Factorización: Extracción de factor común - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Factorización

La factorización que hacemos al extraer el factor común es nuestra manera de modificar la forma en que se escribe el ejercicio, o sea, de una expresión con sumas pasará a ser una expresión con multiplicación.

Por ejemplo, la expresión
2A+4B2A + 4B
está compuesta por dos términos y un signo de sumar. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común.
En este caso se trata del 2 2 .

Lo escribiremos del siguiente modo:
​​​​​​​2A+4B=2×(A+2B)​​​​​​​2A + 4B = 2\times (A + 2B)

Ya que ambos términos ( A A y B B ) se multiplicaban por 2 2 pudimos «extraerlo». La expresión que queda se escribe entre paréntesis y el factor común (el 2 2 ) se mantiene fuera.
De este modo pasamos de tener dos términos en una operación de suma a tener una multiplicación. Este procedimiento se denomina factorización.

El 2 es el factor común

También se puede aplicar la propiedad distributiva para hacer un proceso inverso según sea necesario.
En ciertos casos preferiremos tener una multiplicación y en otros una suma.

Practicar Factorización: Extracción de factor común

Ejercicio #1

Hallar el factor común:

ab+bc ab+bc

Solución en video

Solución Paso a Paso

ab+bc=a×b+b×c ab+bc=a\times b+b\times c

Tengamos en cuenta que el factor común es b, por lo que lo quitaremos:

b(ab+bc)= b(ab+bc)=

Dividimos por b:b(abb+bcb)= b(\frac{ab}{b}+\frac{bc}{b})=

b(a+c) b(a+c)

Respuesta

b(a+c) b(a+c)

Ejercicio #2

Hallar el factor común:

7a+14b 7a+14b

Solución en video

Solución Paso a Paso

Dividimos 14 en un ejercicio de multiplicación para que nos ayude a simplificar en consecuencia:7×a+7×b×2= 7\times a+7\times b\times2=

Extraemos el factor común 7:

7(a+2×b)=7(a+2b) 7(a+2\times b)=7(a+2b)

Respuesta

7(a+2b) 7(a+2b)

Ejercicio #3

Hallar el máximo común divisor

12x+16y 12x+16y

Solución en video

Solución Paso a Paso

Descomponemos los coeficientes 12 y 16 en ejercicios de multiplicación con factor multiplicador para luego simplificar:

3×4×x+4×4×y 3\times4\times x+4\times4\times y

Extraemos 4 que es el factor común:

4(3×x+4×y)=4(3x+4y) 4(3\times x+4\times y)=4(3x+4y)

Respuesta

4(3x+4y) 4(3x+4y)

Ejercicio #4

Descompone la expresión siguiente en factores:

20ab4ac 20ab-4ac

Solución en video

Solución Paso a Paso

Descompondremos el coeficiente de 20 en un ejercicio de multiplicación que nos ayudará a simplificar:5×4×a×b4×a×c 5\times4\times a\times b-4\times a\times c

Extraemos 4a como factor común:4a(5×bc)=4a(5bc) 4a(5\times b-c)=4a(5b-c)

Respuesta

4a(5bc) 4a(5b-c)

Ejercicio #5

Hallar el factor común:

25y100xy2 25y-100xy^2

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero descompondremos los coeficientes del ejercicio de multiplicación que nos ayudarán a encontrar el factor común:

25×y4×25×x×y×y 25\times y-4\times25\times x\times y\times y

Ahora halla el factor común 25y:

25y(14xy) 25y(1-4xy)

Respuesta

25y(14xy) 25y(1-4xy)

Ejercicio #1

Descomponga la siguiente la expresión en factores mediante la extracción del factor común:

15a2+10a+5 15a^2+10a+5

Solución en video

Solución Paso a Paso

Factorizar la expresión dada:

15a2+10a+5 15a^2+10a+5 Esto lo haremos sacando el máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos con los números

Tenga en cuenta que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números: 5,10,15 son todos múltiplos del número 5:

15=3510=25 15=3\cdot\underline{5}\\ 10=2\cdot\underline{5}\\ Por lo tanto, el número 5 es el máximo factor común de los números,

Para las letras:

Tenga en cuenta que sólo los dos primeros términos de la izquierda dependen de x, el tercer término es un número libre que no depende de x, por lo tanto no existe un factor común para los tres términos juntos para las letras (es decir, consideraremos el número 1 como factor común de las letras)

Por lo tanto resumimos:

El máximo factor común (para números y letras juntos) es:

515 5\cdot1\\ \downarrow\\ 5 Tomémoslo, entonces, como un múltiplo fuera del paréntesis y realicemos la pregunta: "¿Cuántas veces multiplicaremos el factor común (incluido su signo) obteniendo cada uno de los términos de la expresión original (incluido su signo)?", así sabremos cuál es la expresión entre paréntesis que multiplicó el factor común:

15a2+10a+553a2+5(+2a)+5(+1)5(3a2+2a+1) \textcolor{red}{ 15a^2}\textcolor{blue}{+10a} \textcolor{green}{+5} \\ \underline{5}\cdot\textcolor{red}{3a^2}+\underline{5}\cdot\textcolor{blue}{(+2a)}+\underline{5}\cdot\textcolor{green}{(+1)}\\ \downarrow\\ \underline{5}(\textcolor{red}{3a^2}\textcolor{blue}{+2a}\textcolor{green}{+1}) En la expresión anterior, la operación se explica mediante colores y signos:

El factor común se ha resaltado con un guion bajo, y los múltiplos dentro del paréntesis se asocian con los términos de la expresión original con la ayuda de colores, notamos que en el detalle de descomposición anterior también nos referimos al signo del factor común (en negro) que extrajimos como múltiplo fuera del paréntesis y el signo de los términos en la expresión original (en colores), no hay obligación de mostrarlo. Esto es en etapas como se describe arriba, puedes (y vale la pena) saltar directamente a la forma desglosada en la última línea, pero definitivamente debes referirte a los signos anteriores, ya que en cada miembro el signo es parte inseparable del mismo,

Podemos asegurarnos de que esta descomposición sea correcta fácilmente abriendo los paréntesis con la ayuda de la propiedad distributiva y asegurándonos de que la expresión original que descompusimos efectivamente se obtenga atrás - miembro, esto debe hacerse enfatizando el signo de los miembros en la expresión original y el signo (que siempre es seleccionable) del factor común.

(Inicialmente, debe usar los colores anteriores para asegurarse de obtener todos los términos en la expresión original y pertenecer al múltiplo dentro del paréntesis; más adelante, se recomienda no usar los colores)

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

5(3a2+2a+1) 5(3a^2+2a+1)

Ejercicio #2

Descomponga la siguiente expresión en factores mediante la extracción del factor común:

xyz+yzt+ztw+wtr xyz+yzt+ztw+wtr

Solución en video

Solución Paso a Paso

Factorizar la expresión dada:

xyz+yzt+ztw+wtr xyz+yzt+ztw+wtr Esto lo haremos mediante la extracción del máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referimos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (multiplicador) común a todos los términos de la expresión,

Como la expresión dada no tiene coeficientes numéricos (distintos de 1) buscaremos el máximo factor común de las letras:

Existen en la expresión cuatro términos:
xyz,yzt,ztw,wtr xyz,\hspace{4pt}yzt,\hspace{4pt}ztw,\hspace{4pt}wtr Notaremos que en cada uno de los cuatro miembros hay tres letras diferentes, pero no hay una o más letras que estén incluidas (en la multiplicación) en todos los términos, es decir, no hay ningún factor común para los cuatro términos y por lo tanto no es posible factorizar esta expresión extrayendo un factor común

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No es posible descomponer en factores la expresión dada mediante la extracción del factor común.

Ejercicio #3

Descomponga la siguiente la expresión en factores mediante la extracción del factor común:

4a+13b+58c 4a+13b+58c

Solución en video

Solución Paso a Paso

Factorizar la expresión dada:

4a+13b+58c 4a+13b+58c Esto lo haremos extrayendo máximo factor común, tanto de los números como de las letras,

Nos referiremos a los números y letras por separado, recordando que un factor común es un factor (múltiplo) común a todos los términos de la expresión,

Comencemos por los números:

Notaremos que los coeficientes numéricos de los términos en la expresión dada, es decir, los números 4, 13, 58, no tienen un factor común, y esto se debe a que el número 13 es un número primo y los otros dos números no son múltiplos de él,

Por lo tanto no existe un factor común para los números (consideramos el número 1 (es la potencia del cero), como factor común para los números)

Para las letras:

Existen en la expresión tres términos:
a,b,c a,\hspace{4pt}b,\hspace{4pt}c Es fácil ver que no existe ningún factor común a estos tres términos,

Por lo tanto, no es posible factorizar la expresión dada con la ayuda del facto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No es posible factorizar la expresión dada mediante la extracción del factor común.

Ejercicio #4

Descompone la expresión siguiente en factores:

14xyz+8x2y3z 14xyz+8x^2y^3z

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero, descomponemos todas las potencias en ejercicios de multiplicación y al mismo tiempo intentamos reducir los números enteros tanto como sea posible:

 

7*2*xyz+2*4*x*x*y*y²*z

Ahora usamos la propiedad sustitutiva para ordenar la ecuación de una manera un poco más conveniente:

2*x*y*z*7+2*x*y*z*x*y²

Ahora intentamos encontrar el factor común entre todas las partes - 2xyz

2xyz(7+xy²)

Respuesta

2xyz(7+4xy2) 2xyz(7+4xy^2)

Ejercicio #5

Extrae el factor común:

4x3+8x4= 4x^3+8x^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero usamos la ley de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Es necesario tener en cuenta que:

x4=x3x x^4=x^3\cdot x A continuación volvemos al problema y extraemos el máximo común divisor para los números por separado y para las letras por separado,

Para los números el máximo común divisor es

4 4 y para las letras es:

x3 x^3 y por lo tanto para la extracción

4x3 4x^3 por fuera del paréntesis

Obtenemos la expresión:

4x3+8x4=4x3(1+2x) 4x^3+8x^4=4x^3(1+2x) Para determinar cuál es la expresión dentro del paréntesis, utilizamos el primer conocimiento que mencionamos para resolver este problema (usando la ley de potencias antes mencionada), nuestro conocimiento de la tabla de multiplicar y la respuesta a la pregunta: "¿Por cuántas veces multiplicamos el factor común que quitamos fuera del paréntesis para obtener cada uno de los términos de la expresión original que descompusimos?

Por lo tanto, la respuesta correcta es: a.

Se recomienda siempre repasar nuevamente y comprobar que sí obtienes todos y cada uno de los términos de la expresión que se descompone al abrir el paréntesis (mediante la propiedad distributiva), esto se puede hacer en el margen, en un borrador o señalando el factor que eliminamos y todos y cada uno de los términos entre paréntesis, etc.

Respuesta

4x3(1+2x) 4x^3(1+2x)

Ejercicio #1

Resuelva el ejercicio extrayendo el factor común:

6x69x4=0 6x^6-9x^4=0

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero sacamos la potencia más pequeña

6x69x4= 6x^6-9x^4=

6x4(x21.5)=0 6x^4\left(x^2-1.5\right)=0

Si es posible reducimos los números por un denominador común

Finalmente compararemos las dos secciones con: 0 0

6x4=0 6x^4=0

Dividimos por: 6x3 6x^3

x=0 x=0

x21.5=0 x^2-1.5=0

x2=1.5 x^2=1.5

x=±32 x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Respuesta

x=0,x=±32 x=0,x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Ejercicio #2

Hallar el factor común:

2ax+3x 2ax+3x

Solución en video

Respuesta

x(2a+3) x(2a+3)

Ejercicio #3

Descompone la siguiente expresión en sus factores:

26a+65bc 26a+65bc

Solución en video

Respuesta

13(2a+5bc) 13(2a+5bc)

Ejercicio #4

Descompone la expresión siguiente en factores:

37a+6b 37a+6b

Solución en video

Respuesta

No es posible descomponer los factores de la expresión dada

Ejercicio #5

Descompone la expresión siguiente en factores:

36mn60m 36mn-60m

Solución en video

Respuesta

12m(3n5) 12m(3n-5)

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Método algebraico
  2. La propiedad distributiva: ampliación