Método algebraico

Es una denominación general a varias herramientas y técnicas que nos ayudarán a resolver ejercicios más complejos en el futuro.

Potenciación

Es una denominación general a varias herramientas y técnicas que nos ayudarán a resolver ejercicios más complejos en el futuro.

Las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo varias veces.

Por ejemplo:

$4^5=4\times4\times4\times4\times4$

$4$ es el número que se multiplica por sí mismo. Se lo denomina "Base de potencia".
$5$ representa las veces que se repite la multiplicación de la base y se lo denomina "Exponente".

Propiedad distributiva

Esta propiedad sirve para despejar paréntesis y nos ayuda con cálculos más complejos. Recordemos cómo actúa. En general escribiremos así:

$Z\times(X+Y)=ZX+ZY$

$Z\times(X-Y)=ZX-ZY$

Factorización: Implica extraer el término común fuera de los paréntesis

El método de exclusión de un término común es muy importante. Nos ayudará para pasar de una expresión con varios términos a una que incluya sólo uno.
Por ejemplo:
$2A + 4B$

Esta expresión está compuesta por dos términos. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común. En este caso se trata del $2$ .
Lo escribiremos del siguiente modo:

$2A+4B=2\times(A+2B)$

Propiedad distributiva extendida

La propiedad distributiva extendida es muy similar a la propiedad distributiva, sólo que nos permite resolver ejercicios con expresiones entre paréntesis que se multiplican por otras expresiones entre paréntesis.
Se ve así:

$(a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd$

En este artículo explicaremos detalladamente cada uno de estos temas.

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$(3+20)\times(12+4)=$

Quiz y otros ejercicios

En este artículo trataremos temas importantes dentro de la metodología algebraica. Cada uno de estos temas se explicará más detalladamente en los artículos específicos.

Reiteración: Potencias

Volvamos a los puntos primordiales dentro del tema de potencias:

De hecho, las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Se ve así:
$4^5$

$4$ es el número que se multiplica por sí mismo. Se denomina Base de la potencia..
$5$ representa las veces que se repite la multiplicación de la base y se denomina Exponente.

Es decir, en nuestro ejemplo:
$4^5=4\times4\times4\times4\times4$

Recordemos que todo número elevado a la potencia de $1$ equivale a sí mismo
O sea:

$4^1=4$

Y recordemos que, todo número elevado a la potencia de $0$ equivale a $1$
$4^0=1$

Definición matemática a la potencia $0$ .

Un punto importante para tener en cuenta es la diferencia entre una potencia dentro de paréntesis y una potencia fuera de paréntesis. Por ejemplo, ¿qué diferencia hay entre

$(-4)^2$ y $-4^2$
Es un caso importante que podría confundirnos. Cuando la potencia se encuentra fuera de los paréntesis, tal como se ve en el primer caso, hay que elevar toda la expresión al exponente dado, o sea

$(-4)^2=(-4)\times(-4)=16$

Contrariamente, en el segundo caso, primero hay que ocuparse de la potenciación y recién después del signo menos. Es decir:

$-4^2=-(4\times4)=-16$

Recordemos también que, la potenciación está antes que cuatro operaciones en el orden de las operaciones matemáticas, pero no antes que los paréntesis.

Por ejemplo:
$3\times(4-2)^2=3\times(2)^2=3\times4=12$

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Ejercicio 1

$(12+2)\times(3+5)=$

Ejercicio 2

$(35+4)\times(10+5)=$

Ejercicio 3

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

$$ a(b+c) $$

Reiteración: Propiedad distributiva

A la propiedad distributiva la hemos conocido a los $12$ años aproximadamente. Esta propiedad sirve para despejar paréntesis y nos ayuda con cálculos más complejos. Recordemos cómo actúa. En general escribiremos así:

$Z\times(X+Y)=ZX+ZY$

$Z\times(X-Y)=ZX-ZY$

Ahora mostraremos algunos ejemplos con números para entender la fórmula.

Ejemplo 1: Propiedad distributiva

$6\times26=6\times(20+6)=6\times20+6\times6=120+36=156$

Hemos utilizado la propiedad distributiva para resolver un ejercicio que habría sido más complicado calcularlo de forma directa.
También podemos usar la propiedad distributiva en operaciones de dividir.

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

$(a+b)(c\cdot g)$

Ejercicio 2

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

$$ (ab)(c d) $$ ?

$$

Ejercicio 3

Descompón la expresión en términos básicos:

$$ 4x^2 + 6x $$

Ejemplo 2: Propiedad distributiva

$104:4=(100+4):4= 100:4 + 4:4 = 25+1 = 26$

También en esta ocasión, la propiedad distributiva nos ha ayudado a simplificar un ejercicio que, de haberlo solucionado paso tras paso, de forma directa, habría sido un poco más complejo.

Ejemplo 3: Propiedad distributiva con variables

Despeja los paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
$3a\times(2b+5)=$

Pondremos atención de multiplicar el término que está fuera de los paréntesis por cada uno de los términos que están entre paréntesis según el orden correcto

Ejemplo 3- Propiedad distributiva con variables

Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 1

Simplifica la expresión:

$$ 5x^3 + 3x^2 $$

Ejercicio 2

$$ (12-x)(x-3)= $$

Ejercicio 3

$$ (a+15)(5+a)= $$

Factorización: La extracción del término común fuera de los paréntesis

El método de exclusión de un término común es muy importante. Nos ayudará para pasar de una expresión con varios términos a una que incluya sólo uno.
Por ejemplo, veamos la expresión:

$2A + 4B$

Esta expresión ahora está compuesta por dos términos. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común. En este caso se trata del $2$ .
Lo escribiremos del siguiente modo:

$2A+4B=2\times(A+2B)$

Nos percataremos de que, pasamos de una situación en la cual teníamos dos partes que se sumaban, a una situación con multiplicación. Este procedimiento se denomina factorización.
Podemos utilizar la propiedad distributiva que mencionamos anteriormente para hacer el proceso contrario. Multiplicaremos el $2$ por cada uno de los términos que están entre paréntesis:

Factorización - La extracción del término común fuera de los paréntesis

En ciertos casos preferiremos una expresión con multiplicación y en otros con sumas.
En el artículo explayado sobre este tema podrás ver más ejemplos al respecto.

La propiedad distributiva extendida

$(a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd$

¿Cómo actúa la propiedad distributiva extendida?

Fase 1: Multiplicaremos el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Fase 2: Multiplicaremos el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
Fase 3: asociaremos términos similares.

Ejemplo:

$(a+2)\times(3+a)=$

¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicio 1

Descompón la expresión en términos básicos:

$$ 2x^2 $$

Ejercicio 2

$$ (2x+y)(x+3)= $$

Ejercicio 3

Reescribe usando componentes básicos:

$$ 8x^2 - 4x $$

Fase 1: Multipliquemos la a por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.

Fase 2: Multipliquemos el 2 por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.

Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 1

Resuelve el ejercicio:

$$ (2y-3)(y-4)= $$

Ejercicio 2

Descompón la expresión en términos básicos:

$$ 3y^3 $$

Ejercicio 3

$(3+20)\times(12+4)=$

Fase 3: Organicemos los términos y, si hay similares, asociémoslos

$(a+2)\times(3+a)=3a+a2+6+2a=a2+5a+6$

En el artículo completo sobre la propiedad distributiva extendida podrás encontrar explicaciones detalladas y muchos ejemplos más.

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Ejemplos y ejercicios con soluciones del método algebraico

Ejercicio #1

$(3+20)\times(12+4)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplifica esta expresión prestando atención al orden de las operaciones aritméticas que dice que la potenciación precede a la multiplicación y la división antes que la suma y la resta y que los paréntesis preceden a todas ellas.

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(3+20)\cdot(12+4)=\\ 23\cdot16=\\ 368$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

368

Ejercicio #2

$(12+2)\times(3+5)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Por lo tanto, primero comencemos simplificando las expresiones entre paréntesis, posteriormente realizamos la multiplicación entre ellas:

$(12+2)\cdot(3+5)= \\ 14\cdot8=\\ 112$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Respuesta

112

Ejercicio #3

$(35+4)\times(10+5)=$

Solución en video

Solución Paso a Paso

Abrimos los paréntesis usando la propiedad distributiva extendida y crearemos un ejercicio de suma largo:

Multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis derecho.

Luego multiplicamos el primer término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

Ahora multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el primer término del paréntesis izquierdo.

Por último, multiplicamos el segundo término del paréntesis izquierdo por el segundo término del paréntesis derecho.

De la siguiente manera:

$(35\times10)+(35\times5)+(4\times10)+(4\times5)=$

Resolvemos cada uno de los ejercicios entre paréntesis:

$350+175+40+20=$

Resolvemos el ejercicio de izquierda a derecha:

$350+175=525$

$525+40=565$

$565+20=585$

Respuesta

585

Ejercicio #4

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

$(ab)(c d)$ ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recordemos la propiedad distributiva extendida:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d$ Tengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:

$(a b)(c d)$ Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),

Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:

$(a b)(c d)= \\ abcd$ Por lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No, $abcd$

Ejercicio #5

Descompón la expresión en términos básicos:

$4x^2 + 6x$

Solución Paso a Paso

Para descomponer la expresión $4x^2 + 6x$ en sus términos básicos, necesitamos buscar un factor común en ambos términos.

El primer término es $4x^2$ , que puede reescribirse como $4\cdot x\cdot x$ .

El segundo término es $6x$ , que puede reescribirse como $2\cdot 3\cdot x$ .

El factor común entre los términos es $x$ .

Por lo tanto, la expresión puede descomponerse en $4\cdot x^2 + 6\cdot x$ , y reescribirse con factores comunes como $4\cdot x\cdot x + 6\cdot x$ .

Respuesta

$4\cdot x\cdot x+6\cdot x$

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

$(12+2)\times(3+5)=$

Ejercicio 2

$(35+4)\times(10+5)=$

Ejercicio 3

Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión

$$ a(b+c) $$

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