La propiedad distributiva: ampliación - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

La propiedad distributiva extendida nos ayuda a resolver ejercicios con términos entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Por ejemplo: (a+1)×(b+2) (a+1)\times(b+2)

La solución de este tipo de ejercicios requiere que avancemos según los siguientes pasos:

  • Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
  • Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
  • Paso 3: Asociar términos semejantes.

ab+2a+b+2 ab+2a+b+2

ab+2a+b+2

Temas sugeridos para practicar con anticipación

  1. Factorización: Extracción de factor común

Practicar La propiedad distributiva: ampliación

Ejercicio #1

(3+20)×(12+4)= (3+20)\times(12+4)=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

(3+20)(12+4)=2316=368 (3+20)\cdot(12+4)=\\ 23\cdot16=\\ 368 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

368

Ejercicio #2

(12+2)×(3+5)= (12+2)\times(3+5)=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

(12+2)(3+5)=148=112 (12+2)\cdot(3+5)= \\ 14\cdot8=\\ 112 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Respuesta

112

Ejercicio #3

(35+4)×(10+5)= (35+4)\times(10+5)=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Abriremos los paréntesis usando la propiedad distributiva extendida y crearemos un ejercicio de suma largo:

Multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis derecho.

Luego multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

Ahora multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis izquierdo.

Por último, multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

De la siguiente manera:

(35×10)+(35×5)+(4×10)+(4×5)= (35\times10)+(35\times5)+(4\times10)+(4\times5)=

Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:

350+175+40+20= 350+175+40+20=

Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha:

350+175=525 350+175=525

525+40=565 525+40=565

565+20=585 565+20=585

Respuesta

585

Ejercicio #4

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

(ab)(cd) (ab)(c d) ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recordemos la propiedad distributiva extendida:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d Tengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:

(ab)(cd) (a b)(c d) Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),

Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:

(ab)(cd)=abcd (a b)(c d)= \\ abcd Por lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No, abcd abcd

Ejercicio #5

(a+4)(c+3)= (a+4)(c+3)=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Cuando nos encontramos con un ejercicio de multiplicación de este tipo, podemos reconocer que se debe seguir la propiedad distributiva.

Paso 1: multiplica el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplica el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos términos semejantes.

 

a * (c+3) =

a*c + a*3

4  * (c+3) =

4*c + 4*3

 

ac+3a+4c+12

 

No hay términos semejantes para simplificar aquí, ¡así que esta es la solución!

Respuesta

ac+3a+4c+12 ac+3a+4c+12

Ejercicio #1

Simplifica la expresión dada:(a+c)(4+c) (a+c)(4+c)

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplificamos la expresión dada, abrimos paréntesis usando la propiedad distributiva extendida:

(x+y)(t+d)=xt+xd+yt+yd (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{y})(t+d)=\textcolor{red}{x}t+\textcolor{red}{x}d+\textcolor{blue}{y}t+\textcolor{blue}{y}d Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula de la propiedad distributiva mencionada anteriormente, asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una operación de suma, por lo tanto, por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es parte inseparable de él, también aplicaremos las reglas de multiplicación de signos y así podremos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre mediante la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que hay una operación de suma entre todos los términos, en esta expresión, como queda claro, para todos los términos el coeficiente es el signo más, por lo tanto vamos directamente a la apertura del paréntesis,

Comenzamos con la apertura de paréntesis:

(x+c)(4+c)x4+xc+c4+cc4x+xc+4c+c2 (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{c})(4+c)\\ \textcolor{red}{x}\cdot 4+\textcolor{red}{x}\cdot c+\textcolor{blue}{c}\cdot 4+\textcolor{blue}{c} \cdot c\\ 4x+xc+4c+c^2 Para simplificar la expresión anterior, utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n}

En el siguiente paso entran términos semejantes, definiremos términos semejantes como términos en los que las incógnitas(cada una por separado), en este caso, x y c, tienen potencias idénticas (en ausencia de una de las incógnitas de la expresión , nos referiremos a su potencia como potencia de cero, esto se debe a que elevando cada número a la potencia de cero da como resultado 1), además usaremos la propiedad sustitutiva, además ordenaremos la expresión de mayor a la potencia más baja de izquierda a derecha (nos referiremos al número libre como la potencia de cero),

Tengamos en cuenta que en la expresión que obtuvimos en el último paso hay cuatro términos diferentes, esto se debe a que no hay ni siquiera un par de términos en los que las incógnitas (diferentes) tengan la misma potencia, además ya está ordenado según potencia como arriba, por lo tanto la expresión que ya hemos obtenido es la expresión final y más simplificada:4x+xc+4c+c2c2+xc+4x+4c \textcolor{purple}{4x}\textcolor{green}{+xc}\textcolor{black}{+4c}\textcolor{orange}{+c^2 }\\ \textcolor{orange}{c^2 }\textcolor{green}{+xc}\textcolor{purple}{+4x}\textcolor{black}{+4c}\\ Resaltamos a los diferentes términos mediante colores y, como se enfatizó antes, nos aseguramos de que el signo principal del término sea una parte integral del mismo.

Utilizamos la propiedad sustitutiva por la multiplicación para notar que la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

4x+cx+4c+c2 4x+cx+4c+c^2

Ejercicio #2

(2x3)×(5x7) (2x-3)\times(5x-7)

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para responder a este ejercicio, necesitamos entender cómo funciona la propiedad distributiva extendida:

Por ejemplo:

(a+1)∗(b+2)

Para resolver este tipo de ejercicios se deben resolver los siguientes pasos:

Paso 1: multiplicamos el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplicamos el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos en términos semejantes.

 

ab∗2ab∗2

 

Comenzamos desde el primer número del ejercicio: 2x

2x*5x+2x*-7

10x²-14x

 

Continuaremos con el segundo factor: -3

-3*5x+-3*-7

-15x+21

 

Sumamos todos los datos juntos:

 

10x²-14x-15x+21

10x²-29x+21

 

Respuesta

10x229x+21 10x^2-29x+21

Ejercicio #3

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

(17+c)(5+a+3) (17+c)(5+a+3)

Solución en video

Solución Paso a Paso

Podemos utilizar el paréntesis de la derecha ya que se puede simplificar de la siguiente manera:

(8+a)

Luego obtendremos el ejercicio:

(17+c)(8+a)= (17+c)(8+a)=

136+17a+8c+ca 136+17a+8c+ca

Respuesta

Si, 136+17a+8c+ca 136+17a+8c+ca

Ejercicio #4

Simplifica la expresión

(3a4)b+2 (3a-4)b+2

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplificamos la expresión, abrimos los paréntesis mediante la propiedad distributiva:

x(y+z)=xy+xz x(y+z)=xy+xz Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula de la propiedad distributiva mencionada anteriormente asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una operación suma, por lo tanto, por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es inseparable de él. Además, aplicamos las reglas de multiplicación de signos y así podemos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre con la ayuda de la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que hay una operación de suma entre todos los términos:

(3a4)b+2(3a+(4))b+2 (3a-4)b+2\\ \big(3a+(-4)\big)b+2 Continuamos y abrimos los paréntesis usando la propiedad distributiva:

(3a+(4))b+23ab+(4)b+23ab4b+2 \big(3a+(-4)\big)b+2\\ 3a\cdot b+(-4)\cdot b +2\\ 3ab-4b+2 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

3ab4b+2 3ab-4b+2

Ejercicio #5

(9+17x)×(6+1)=420 (9+17x)\times(6+1)=420

Calcula a X

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero, resolvemos el ejercicio de suma en el paréntesis derecho:

(9+17x)×7=420 (9+17x)\times7=420

Ahora, multiplicamos cada uno de los términos entre paréntesis por 7:

(9×7)+(17x×7)=420 (9\times7)+(17x\times7)=420

Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:

63+119x=420 63+119x=420

Movemos las secciones y mantenemos el signo adecuado:

119x=42063 119x=420-63

119x=357 119x=357

Dividimos las dos partes por 119:

119119x=357119 \frac{119}{119}x=\frac{357}{119}

x=3 x=3

Respuesta

3

Ejercicio #1

(a+3a)×(5+2)=112 (a+3a)\times(5+2)=112

Calcula a

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero, resolvemos los dos ejercicios entre paréntesis:

4a×7=112 4a\times7=112

Divida cada una de las secciones por 4:

4a×74=1124 \frac{4a\times7}{4}=\frac{112}{4}

En la fracción del lado izquierdo simplificamos por 4 y en la fracción de la derecha dividimos por 4:

a×7=28 a\times7=28

Recuerda que:

a×7=a7 a\times7=a7

Divida ambas secciones por 7:

a77=287 \frac{a7}{7}=\frac{28}{7}

a=4 a=4

Respuesta

4

Ejercicio #2

(7x+3)×(10+4)=238 (7x+3)\times(10+4)=238

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero, resolvemos el ejercicio de suma en el paréntesis derecho:

(7x+3)+14=238 (7x+3)+14=238

Ahora, multiplicamos cada uno de los términos entre paréntesis por 14:

(14×7x)+(14×3)=238 (14\times7x)+(14\times3)=238

Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:

98x+42=238 98x+42=238

Movemos las secciones y mantenemos el signo adecuado:

98x=23842 98x=238-42

98x=196 98x=196

Dividimos las dos partes por 98:

9898x=19698 \frac{98}{98}x=\frac{196}{98}

x=2 x=2

Respuesta

2

Ejercicio #3

¿Las expresiones de ambos lados son equivalentes?

a2+9a20=?(a+4)(a5) a^2+9a-20\stackrel{?}{=}(a+4)(a-5)

Solución en video

Solución Paso a Paso

Resolvemos el lado derecho de la ecuación usando la propiedad distributiva extendida:(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd

(a+4)(a5)=a25a+4a20 (a+4)(a-5)=a^2-5a+4a-20

a2a20 a^2-a-20

Es decir, la respuesta D es la correcta.

Respuesta

No, a -a en lugar de +9a +9a

Ejercicio #4

Una las expresiones (en números) con las expresiones equivalentes (en letras):

  1. (2xy)(x+3) (2x-y)(x+3)

  2. (y2x)(3x) (y-2x)(3-x)

  3. (2x+y)(x3) (2x+y)(x-3)

    a.2x26x+yx3y 2x^2-6x+yx-3y

    b.2x26xyx+3y 2x^2-6x-yx+3y

    c.2x2+6xyx3y 2x^2+6x-yx-3y

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplifica las expresiones dadas, abra paréntesis usando la propiedad distributiva extendida:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula para la propiedad distributiva mencionada anteriormente, asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una suma, por lo tanto , por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es un parte inseparable de él. Además, aplicaremos las reglas de multiplicación de signos y así podremos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre con la ayuda de la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que tiene lugar una operación de suma entre todos los términos (si es necesario),

Luego simplificaremos todas y cada una de las expresiones del problema dado, respetando lo anterior, primero abriremos los paréntesis mediante la propiedad distributiva mencionada anteriormente. Luego usaremos la propiedad sustitutiva en la suma y multiplicación, e introduciremos términos semejantes (si hay términos semejantes en la expresión obtenida después de abrir los paréntesis):

  1. (2xy)(x+3)(2x+(y))(x+3)2xx+2x3+(y)x+(y)32x2+6xyx3y (2x-y)(x+3) \\ \downarrow\\ \big(2x+(-y)\big)(x+3) \\ 2x\cdot x+2x\cdot 3+(-y)\cdot x+(-y)\cdot3\\ \boxed{2x^2+6x-yx-3y}\\

  2. (y2x)(3x)(y+(2x))(3+(x))y3+y(x)+(2x)3+(2x)(x)3yxy6x+2x2 (y-2x)(3-x) \\ \downarrow\\ \big(y+(-2x)\big)\big(3+(-x)\big) \\ y\cdot 3+y\cdot (-x)+(-2x)\cdot 3+(-2x)\cdot(-x)\\ \boxed{3y-xy-6x+2x^2}\\

  3. (2x+y)(x3)(2x+y)(x+(3))2xx+2x(3)+yx+y(3)2x26x+yx3y (2x+y)(x-3) \\ \downarrow\\ (2x+y)(x+(-3)) \\ 2x\cdot x+2x\cdot (-3)+y\cdot x+y\cdot(-3)\\ \boxed{2x^2-6x+yx-3y}\\ Como puedes notar, en todas las expresiones en las que aplicamos la multiplicación entre las expresiones en los paréntesis anteriores, el resultado de la multiplicación (obtenido luego de aplicar la propiedad distributiva antes mencionada) produjo una expresión en la que no se pueden sumar términos, y esto es porque todos los términos en la expresión resultante son diferentes entre sí (recuerde que todas las incógnitas semejantes deben ser idénticas y estar en la misma potencia),

    Ahora, usemos la propiedad sustitutiva en la suma y la multiplicación para distinguir que:

    La expresión simplificada en 1 corresponde a la expresión en la opción C,

    La expresión simplificada en 2 corresponde a la expresión de la opción B,

    La expresión simplificada en 3 corresponde a la expresión de la opción A,

Por lo tanto, la respuesta correcta (entre las opciones que se ofrecen) es la opción B.

Respuesta

1-b,2-c,3-a

Ejercicio #5

Una las expresiones de igual valor

  1. (ab)(c4) (a-b)(c-4)

  2. (a+b)(c+4) (a+b)(c+4)

  3. (ab)(c+4) (a-b)(c+4)

  4. (a+b)(c4) (a+b)(c-4)

    a.ac4a+bc4b ac-4a+bc-4b

    b.ac+4abc4b ac+4a-bc-4b

    c.ac4abc+4b ac-4a-bc+4b

    d.ac+4a+bc+4b ac+4a+bc+4b

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos todos los ejercicios de la propiedad distributiva extendida:(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd

1.(ab)(c4)=ac4abc+4b (a-b)(c-4)=ac-4a-bc+4b

2.(a+b)(c+4)=ac+4a+bc+4b (a+b)(c+4)=ac+4a+bc+4b

3.(ab)(c+4)=ac+4abc4b (a-b)(c+4)=ac+4a-bc-4b

4.(a+b)(c4)=ac4a+bc4b (a+b)(c-4)=ac-4a+bc-4b

Respuesta

1-c, 2-d, 3-b, 4-a

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Método algebraico