} (A)

E1=E2 ∢E1=∢E2 (A)

Razonamiento:

Dado:

En un triángulo isósceles hay 2 lados iguales.

Dado:

Los ángulos bases de un triángulo isósceles son iguales.

DEDC=CECD ∢D-∢\text{EDC}=∢C-∢ECD (Resta de ángulo)

Triángulos congruentes según el teorema

A.L.A

Respuesta

A.L.A

Ejercicio #5

Dados los triángulos del dibujo

¿Cuál de las afirmaciones es necesariamente verdadera?

727272727272131313222131313222AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Respuesta

Ángulos E es igual al ángulo B