Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)

En triángulos rectángulos, tenemos una condición que ya existe en primer lugar. Se refiere al ángulo recto que aparece como dado y es el que convierte un triángulo en un triángulo rectángulo. 

En la segunda etapa, pasaremos a los lados. En cada triángulo rectángulo tenemos dos perpendiculares (dos lados entre los que se comprende el ángulo recto) y el otro (el lado mayor del triángulo que se encuentra frente al ángulo recto). 

Cuando hay dos triángulos rectángulos frente a nosotros, en los que un tamaño es perpendicular y el tamaño del resto es igual entre sí, entonces se puede concluir que se trata de triángulos congruentes

La congruencia de triángulos rectángulos tiene en cuenta las propiedades únicas de estos triángulos y las utiliza para demostrar la congruencia. 

Ya estamos familiarizados con los teoremas de congruencia habituales:

Congruencia según Lado-Ángulo-Lado
Congruencia según Ángulo-Lado-Ángulo
Congruencia según Lado-Lado-Lado

Congruencia de triángulos rectángulos

Ilustraremos esto con un ejemplo. 

La gráfica muestra dos triángulos rectángulos: ABC \triangle ABC y DEF \triangle DEF .

Los dos triángulos tienen un ángulo recto (igual a 90o 90^o grados).

Además, en ambos triángulos hay una perpendicular igual a 3 3 (es decir, AB=DE AB = DE ), mientras que el restante es igual a 5(AC=DF) 5 (AC = DF) .

Si ahora utilizáramos el teorema de Pitágoras, alcanzaríamos el tamaño de la segunda perpendicular en cada uno de los triángulos y esta perpendicular saldría igual 4 4 , ya que es el mismo cálculo.  

Por lo tanto, siempre podemos hacer uso de la conclusión a la que ya hemos llegado, según la cual cuando nos dan dos triángulos rectángulos, en los que uno de ellos es perpendicular y el resto son iguales entre sí, respectivamente, podemos concluir que estos son triángulos congruentes.  


Ejercicios de congruencia de triángulos rectángulos

Ejercicio 1:

Consigna

Los segmentos AC AC y BD BD se cortan en el puntoK K .

Dado: el punto K K intersecta BD BD .

AK=CK AK=CK

ABAC AB⊥AC

DCAC DC⊥AC

¿A cuál teorema de congruencia pertenece ABKCDK \triangle ABK\cong\triangle CDK ?

Dado el punto K  intersecta BD

Solución

Dado que AK=CK AK=CK

AB AB es perpendicular a: AC AC

A=90° \sphericalangle A=90°

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de 90° 90° grados

DC DC es perpendicular a: AC AC

C=90° \sphericalangle C=90°

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de 90° 90° grados

C=A=90° \sphericalangle C=\sphericalangle A=90°

BK=KD BK=KD

Dado que el punto K K intersecta BD BD

Los triángulos superpuestos según el teorema L.A.L L.A.L

Respuesta

Superpuestos: L.A.L L.A.L


Ejercicio 2:

Consigna

Dado: cuadrilátero ABCD ABCD cuadrado.

Y en su interior contiene el deltoide KBPD KBPD .

¿Según qué teorema de congruencia se superponen los triángulos ΔBAKΔBCP ΔBAK≅ΔBCP ?

Ejercicio 2- Dado cuadrilátero ABCD  cuadrado

Solución

ABCD ABCD Cuadrado

AB=BC AB=BC En un cuadrado todos los lados son iguales.

KBPD KBPD

Dado que es un deltoide

BK=BP BK=BP

En el deltoide dos pares de lados adyacentes son iguales

C=A \sphericalangle C=\sphericalangle A

Los ángulos son iguales en un cuadrado.

BPC=BKA \sphericalangle BPC=\sphericalangle BKA

Los ángulos del deltoide P P y K K son iguales.

Por lo tanto 180K=180P 180-\sphericalangle K=180-\sphericalangle P

ABK=PBC \sphericalangle ABK=\sphericalangle PBC

Si dos ángulos son iguales, también el tercero lo es.

Los triángulos son iguales según L.A.L L.A.L

Respuesta

L.A.L L.A.L


Ejercicio 3:

Consigna

En el dibujo dado hay un triángulo isósceles ACB \triangle ACB

AD AD es la mediana en el triángulo ACB \triangle ACB .

ADC=ADB ∢\text{ADC}=∢\text{ADB}

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔADCΔADB ΔADC≅ΔADB ?

Ejercicio 3 - En el dibujo dado hay un triángulo isósceles ACB

Solución

Dado que AD AD es la mediana

CD=DB CD=DB

La mediana del triángulo va desde el vértice hasta el centro del lado opuesto y divide a CB CB en dos en el punto D D

ADC=ADB \sphericalangle ADC=\sphericalangle ADB

Dado

ABD=ACD \sphericalangle ABD=\sphericalangle ACD

Dado que el triángulo ACB ACB es isósceles, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales

Los triángulos congruentes según el teorema de A.L.A A.L.A

Respuesta

A.L.A A.L.A


Ejercicio 4:

Consigna

En la figura dada:

AB=DC AB=DC

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔADCΔDAB ΔADC≅ΔDAB ?

Ejercicio 4 En la figura dada AB=DC

Solución

Dado que AB=DC AB=DC

BAD=CDA \sphericalangle BAD=\sphericalangle CDA

Dado que A1=D1 \sphericalangle A_1=\sphericalangle D_1

Dado que A2=D2 \sphericalangle A_2=\sphericalangle D_2

Por lo tanto:

A1+A2=D1+D2 \sphericalangle A_1+\sphericalangle A_2=\sphericalangle D_1+\sphericalangle D_2

AD=AD AD=AD

Lado común

Los triángulos superpuestos según el teorema L.A.L L.A.L

Respuesta

Superpuestos según L.A.L L.A.L


Ejercicio 5:

Consigna

Los segmentos AE AE y BD BD son iguales.

Dado:

AFD=BFE ∢\text{AFD}=∢\text{BFE}

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔAEFΔBDF ΔAEF≅ΔBDF ?

Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔAEF≅ΔBDF

Solución

BDF=AEF=90° \sphericalangle BDF=\sphericalangle AEF=90°

Dado un ángulo recto de 90° 90° grados

AE=BD AE=BD

Dado

AFE+AFB=BFA+BFD \sphericalangle AFE+\sphericalangle AFB=\sphericalangle BFA+\sphericalangle BFD

Dado que AFD=BFE \sphericalangle AFD=\sphericalangle BFE

Por lo tanto AFE=BFD \sphericalangle AFE=\sphericalangle BFD

FAE=FBD \sphericalangle FAE=\sphericalangle FBD

si en un triángulo dos ángulos son iguales entonces el tercer ángulo también es igual

Los triángulos congruentes según A.L.A A.L.A

Respuesta

Congruentes según A.L.A A.L.A


Preguntas de repaso

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo es aquella figura que tiene tres lados y consta de un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90° 90\degree , como el que se muestra en la figura

2.a - Qué es un triángulo rectángulo

El ABC \triangle ABC es un triángulo rectángulo.


¿Qué es congruencia de triángulos rectángulos?

Recordemos que la congruencia de figuras se refiere cuando dos figuras tienen la misma forma y sus lados y ángulos correspondientes miden lo mismo, en el caso de los triángulos rectángulos, debe de pasar exactamente lo mismo, la diferencia es que ellos ya cumplen con algo establecido y es esa característica que los identifica, si tenemos dos triángulos rectángulos entonces damos por hecho que uno de sus ángulos mide 90° 90\degree y solo es cuestión de ver qué criterio de congruencia se cumple para verificar que sean triángulos congruentes.


¿Cuáles son los criterios de congruencia para determinar si dos triángulos rectángulos son congruentes?

Existen cuatro criterios para poder determinar si dos triángulos son o no congruentes, los cuales son los siguientes:

LAL- Lado, Ángulo, Lado: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus lados y en ángulo que está entre ellos miden lo mismo.

ALA- ángulo, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus ángulos correspondientes y el lado que está entre ellos miden lo mismo.

LLL- Lado, Lado, Lado: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes miden lo mismo.

LLA- Lado, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes y un ángulo opuesto a uno de ellos tienen la misma medida.


¿Cuándo dos triángulos rectángulos no son congruentes?

Dos triángulos rectangulares no son congruentes cuando no cumplen con ningún criterio de congruencia antes mencionados, es decir, sus lados y ángulos correspondientes tienen medidas diferentes (Tienen diferente forma)