La propiedad distributiva: ampliación

La propiedad distributiva nos permite abrir paréntesis, incluso cuando estos incluyen más de un miembro. Según la propiedad distributiva, para abrir unos paréntesis debe multiplicarse cada miembro del primer paréntesis con cada uno de los miembros del segundo paréntesis, prestando especial atención a los signos.

Ejemplo de un ejercicio en el que se aplica la propiedad distributiva:

$(5+8)\times (7+2)$

Gracias a la propiedad distributiva, podremos simplificar el ejercicio.

En primer lugar, multiplicamos cada uno de los miembros del primer paréntesis por cada uno de los miembros del segundo paréntesis. Así,

$(5+8)\times (7+2) =$

$5\times 7+5\times 2+8\times 7+8\times 2 =$

$35+10+56+16 =$

$117$

$(x-4)\times (x-2) = x^2 - 2x - 4x + 8 = x^2 - 6x + 8$

$(x+3)\times (x+6) = x^2 + 6x + 3x + 18 = x^2 + 9x + 18$

La propiedad distributiva extendida nos ayuda a resolver ejercicios con términos entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Por ejemplo: $(a+1)\times(b+2)$

La solución de este tipo de ejercicios requiere que avancemos según los siguientes pasos:

• Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
• Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
• Paso 3: Asociar términos semejantes.

$ab+2a+b+2$

Propiedad distributiva

Recordemos a nuestra conocida propiedad distributiva que nos ayuda a eliminar los paréntesis.

Observemos este ejercicio ejemplar:

$a\times(b+c)=ab+ac$

De hecho, hemos multiplicado $a$

por cada uno de los términos incluidos dentro de los paréntesis manteniendo el orden.

Propiedad distributiva extendida

Ahora aprenderemos a utilizar la propiedad distributiva extendida, ésta ayuda a resolver ejercicios en los que hay términos encerrados entre paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Por ejemplo:
$(a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd$

¿Cómo actúa la propiedad distributiva extendida?

• Paso 1: Multiplicar el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
• Paso 2: Multiplicar el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
• Paso 3: Asociar términos semejantes.

Paso 1: Multiplicar $A$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 2: Multiplicar el $2$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 3: Ordenar los términos y combinar los semejantes, si los hay:

A veces hay un signo de restar en alguna expresión.

Seguiremos actuando del mismo modo, pero ¡hay que prestar atención a los signos de todos los términos!

Observemos el ejercicio:

Paso 1: Multiplicar $A$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

Paso 2: Multiplicar el $5$ por cada uno de los términos incluidos dentro de los segundos paréntesis.

¡Presta atención a los signos de cada uno de los términos! Por ejemplo, veremos que, $-5$  por $-3$ equivale a $+15$.

En este caso, no hay términos que queramos combinar.

Calcula el valor de $X$:

$(X+2)^2=(X+5)\times(X-2)$

Observemos el miembro izquierdo de la ecuación:

$(X+2)^2=(X+2)\times(X+2)$

Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva extendida en cada lado de la ecuación.

Ahora la ecuación se ve así:

$(X+2)\times(X+2)=(X+5)\times(X-2)$

Luego de aplicar la propiedad distributiva:

$X^2 + 2X + 2X + 4 = X^2 – 2X + 5X – 10$

Reduzcamos, combinemos términos semejantes y organicemos la ecuación, obtendremos:

$X = - 14$

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Consigna:

Un pintor necesita un lienzo con las dimensiones:

$(23x+12)\times(20x+7)$

¿Cuánto es el área que el pintor debe pintar?

Solución:

Multiplicamos el largo del lienzo por el ancho para encontrar el área

$(23x+12)\times(20x+7)=$

Multiplicamos cada elemento entre paréntesis por cada elemento del segundo paréntesis

$23x\times20x+23x\times7+12\times20x+12\times7=$

Resolvemos en consecuencia

$460x^2+161x+240x+84=$

$460x^2+401x+84$

Respuesta:

$460x^2+401x+84$

Consigna:

Calcular el área del rectángulo,

Dejar incógnitas en sus respuestas

Solución:

Para encontrar el área multiplicamos el ancho por el largo

$3y\times(y+3z)=$

Multiplicamos a 3y por cada uno de los elementos entre paréntesis

$3y\times y+3y\times3z=$

Resolvemos en consecuencia

$3y^2+9yz$

Respuesta:

$3y^2+9yz$

Consigna:

$(3+20)\times(12+4)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$3\times12+3\times4+20\times12+20\times4=$

Resolvemos en consecuencia

$36+12+240+80=$

Sumamos todo junto

$48+320=368$

Respuesta:

$368$

Consigna:

$(12+2)\times(3+5)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$12\times3+12\times5+2\times3+2\times5=$

Resolvemos en consecuencia

$36+60+6+10=$

Sumamos todo junto

$96+16=112$

Respuesta:

$112$

Consigna:

$(7x+4)\times(3x+4)=$

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$7x\times3x+7x\times4+4\times3x+4\times4=$

Resolvemos en consecuencia

$21x^2+28x+12x+16=$

$21x^2+40x+16$

Respuesta:

$21x^2+40x+16$

Consigna:

$(2x-3)\times(5x-7)$

Multiplicamos cada uno de los elementos del paréntesis con los elementos del segundo paréntesis

$2x\times5x+2x\times(-7)+(-3)\times5x+(-3)\times(-7)=$

Resolvemos en consecuencia

$10x^2-14x-15x+21=$

$10x^2-29x+21$

Respuesta:

$10x^2-29x+21$

La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta, es la propiedad que nos ayudara a simplificar y hacer de manera más sencilla una operación en donde está expresada con signos de agrupación y relacionada con la jerarquía de operaciones. La cual la podemos expresar como:

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

$a\times\left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta.

$a\times\left(b-c\right)=a\times b-a\times c$

De igual manera que la propiedad distributiva de la multiplicación, la propiedad distributiva de la división, ya sea con respecto a la suma y a la resta, nos ayudara para hacer de manera simplificada una operación y lo podemos expresar como:

$\left(a+b\right):c=a:c+b:c$

Esta propiedad nos permite desarrollar ejercicios con términos entre signos de agrupación como lo son los paréntesis que se multiplican por otros términos entre paréntesis.

Resuelve $\left(x+3\right)\left(x-8\right)=$

Procedemos a utilizar la propiedad distributiva, multiplicando cada uno de los términos como se muestra:

$\left(x+3\right)\left(x-8\right)=x^2-8x+3x-24$

Reduciendo términos semejantes tenemos

$\left(x+3\right)\left(x-8\right)=x^2-5x-24$

Respuesta

$x^2-5x-24$

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=$

Usando la propiedad distributiva obtenemos:

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=6x^2-10x-3x+5$

Reduciendo términos semejantes:

$\left(2x-1\right)\left(3x-5\right)=6x^2-13x+5$

Respuesta

$6x^2-13x+5$