Progresiones aritméticas - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

¿Qué es una serie numérica para niños?

Las series matemáticas son un grupo de términos con una determinada regla, es decir, se debe realizar alguna operación y repetirla una y otra vez para saltar de un término al siguiente.
La operación puede ser suma, resta, multiplicación, división o cualquier otra operación matemática.

Por ejemplo la siguiente serie de números forma una serie numérica básica:
1,2,3,4,5 1, 2, 3, 4, 5

para saltar de un término al otro de la serie añadiremos +1 +1 .
2=1+1 2 = 1+1
3=2+1 3 = 2+1
4=3+1 4 = 3+1
y seguiremos así sucesivamente

a- Las series matemáticas son un grupo de términos con una determinada regla


Practicar Progresiones aritméticas

Ejercicio #1

12 ☐ 10 ☐ 8 7 6 5 4 3 2 1

¿Qué números se deben poner en los cuadrados para obtener la propiedad constante?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Es posible ver que entre cada número hay un salto de un número.

Es decir, a cada número se le suma 1 y será el siguiente número:

1+1=2 1+1=2

2+1=3 2+1=3

3+1=4 3+1=4

Etcétera. Por lo tanto, los siguientes números que faltan en la secuencia serán:8+1=9 8+1=9

10+1=11 10+1=11

Respuesta

11 , 9

Ejercicio #2

Observa la siguiente secuencia de números y determina si hay una regla. Si la hay, ¿cuál es?

94,96,98,100,102,104 94,96,98,100,102,104

Solución en video

Solución Paso a Paso

Se puede ver que la diferencia entre cada número es 2.

Es decir, entre cada salto se suma 2 al siguiente número:

94+2=96 94+2=96

96+2=98 96+2=98

98+2=100 98+2=100

Etcétera

Respuesta

+2 +2

Ejercicio #3

La tabla muestra el número de balones contra el número de canchas en la escuela:

246123balonescanchas

.

Completa:

Número de balones ___ del número de canchas

Solución en video

Solución Paso a Paso

Es posible ver que si multiplicamos cada número de la columna de la derecha por 2, obtienes el número de la columna de la izquierda.

Es decir:1×2=2 1\times2=2

2×2=4 2\times2=4

3×2=6 3\times2=6

Por lo tanto, el número de balones es 2 veces mayor que el número de canchas.

Respuesta

2 veces mayor

Ejercicio #4

Dada la serie de ejercicios.

La serie se estructura según la propiedad constante.

Completa el primer ejercicio.

?+? \text{?}+\text{?}

2+4 2+4

3+7 3+7

4+10 4+10

5+13 5+13

Solución en video

Solución Paso a Paso

Prestamos atención a la columna derecha en los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +3:4+3=7 4+3=7

7+3=10 7+3=10

Etcétera.

Ahora prestamos atención a la columna izquierda de los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +1:

2+1=3 2+1=3

3+1=4 3+1=4

Ahora podemos averiguar cuál es el ejercicio que falta:

El dígito de la izquierda será:21=1 2-1=1

El dígito de la derecha será:43=1 4-3=1

Y el ejercicio que falta es:1+1 1+1

Respuesta

1+1 1+1

Ejercicio #5

Dada una fórmula con una propiedad constante que depende den n :

2n+2 2n+2

Halla el elemento que se encuentra en el lugar de 11

Solución en video

Solución Paso a Paso

Calculamos mediante el reemplazo den=11 n=11

2×11+2= 2\times11+2=

Primero resolvemos el ejercicio de multiplicación y luego sumamos 2:

22+2=24 22+2=24

Respuesta

24 24

Ejercicio #1

A continuación se muestra una serie de cuadrados, ¿cuántos cuadrados habrá en el elemento 8?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Puede verse que para cada número sucesivo se suma un cuadrado a lo largo y uno a lo ancho.

Por lo tanto, la legalidad usando la variable n es:

a(n)=n2 a(n)=n^2

Por lo tanto, el octavo término será:

n2=8×8=16 n^2=8\times8=16

Respuesta

64 64

Ejercicio #2

La serie se define según el término general:an=n+5 a_n=n+5

¿El número 15 es un término en la serie?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Comprobaremos si el número 15 es un término de la serie definida por el término general dado:

an=n+5 a_n=n+5

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

an=15 a_n=15 Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

{an=n+5an=1515=n+5 \begin{cases} a_n=n+5\\ a_n=15 \end{cases}\\ \downarrow\\ 15=n+5 Cuando colocamos en la posiciónan a_n En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

15=n+5n=515n=10/:(1)n=10 15=n+5 \\ -n=5-15\\ -n=-10 \hspace{8pt} \text{/:}(-1)\\ n=10 Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

an=15 a_n=15 Lo que conduce que:

n=10 n=10 Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

a10=15 a_{10}=15 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

Si

Ejercicio #3

Dada una serie cuyo primer elemento es 15, cada elemento de la serie es menor por 2 de su antecesor.

¿El número 1 es un elemento de la serie?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Sabemos que el primer término de la serie es 15.

A partir de aquí podemos escribir toda la serie fácilmente, hasta ver si llegamos al 1.  

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1

 

¡El número 1 es de hecho un elemento de la serie!

Respuesta

Si

Ejercicio #4

Para la serie: an=10n9 a_n=10n-9

Halla el cuarto y quinto término.

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los términos cuarto y quinto en la serie son
a4,a5 a_4,\hspace{4pt}a_5 Es decir, en la fórmula del término general dado:

an=10n9 a_n=10n-9 Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

n=4 n=4 para a4 a_4 y

n=5 n=5 para

a5 a_5 Realizamos esto para el cuarto y quinto término:

an=10n9n=4a4=1049=409a4=31 a_{\underline{n}}= 10\underline{n}-9 \\ n=\underline{4}\\ \downarrow\\ a_{\underline{4}}= 10\cdot\underline{4}-9=40-9\\ a_4=31 Cuando ponemos la posición (del término deseado en la serie) en lugar de n: 4, la posición se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Lo mismo, para el quinto términoa5 a_5 Obtenemos:

a5=1059=509a5=41 a_{\underline{5}}= 10\cdot\underline{5}-9=50-9\\ a_5=41 Es decir obtuvimos que:

a4=31,a5=41 a_4=31,\hspace{4pt}a_5=41 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

31,41

Ejercicio #5

La serie se define según el término general:

an=15n a_n= 15n

¿El número 30 es un término en la serie?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Comprobaremos si el número 30 es un término de la serie definida por el término general dado:

an=15n a_n= 15n ,

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

an=15 a_n=15 Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

{an=15nan=3030=15n \begin{cases} a_n= 15n \\ a_n=30 \end{cases}\\ \downarrow\\ 30=15n Cuando colocamos en la posiciónan a_n En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

30=15n15n=30/:(15)n=2 30=15n \\ -15n=-30 \hspace{8pt} \text{/:}(-15)\\ n=2 Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

an=30 a_n=30 Lo que conduce que:

n=2 n=2 Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

a2=30 a_{2}=30 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

Sí, en la segunda ubicación

Ejercicio #1

Para la serie definida por el término general:n2 \frac{n}{2}

Halla el tercer término.

Solución en video

Solución Paso a Paso

El tercer término en la serie esa3 a_3 Es decir, en la fórmula del término general dado:

an=n2 a_n= \frac{n}{2} Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

n=3 n=3 Realizaremos esto:

an=n2n=3a3=32 a_{\underline{n}}= \frac{\underline{n}}{2} \\ n=\underline{3}\\ \downarrow\\ a_{\underline{3}}=\frac{\underline{3}}{2} Cuando colocamos la posición (del término solicitado en la serie) en lugar de n: 3, la ubicación se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

32 \frac{3}{2}

Ejercicio #2

¿Existe una norma?

18 , 22 , 26 , 30

Solución en video

Respuesta

Si

Ejercicio #3

Observa la siguiente secuencia de números y determina si hay una regla. Si la hay, ¿cuál es?

1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6

Solución en video

Respuesta

+1 +1

Ejercicio #4

Observa la siguiente secuencia de números y determina si hay una regla. Si la hay, ¿cuál es?

13,10,7,4,1 13,10,7,4,1

Solución en video

Respuesta

3 -3

Ejercicio #5

Observa la siguiente secuencia de números y determina si hay una regla. Si la hay, ¿cuál es?

5,10,15,20,25,30 5,10,15,20,25,30

Solución en video

Respuesta

+5 +5

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Regularidades