La propiedad distributiva: ampliación

La propiedad distributiva extendida nos ayuda a resolver ejercicios con términos entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Por ejemplo: $(a+1)\times(b+2)$

La solución de este tipo de ejercicios requiere que avancemos según los siguientes pasos:

Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 3: Asociar términos semejantes.

$ab+2a+b+2$

Explicación completa

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¡Pruébate en la propiedad distributiva: ampliación!

$$ (x+4)(x+3)= $$

Quiz y otros ejercicios

Ejercicios para practicar la propiedad distributiva

$(x-4)\times (x-2) = x^2 - 2x - 4x + 8 = x^2 - 6x + 8$

$(x+3)\times (x+6) = x^2 + 6x + 3x + 18 = x^2 + 9x + 18$

La propiedad distributiva nos permite abrir paréntesis, incluso cuando estos incluyen más de un miembro. Según la propiedad distributiva, para abrir unos paréntesis debe multiplicarse cada miembro del primer paréntesis con cada uno de los miembros del segundo paréntesis, prestando especial atención a los signos.

Ejemplo de un ejercicio en el que se aplica la propiedad distributiva:

$(5+8)\times (7+2)$

Gracias a la propiedad distributiva, podremos simplificar el ejercicio.

En primer lugar, multiplicamos cada uno de los miembros del primer paréntesis por cada uno de los miembros del segundo paréntesis. Así,

$(5+8)\times (7+2) =$

$5\times 7+5\times 2+8\times 7+8\times 2 =$

$35+10+56+16 =$

$117$

Propiedad distributiva

Recordemos a nuestra conocida propiedad distributiva que nos ayuda a eliminar los paréntesis.

Observemos este ejercicio ejemplar:

$a\times(b+c)=ab+ac$

De hecho, hemos multiplicado $a$

por cada uno de los términos incluidos dentro de los paréntesis manteniendo el orden.

Propiedad distributiva extendida

Ahora aprenderemos a utilizar la propiedad distributiva extendida, ésta ayuda a resolver ejercicios en los que hay términos encerrados entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Por ejemplo:
$(a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd$

¿Cómo actúa la propiedad distributiva extendida?

Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Paso 3: Asociar términos semejantes.

Ejemplo 1 - Uso de la propiedad distributiva extendida:

Paso 1: Multiplicar $A$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 2: Multiplicar el $2$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 3: Ordenar los términos y combinar los semejantes, si los hay:

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Ejercicio 1

$$ (a+b)(c+d)= $$

Ejercicio 2

$$ (2x+y)(x+3)= $$

Ejercicio 3

$$ (a+4)(c+3)= $$

Ejemplo 2 - ¿Qué se hace cuando hay restas?

A veces hay un signo de restar en alguna expresión.

Seguiremos actuando del mismo modo, pero ¡hay que prestar atención a los signos de todos los términos!

Observemos el ejercicio:

Paso 1: Multiplicar $A$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 2: Multiplicar el $5$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

¡Presta atención a los signos de cada uno de los términos! Por ejemplo, veremos que, $-5$ por $-3$ equivale a $+15$ .

En este caso, no hay términos que queramos combinar.

Ejemplo 3 - Ejercicio

Calcula el valor de $X$ :

$(X+2)^2=(X+5)\times(X-2)$

Observemos el miembro izquierdo de la ecuación:

$(X+2)^2=(X+2)\times(X+2)$

Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva extendida en cada lado de la ecuación.

Ahora la ecuación se ve así:

$(X+2)\times(X+2)=(X+5)\times(X-2)$

Luego de aplicar la propiedad distributiva:

$X^2 + 2X + 2X + 4 = X^2 – 2X + 5X – 10$

Reduzcamos, combinemos términos semejantes y organicemos la ecuación, obtendremos:

$X = - 14$

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¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

$$ (x+13)(y+4)= $$

Ejercicio 2

$$ (x-8)(x+y)= $$

Ejercicio 3

$$ (12-x)(x-3)= $$

Ejercicios de la propiedad distributiva

Ejercicio 1

Consigna:

Un pintor necesita un lienzo con las dimensiones:

$(23x+12)\times(20x+7)$

¿Cuánto es el área que el pintor debe pintar?

Solución:

Multiplicamos el largo del lienzo por el ancho para encontrar el área

$(23x+12)\times(20x+7)=$

Multiplicamos cada elemento entre paréntesis por cada elemento del segundo paréntesis

$23x\times20x+23x\times7+12\times20x+12\times7=$

Resolvemos en consecuencia

$460x^2+161x+240x+84=$

$460x^2+401x+84$

Respuesta:

$460x^2+401x+84$

Ejercicio 2

Consigna:

Calcular el área del rectángulo,

Dejar incógnitas en sus respuestas

Solución:

Para encontrar el área multiplicamos el ancho por el largo

$3y\times(y+3z)=$

Multiplicamos a 3y por cada uno de los elementos entre paréntesis

$3y\times y+3y\times3z=$

Resolvemos en consecuencia

$3y^2+9yz$

Respuesta:

$3y^2+9yz$

Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 1

$$ (a+15)(5+a)= $$

Ejercicio 2

$$ (7+b)(a+9)= $$

Ejercicio 3

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

$$ a(b+c) $$

Ejercicio 3

Consigna:

$(3+20)\times(12+4)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$3\times12+3\times4+20\times12+20\times4=$

Resolvemos en consecuencia

$36+12+240+80=$

Sumamos todo junto

$48+320=368$

Respuesta:

$368$

Ejercicio 4

Consigna:

$(12+2)\times(3+5)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$12\times3+12\times5+2\times3+2\times5=$

Resolvemos en consecuencia

$36+60+6+10=$

Sumamos todo junto

$96+16=112$

Respuesta:

$112$

¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicio 1

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

$(a+b)(c\cdot g)$

Ejercicio 2

Simplifica la expresión dada: $$ (a+c)(4+c) $$

Ejercicio 3

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

$$ (ab)(c d) $$ ?

$$

Ejercicio 5

Consigna:

$(7x+4)\times(3x+4)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$7x\times3x+7x\times4+4\times3x+4\times4=$

Resolvemos en consecuencia

$21x^2+28x+12x+16=$

$21x^2+40x+16$

Respuesta:

$21x^2+40x+16$

Ejercicio 6

Consigna:

$(2x-3)\times(5x-7)$

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$2x\times5x+2x\times(-7)+(-3)\times5x+(-3)\times(-7)=$

Resolvemos en consecuencia

$10x^2-14x-15x+21=$

$10x^2-29x+21$

Respuesta:

$10x^2-29x+21$

Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 1

Resuelva -

$$ (x-3)(x-6)= $$

Ejercicio 2

Resuelve el ejercicio:

$$ (2y-3)(y-4)= $$

Ejercicio 3

$$ (x+4)(x+3)= $$

Preguntas de repaso

¿Qué es la propiedad distributiva de la multiplicación?

La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta, es la propiedad que nos ayudara a simplificar y hacer de manera más sencilla una operación en donde está expresada con signos de agrupación y relacionada con la jerarquía de operaciones. La cual la podemos expresar como:

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

$a\times\left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta.

$a\times\left(b-c\right)=a\times b-a\times c$

¿Qué es la propiedad distributiva de la división?

De igual manera que la propiedad distributiva de la multiplicación, la propiedad distributiva de la división, ya sea con respecto a la suma y a la resta, nos ayudara para hacer de manera simplificada una operación y lo podemos expresar como:

$\left(a+b\right):c=a:c+b:c$

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

$$ (a+b)(c+d)= $$

Ejercicio 2

$$ (2x+y)(x+3)= $$

Ejercicio 3

$$ (a+4)(c+3)= $$

¿Qué es la propiedad distributiva extendida?

Esta propiedad nos permite desarrollar ejercicios con términos entre signos de agrupación como lo son los paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

¿Cuáles son algunos ejemplos donde se puede utilizar la propiedad distributiva extendida?

Ejemplo 1

Resuelve $\left(x+3\right)\left(x-8\right)=$

Procedemos a utilizar la propiedad distributiva, multiplicando cada uno de los términos como se muestra:

$\left(x+3\right)\left(x-8\right)=x^2-8x+3x-24$

Reduciendo términos semejantes tenemos

$\left(x+3\right)\left(x-8\right)=x^2-5x-24$

Respuesta

$x^2-5x-24$

Ejemplo 2

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=$

Usando la propiedad distributiva obtenemos:

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=6x^2-10x-3x+5$

Reduciendo términos semejantes:

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=6x^2-13x+5$

Respuesta

$6x^2-13x+5$

Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 1

$$ (x+13)(y+4)= $$

Ejercicio 2

$$ (x-8)(x+y)= $$

Ejercicio 3

$$ (12-x)(x-3)= $$

ejemplos con soluciones para la propiedad distributiva: ampliación

Ejercicio #1

$(a+4)(c+3)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Cuando nos encontramos con un ejercicio de multiplicación de este tipo, podemos reconocer que se debe seguir la propiedad distributiva.

Paso 1: multiplica el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplica el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos términos semejantes.

a * (c+3) =

a*c + a*3

4 * (c+3) =

4*c + 4*3

ac+3a+4c+12

No hay términos semejantes para simplificar aquí, ¡así que esta es la solución!

Respuesta

$ac+3a+4c+12$

Ejercicio #2

Simplifica la expresión dada: $(a+c)(4+c)$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplificamos la expresión dada, abrimos paréntesis usando la propiedad distributiva extendida:

$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{y})(t+d)=\textcolor{red}{x}t+\textcolor{red}{x}d+\textcolor{blue}{y}t+\textcolor{blue}{y}d$ Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula de la propiedad distributiva mencionada anteriormente, asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una operación de suma, por lo tanto, por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es parte inseparable de él, también aplicaremos las reglas de multiplicación de signos y así podremos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre mediante la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que hay una operación de suma entre todos los términos, en esta expresión, como queda claro, para todos los términos el coeficiente es el signo más, por lo tanto vamos directamente a la apertura del paréntesis,

Comenzamos con la apertura de paréntesis:

$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{c})(4+c)\\ \textcolor{red}{x}\cdot 4+\textcolor{red}{x}\cdot c+\textcolor{blue}{c}\cdot 4+\textcolor{blue}{c} \cdot c\\ 4x+xc+4c+c^2$ Para simplificar la expresión anterior, utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

En el siguiente paso entran términos semejantes, definiremos términos semejantes como términos en los que las incógnitas(cada una por separado), en este caso, x y c, tienen potencias idénticas (en ausencia de una de las incógnitas de la expresión , nos referiremos a su potencia como potencia de cero, esto se debe a que elevando cada número a la potencia de cero da como resultado 1), además usaremos la propiedad sustitutiva, además ordenaremos la expresión de mayor a la potencia más baja de izquierda a derecha (nos referiremos al número libre como la potencia de cero),

Tengamos en cuenta que en la expresión que obtuvimos en el último paso hay cuatro términos diferentes, esto se debe a que no hay ni siquiera un par de términos en los que las incógnitas (diferentes) tengan la misma potencia, además ya está ordenado según potencia como arriba, por lo tanto la expresión que ya hemos obtenido es la expresión final y más simplificada: $\textcolor{purple}{4x}\textcolor{green}{+xc}\textcolor{black}{+4c}\textcolor{orange}{+c^2 }\\ \textcolor{orange}{c^2 }\textcolor{green}{+xc}\textcolor{purple}{+4x}\textcolor{black}{+4c}\\$ Resaltamos a los diferentes términos mediante colores y, como se enfatizó antes, nos aseguramos de que el signo principal del término sea una parte integral del mismo.

Utilizamos la propiedad sustitutiva por la multiplicación para notar que la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

$4x+cx+4c+c^2$

Ejercicio #3

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

$(ab)(c d)$ ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recordemos la propiedad distributiva extendida:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d$ Tengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:

$(a b)(c d)$ Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),

Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:

$(a b)(c d)= \\ abcd$ Por lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No, $abcd$

Ejercicio #4

$(3+20)\times(12+4)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(3+20)\cdot(12+4)=\\ 23\cdot16=\\ 368$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

368

Ejercicio #5

$(12+2)\times(3+5)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(12+2)\cdot(3+5)= \\ 14\cdot8=\\ 112$ Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Respuesta

112

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