Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)
En triángulos rectángulos, tenemos una condición que ya existe en primer lugar. Se refiere al ángulo recto que aparece como dado y es el que convierte un triángulo en un triángulo rectángulo.
En la segunda etapa, pasaremos a los lados. En cada triángulo rectángulo tenemos dos perpendiculares (dos lados entre los que se comprende el ángulo recto) y el otro (el lado mayor del triángulo que se encuentra frente al ángulo recto).
Cuando hay dos triángulos rectángulos frente a nosotros, en los que un tamaño es perpendicular y el tamaño del resto es igual entre sí, entonces se puede concluir que se trata de triángulos congruentes.
La congruencia de triángulos rectángulos tiene en cuenta las propiedades únicas de estos triángulos y las utiliza para demostrar la congruencia.
Ya estamos familiarizados con los teoremas de congruencia habituales:
Congruencia según Lado-Ángulo-Lado Congruencia según Ángulo-Lado-Ángulo Congruencia según Lado-Lado-Lado
Ilustraremos esto con un ejemplo.
La gráfica muestra dos triángulos rectángulos: △ABC y △DEF.
Los dos triángulos tienen un ángulo recto (igual a 90o grados).
Además, en ambos triángulos hay una perpendicular igual a 3 (es decir, AB=DE), mientras que el restante es igual a 5(AC=DF).
Si ahora utilizáramos el teorema de Pitágoras, alcanzaríamos el tamaño de la segunda perpendicular en cada uno de los triángulos y esta perpendicular saldría igual 4, ya que es el mismo cálculo.
Por lo tanto, siempre podemos hacer uso de la conclusión a la que ya hemos llegado, según la cual cuando nos dan dos triángulos rectángulos, en los que uno de ellos es perpendicular y el resto son iguales entre sí, respectivamente, podemos concluir que estos son triángulos congruentes.
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¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔADC≅ΔADB?
Solución
Dado que AD es la mediana
CD=DB
La mediana del triángulo va desde el vértice hasta el centro del lado opuesto y divide a CB en dos en el punto D
∢ADC=∢ADB
Dado
∢ABD=∢ACD
Dado que el triángulo ACB es isósceles, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales
Los triángulos congruentes según el teorema de A.L.A
Respuesta
A.L.A
Ejercicio 4
Consigna
En la figura dada:
AB=DC
¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔADC≅ΔDAB?
Solución
Dado que AB=DC
∢BAD=∢CDA
Dado que ∢A1=∢D1
Dado que ∢A2=∢D2
Por lo tanto:
∢A1+∢A2=∢D1+∢D2
AD=AD
Lado común
Los triángulos superpuestos según el teorema L.A.L
Respuesta
Superpuestos según L.A.L
Ejercicio 5
Consigna
Los segmentos AE y BD son iguales.
Dado:
∢AFD=∢BFE
¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔAEF≅ΔBDF?
Solución
∢BDF=∢AEF=90°
Dado un ángulo recto de 90° grados
AE=BD
Dado
∢AFE+∢AFB=∢BFA+∢BFD
Dado que ∢AFD=∢BFE
Por lo tanto ∢AFE=∢BFD
∢FAE=∢FBD
si en un triángulo dos ángulos son iguales entonces el tercer ángulo también es igual
Los triángulos congruentes según A.L.A
Respuesta
Congruentes según A.L.A
Preguntas de repaso
¿Qué es un triángulo rectángulo?
Un triángulo rectángulo es aquella figura que tiene tres lados y consta de un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90° , como el que se muestra en la figura
El △ABC es un triángulo rectángulo.
¿Qué es congruencia de triángulos rectángulos?
Recordemos que la congruencia de figuras se refiere cuando dos figuras tienen la misma forma y sus lados y ángulos correspondientes miden lo mismo, en el caso de los triángulos rectángulos, debe de pasar exactamente lo mismo, la diferencia es que ellos ya cumplen con algo establecido y es esa característica que los identifica, si tenemos dos triángulos rectángulos entonces damos por hecho que uno de sus ángulos mide 90° y solo es cuestión de ver qué criterio de congruencia se cumple para verificar que sean triángulos congruentes.
¿Cuáles son los criterios de congruencia para determinar si dos triángulos rectángulos son congruentes?
Existen cuatro criterios para poder determinar si dos triángulos son o no congruentes, los cuales son los siguientes:
LAL- Lado, Ángulo, Lado: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus lados y en ángulo que está entre ellos miden lo mismo.
ALA- ángulo, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes cuando dos de sus ángulos correspondientes y el lado que está entre ellos miden lo mismo.
LLL- Lado, Lado, Lado: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes miden lo mismo.
LLA- Lado, Lado, Ángulo: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados correspondientes y un ángulo opuesto a uno de ellos tienen la misma medida.
¿Cuándo dos triángulos rectángulos no son congruentes?
Dos triángulos rectangulares no son congruentes cuando no cumplen con ningún criterio de congruencia antes mencionados, es decir, sus lados y ángulos correspondientes tienen medidas diferentes (Tienen diferente forma)