Congruencia de triángulos rectángulos (en el contexto del Teorema de Pitágoras)

En triángulos rectángulos, tenemos una condición que ya existe en primer lugar. Se refiere al ángulo recto que aparece como dado y es el que convierte un triángulo en un triángulo rectángulo. 

En la segunda etapa, pasaremos a los lados. En cada triángulo rectángulo tenemos dos perpendiculares (dos lados entre los que se comprende el ángulo recto) y el otro (el lado mayor del triángulo que se encuentra frente al ángulo recto). 

Cuando hay dos triángulos rectángulos frente a nosotros, en los que un tamaño es perpendicular y el tamaño del resto es igual entre sí, entonces se puede concluir que se trata de triángulos congruentes. 

La congruencia de triángulos rectángulos tiene en cuenta las propiedades únicas de estos triángulos y las utiliza para demostrar la congruencia. 

Ya estamos familiarizados con los teoremas de congruencia habituales:

Congruencia según Lado-Ángulo-Lado
Congruencia según Ángulo-Lado-Ángulo
Congruencia según Lado-Lado-Lado

Congruencia de triángulos rectángulos

Ilustraremos esto con un ejemplo. 

La gráfica muestra dos triángulos rectángulos: ABC y DEF.

Los dos triángulos tienen un ángulo recto (igual a 90 grados).

Además, en ambos triángulos hay una perpendicular igual a 3 (es decir, AB = DE), mientras que el restante es igual a 5 (AC = DF).

Si ahora utilizáramos el teorema de Pitágoras, alcanzaríamos el tamaño de la segunda perpendicular en cada uno de los triángulos y esta perpendicular saldría igual (4), ya que es el mismo cálculo.  

Por lo tanto, siempre podemos hacer uso de la conclusión a la que ya hemos llegado, según la cual cuando nos dan dos triángulos rectángulos, en los que uno de ellos es perpendicular y el resto son iguales entre sí, respectivamente, podemos concluir que estos son triángulos congruentes.  


Ejercicios de congruencia de triángulos rectángulos

Ejercicio 1:

Consigna

Los segmentos \( AC \) y \( BD \) se cortan en el punto \( K \).

Dado: el punto \( K \) intersecta \( BD \).

\( AK=CK \)

\( AB⊥AC \)

\( DC⊥AC \)

¿A cuál teorema de congruencia pertenece \( ABCD \)?

Dado el punto K  intersecta BD

Solución

Dado que \( AK=CK \)

\( AB \) es perpendicular a: \( AC \)

\( \sphericalangle A=90° \)

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de \( 90° \) grados

\( DC \) es perpendicular a: \( AC \)

\( \sphericalangle C=90° \)

Una recta perpendicular forma un ángulo recto de \( 90° \) grados

\( \sphericalangle C=\sphericalangle A=90° \)

\( BK=KD \)

Dado que el punto \( K \) intersecta \( BD \)

Los triángulos superpuestos según el teorema \( L.A.L \)

Respuesta

Superpuestos: \( L.A.L \)


Ejercicio 2:

Consigna

Dado: cuadrilátero \( ABCD \) cuadrado.

Y en su interior contiene el deltoide \( KBPD \).

¿Según qué teorema de congruencia se superponen los triángulos \( ΔBAK≅ΔBCP \)?

Ejercicio 2- Dado cuadrilátero ABCD  cuadrado

Solución

\( ABCD \) Cuadrado

\( AB=BC \) En un cuadrado todos los lados son iguales.

\( KBPD \)

Dado que es un deltoide

\( BK=BP \)

En el deltoide dos pares de lados adyacentes son iguales

\( \sphericalangle C=\sphericalangle A \)

Los ángulos son iguales en un cuadrado.

\( \sphericalangle BPC=\sphericalangle BKA \)

Los ángulos del deltoide \( P \) y \( K \) son iguales.

Por lo tanto \( 180-\sphericalangle K=180-\sphericalangle P \)

\( \sphericalangle ABK=\sphericalangle PBC \)

Si dos ángulos son iguales, también el tercero lo es.

Los triángulos son iguales según \( L.A.L \)

Respuesta

\( L.A.L \)


Ejercicio 3:

Consigna

En el dibujo dado hay un triángulo isósceles \( \triangle ACB \)

\( AD \) es la mediana en el triángulo \( \triangle ACB \).

\( ∢\text{ADC}=∢\text{ADB} \)

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos \( ΔADC≅ΔADB \)?

Ejercicio 3 - En el dibujo dado hay un triángulo isósceles ACB

Solución

Dado que \( AD \) es la mediana

\( CD=DB \)

La mediana del triángulo va desde el vértice hasta el centro del lado opuesto y divide a \( CB \) en dos en el punto \( D \)

\( \sphericalangle ADC=\sphericalangle ADB \)

Dado

\( \sphericalangle ABD=\sphericalangle ACD \)

Dado que el triángulo \( ACB \) es isósceles, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales

Los triángulos congruentes según el teorema de \( A.L.A \)

Respuesta

\( A.L.A \)


Ejercicio 4:

Consigna

En la figura dada:

\( AB=DC \)

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos \( ΔADC≅ΔDAB \)?

Ejercicio 4 En la figura dada AB=DC

Solución

Dado que \( AB=DC \)

\( \sphericalangle BAD=\sphericalangle CDA \)

Dado que \( \sphericalangle A_1=\sphericalangle D_1 \)

Dado que \( \sphericalangle A_2=\sphericalangle D_2 \)

Por lo tanto:

\( \sphericalangle A_1+\sphericalangle A_2=\sphericalangle D_1+\sphericalangle D_2 \)

\( AD=AD \)

Lado común

Los triángulos superpuestos según el teorema \( L.A.L \)

Respuesta

Superpuestos según \( L.A.L \)


Ejercicio 5:

Consigna

Los segmentos \( AE \) y \( BD \) son iguales.

Dado:

\( ∢\text{AFD}=∢\text{BFE} \)

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos \( ΔAEF≅ΔBDF \)?

Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔAEF≅ΔBDF

Solución

\( \sphericalangle BDF=\sphericalangle AEF=90° \)

Dado un ángulo recto de \( 90° \) grados

\( AE=BD \)

Dado

\( \sphericalangle AFE+\sphericalangle AFB=\sphericalangle BFA+\sphericalangle BFD \)

Dado que \( \sphericalangle AFD=\sphericalangle BFE \)

Por lo tanto \( \sphericalangle AFE=\sphericalangle BFD \)

\( \sphericalangle FAE=\sphericalangle FBD \)

si en un triángulo dos ángulos son iguales entonces el tercer ángulo también es igual

Los triángulos congruentes según \( A.L.A \)

Respuesta

Congruentes según \( A.L.A \)