Método algebraico

🏆Ejercicios de técnica algebraica

Es una denominación general a varias herramientas y técnicas que nos ayudarán a resolver ejercicios más complejos en el futuro.

A1 - Método algebraico

Potenciación

Es una denominación general a varias herramientas y técnicas que nos ayudarán a resolver ejercicios más complejos en el futuro.

Las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo varias veces.

Por ejemplo:

45=4×4×4×4×4 4^5=4\times4\times4\times4\times4

4 4 es el número que se multiplica por sí mismo. Se lo denomina "Base de potencia".
5 5 representa las veces que se repite la multiplicación de la base y se lo denomina "Exponente".

Propiedad distributiva

Esta propiedad sirve para despejar paréntesis y nos ayuda con cálculos más complejos. Recordemos cómo actúa. En general escribiremos así:

Z×(X+Y)=ZX+ZY Z\times(X+Y)=ZX+ZY

Z×(XY)=ZXZY Z\times(X-Y)=ZX-ZY


Factorización: Implica extraer el término común fuera de los paréntesis

El método de exclusión de un término común es muy importante. Nos ayudará para pasar de una expresión con varios términos a una que incluya sólo uno.
Por ejemplo:
2A+4B2A + 4B

Esta expresión está compuesta por dos términos. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común. En este caso se trata del 2 2 .
Lo escribiremos del siguiente modo:

2A+4B=2×(A+2B) 2A+4B=2\times(A+2B)


Propiedad distributiva extendida

La propiedad distributiva extendida es muy similar a la propiedad distributiva, sólo que nos permite resolver ejercicios con expresiones entre paréntesis que se multiplican por otras expresiones entre paréntesis.
Se ve así:

(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd

En este artículo explicaremos detalladamente cada uno de estos temas.


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\( (x+y)(x-y)= \)

Quiz y otros ejercicios

En este artículo trataremos temas importantes dentro de la metodología algebraica. Cada uno de estos temas se explicará más detalladamente en los artículos específicos.

Reiteración: Potencias

Volvamos a los puntos primordiales dentro del tema de potencias:

De hecho, las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Se ve así:
454^5

44 es el número que se multiplica por sí mismo. Se denomina Base de la potencia..
55 representa las veces que se repite la multiplicación de la base y se denomina Exponente.

Es decir, en nuestro ejemplo:
45=4×4×4×4×4 4^5=4\times4\times4\times4\times4

Recordemos que todo número elevado a la potencia de 11 equivale a sí mismo
O sea:

41=44^1=4

Y recordemos que, todo número elevado a la potencia de 00 equivale a 11
40=14^0=1

Definición matemática a la potencia 00.

Un punto importante para tener en cuenta es la diferencia entre una potencia dentro de paréntesis y una potencia fuera de paréntesis. Por ejemplo, ¿qué diferencia hay entre

(4)2(-4)^2 y 42 -4^2
Es un caso importante que podría confundirnos. Cuando la potencia se encuentra fuera de los paréntesis, tal como se ve en el primer caso, hay que elevar toda la expresión al exponente dado, o sea

(4)2=(4)×(4)=16 (-4)^2=(-4)\times(-4)=16

Contrariamente, en el segundo caso, primero hay que ocuparse de la potenciación y recién después del signo menos. Es decir:

42=(4×4)=16 -4^2=-(4\times4)=-16

Recordemos también que, la potenciación está antes que cuatro operaciones en el orden de las operaciones matemáticas, pero no antes que los paréntesis.

Por ejemplo:
3×(42)2=3×(2)2=3×4=12 3\times(4-2)^2=3\times(2)^2=3\times4=12


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Reiteración: Propiedad distributiva

A la propiedad distributiva la hemos conocido a los 12 12 años aproximadamente. Esta propiedad sirve para despejar paréntesis y nos ayuda con cálculos más complejos. Recordemos cómo actúa. En general escribiremos así:

Z×(X+Y)=ZX+ZY Z\times(X+Y)=ZX+ZY

Z×(XY)=ZXZY Z\times(X-Y)=ZX-ZY

Ahora mostraremos algunos ejemplos con números para entender la fórmula.


Ejemplo 1: Propiedad distributiva

6×26=6×(20+6)=6×20+6×6=120+36=156 6\times26=6\times(20+6)=6\times20+6\times6=120+36=156

Hemos utilizado la propiedad distributiva para resolver un ejercicio que habría sido más complicado calcularlo de forma directa.
También podemos usar la propiedad distributiva en operaciones de dividir. 


¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejemplo 2: Propiedad distributiva

104:4=(100+4):4=100:4+4:4=25+1=26104:4=(100+4):4= 100:4 + 4:4 = 25+1 = 26

También en esta ocasión, la propiedad distributiva nos ha ayudado a simplificar un ejercicio que, de haberlo solucionado paso tras paso, de forma directa, habría sido un poco más complejo.


Ejemplo 3: Propiedad distributiva con variables

Despeja los paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
3a×(2b+5)= 3a\times(2b+5)=

Pondremos atención de multiplicar el término que está fuera de los paréntesis por cada uno de los términos que están entre paréntesis según el orden correcto

Ejemplo 3- Propiedad distributiva con variables


Comprueba que lo has entendido

Factorización: La extracción del término común fuera de los paréntesis

El método de exclusión de un término común es muy importante. Nos ayudará para pasar de una expresión con varios términos a una que incluya sólo uno.
Por ejemplo, veamos la expresión:

2A+4B2A + 4B

Esta expresión ahora está compuesta por dos términos. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común. En este caso se trata del 22.
Lo escribiremos del siguiente modo:

2A+4B=2×(A+2B) 2A+4B=2\times(A+2B)

Nos percataremos de que, pasamos de una situación en la cual teníamos dos partes que se sumaban, a una situación con multiplicación. Este procedimiento se denomina factorización.
Podemos utilizar la propiedad distributiva que mencionamos anteriormente para hacer el proceso contrario. Multiplicaremos el 22 por cada uno de los términos que están entre paréntesis:

Factorización - La extracción del término común fuera de los paréntesis

En ciertos casos preferiremos una expresión con multiplicación y en otros con sumas.
En el artículo explayado sobre este tema podrás ver más ejemplos al respecto.


La propiedad distributiva extendida

La propiedad distributiva extendida es muy similar a la propiedad distributiva, sólo que nos permite resolver ejercicios con expresiones entre paréntesis que se multiplican por otras expresiones entre paréntesis.
Se ve así:

(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)\times(c+d)=ac+ad+bc+bd

¿Cómo actúa la propiedad distributiva extendida? 

  • Fase 1: Multiplicaremos el primer término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
  • Fase 2: Multiplicaremos el segundo término de los primeros paréntesis por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.
  • Fase 3: asociaremos términos similares.

Ejemplo:

(a+2)×(3+a)= (a+2)\times(3+a)=


¿Crees que podrás resolverlo?

Fase 1: Multipliquemos la a por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.

Fase 1- Multipliquemos la a por cada uno de los términos de los segundos paréntesis


Fase 2: Multipliquemos el 2 por cada uno de los términos de los segundos paréntesis.

Fase 2- Multipliquemos el 2 por cada uno de los términos de los segundos paréntesis


Comprueba tu conocimiento

Fase 3: Organicemos los términos y, si hay similares, asociémoslos

(a+2)×(3+a)=3a+a2+6+2a=a2+5a+6 (a+2)\times(3+a)=3a+a2+6+2a=a2+5a+6

En el artículo completo sobre la propiedad distributiva extendida podrás encontrar explicaciones detalladas y muchos ejemplos más.


Ejemplos y ejercicios con soluciones del método algebraico

Ejercicio #1

(a+4)(c+3)= (a+4)(c+3)=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Cuando nos encontramos con un ejercicio de multiplicación de este tipo, podemos reconocer que se debe seguir la propiedad distributiva.

Paso 1: multiplica el primer factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 2: multiplica el segundo factor del primer paréntesis por cada uno de los factores del segundo paréntesis.

Paso 3: agrupamos términos semejantes.

 

a * (c+3) =

a*c + a*3

4  * (c+3) =

4*c + 4*3

 

ac+3a+4c+12

 

No hay términos semejantes para simplificar aquí, ¡así que esta es la solución!

Respuesta

ac+3a+4c+12 ac+3a+4c+12

Ejercicio #2

Simplifica la expresión dada:(a+c)(4+c) (a+c)(4+c)

Solución en video

Solución Paso a Paso

Simplificamos la expresión dada, abrimos paréntesis usando la propiedad distributiva extendida:

(x+y)(t+d)=xt+xd+yt+yd (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{y})(t+d)=\textcolor{red}{x}t+\textcolor{red}{x}d+\textcolor{blue}{y}t+\textcolor{blue}{y}d Tengamos en cuenta que en la forma de la fórmula de la propiedad distributiva mencionada anteriormente, asumimos por defecto que la operación entre los términos dentro del paréntesis es una operación de suma, por lo tanto, por supuesto, no olvidaremos que el signo del coeficiente del término es parte inseparable de él, también aplicaremos las reglas de multiplicación de signos y así podremos presentar cualquier expresión entre paréntesis, que se abre mediante la fórmula anterior, primero, como una expresión en la que hay una operación de suma entre todos los términos, en esta expresión, como queda claro, para todos los términos el coeficiente es el signo más, por lo tanto vamos directamente a la apertura del paréntesis,

Comenzamos con la apertura de paréntesis:

(x+c)(4+c)x4+xc+c4+cc4x+xc+4c+c2 (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{c})(4+c)\\ \textcolor{red}{x}\cdot 4+\textcolor{red}{x}\cdot c+\textcolor{blue}{c}\cdot 4+\textcolor{blue}{c} \cdot c\\ 4x+xc+4c+c^2 Para simplificar la expresión anterior, utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n}

En el siguiente paso entran términos semejantes, definiremos términos semejantes como términos en los que las incógnitas(cada una por separado), en este caso, x y c, tienen potencias idénticas (en ausencia de una de las incógnitas de la expresión , nos referiremos a su potencia como potencia de cero, esto se debe a que elevando cada número a la potencia de cero da como resultado 1), además usaremos la propiedad sustitutiva, además ordenaremos la expresión de mayor a la potencia más baja de izquierda a derecha (nos referiremos al número libre como la potencia de cero),

Tengamos en cuenta que en la expresión que obtuvimos en el último paso hay cuatro términos diferentes, esto se debe a que no hay ni siquiera un par de términos en los que las incógnitas (diferentes) tengan la misma potencia, además ya está ordenado según potencia como arriba, por lo tanto la expresión que ya hemos obtenido es la expresión final y más simplificada:4x+xc+4c+c2c2+xc+4x+4c \textcolor{purple}{4x}\textcolor{green}{+xc}\textcolor{black}{+4c}\textcolor{orange}{+c^2 }\\ \textcolor{orange}{c^2 }\textcolor{green}{+xc}\textcolor{purple}{+4x}\textcolor{black}{+4c}\\ Resaltamos a los diferentes términos mediante colores y, como se enfatizó antes, nos aseguramos de que el signo principal del término sea una parte integral del mismo.

Utilizamos la propiedad sustitutiva por la multiplicación para notar que la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

4x+cx+4c+c2 4x+cx+4c+c^2

Ejercicio #3

¿Es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar la expresión dada

(ab)(cd) (ab)(c d) ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recordemos la propiedad distributiva extendida:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})(c+d)=\textcolor{red}{a}c+\textcolor{red}{a}d+\textcolor{blue}{b}c+\textcolor{blue}{b}d Tengamos en cuenta que la operación entre los términos de la expresión dentro del paréntesis entre los cuales se realiza la multiplicación es una operación de multiplicación:

(ab)(cd) (a b)(c d) Esto contrasta con la operación entre los términos en las expresiones entre paréntesis en la propiedad distributiva ampliada antes mencionada, que es la suma (o la resta, que en realidad es la suma del término con un signo menos),

Además, notaremos que como hay una multiplicación entre todos los términos, tanto en la expresión dentro del paréntesis como entre las expresiones dentro del paréntesis, existe una multiplicación donde los paréntesis en realidad son redundantes y se pueden omitir y obtenemos:

(ab)(cd)=abcd (a b)(c d)= \\ abcd Por lo tanto, la apertura de los paréntesis en la expresión dada con el uso de la propiedad distributiva extendida es incorrecta y produce un resultado incorrecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

No, abcd abcd

Ejercicio #4

Hallar el factor común:

ab+bc ab+bc

Solución en video

Solución Paso a Paso

ab+bc=a×b+b×c ab+bc=a\times b+b\times c

Tengamos en cuenta que el factor común es b, por lo que lo quitaremos:

b(ab+bc)= b(ab+bc)=

Dividimos por b:b(abb+bcb)= b(\frac{ab}{b}+\frac{bc}{b})=

b(a+c) b(a+c)

Respuesta

b(a+c) b(a+c)

Ejercicio #5

Hallar el factor común:

7a+14b 7a+14b

Solución en video

Solución Paso a Paso

Dividimos 14 en un ejercicio de multiplicación para que nos ayude a simplificar en consecuencia:7×a+7×b×2= 7\times a+7\times b\times2=

Extraemos el factor común 7:

7(a+2×b)=7(a+2b) 7(a+2\times b)=7(a+2b)

Respuesta

7(a+2b) 7(a+2b)

¿Sabes cuál es la respuesta?
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