Ejemplos, ejercicios y soluciones de series numéricas

12 ☐ 10 ☐ 8 7 6 5 4 3 2 1

¿Qué números se deben poner en los cuadrados para obtener la propiedad constante?

Es posible ver que entre cada número hay un salto de un número.

Es decir, a cada número se le suma 1 y será el siguiente número:

$1+1=2$

$2+1=3$

$3+1=4$

Etcétera. Por lo tanto, los siguientes números que faltan en la secuencia serán:$8+1=9$

$10+1=11$

11 , 9

Observa la siguiente secuencia de números y determina si hay una regla. Si la hay, ¿cuál es?

$94,96,98,100,102,104$

Se puede ver que la diferencia entre cada número es 2.

Es decir, entre cada salto se suma 2 al siguiente número:

$94+2=96$

$96+2=98$

$98+2=100$

Etcétera

$+2$

La tabla muestra el número de balones contra el número de canchas en la escuela:

.

Completa:

Número de balones ___ del número de canchas

Es posible ver que si multiplicamos cada número de la columna de la derecha por 2, obtienes el número de la columna de la izquierda.

Es decir:$1\times2=2$

$2\times2=4$

$3\times2=6$

Por lo tanto, el número de balones es 2 veces mayor que el número de canchas.

2 veces mayor

Dada la serie de ejercicios.

La serie se estructura según la propiedad constante.

Completa el primer ejercicio.

$\text{?}+\text{?}$

$2+4$

$3+7$

$4+10$

$5+13$

Prestamos atención a la columna derecha en los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +3:$4+3=7$

$7+3=10$

Etcétera.

Ahora prestamos atención a la columna izquierda de los ejercicios.

Entre cada número hay un salto de +1:

$2+1=3$

$3+1=4$

Ahora podemos averiguar cuál es el ejercicio que falta:

El dígito de la izquierda será:$2-1=1$

El dígito de la derecha será:$4-3=1$

Y el ejercicio que falta es:$1+1$

$1+1$

A continuación se muestra una serie de cuadrados, ¿cuántos cuadrados habrá en el elemento 8?

Puede verse que para cada número sucesivo se suma un cuadrado a lo largo y uno a lo ancho.

Por lo tanto, la legalidad usando la variable n es:

$a(n)=n^2$

Por lo tanto, el octavo término será:

$n^2=8\times8=16$

$64$

Dada una fórmula con una propiedad constante que depende de$n$:

$2n+2$

Halla el elemento que se encuentra en el lugar de 11

Calculamos mediante el reemplazo de$n=11$

$2\times11+2=$

Primero resolvemos el ejercicio de multiplicación y luego sumamos 2:

$22+2=24$

$24$

Dada una serie cuyo primer elemento es 15, cada elemento de la serie es menor por 2 de su antecesor.

¿El número 1 es un elemento de la serie?

Sabemos que el primer término de la serie es 15.

A partir de aquí podemos escribir toda la serie fácilmente, hasta ver si llegamos al 1.  

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1

¡El número 1 es de hecho un elemento de la serie!

Si

Para la serie definida por el término general:$\frac{n}{2}$

Halla el tercer término.

El tercer término en la serie es$a_3$Es decir, en la fórmula del término general dado:

$a_n= \frac{n}{2}$Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

$n=3$Realizaremos esto:

$a_{\underline{n}}= \frac{\underline{n}}{2} \\ n=\underline{3}\\ \downarrow\\ a_{\underline{3}}=\frac{\underline{3}}{2}$Cuando colocamos la posición (del término solicitado en la serie) en lugar de n: 3, la ubicación se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

$\frac{3}{2}$

Para la serie: $a_n=10n-9$

Halla el cuarto y quinto término.

Los términos cuarto y quinto en la serie son
$a_4,\hspace{4pt}a_5$Es decir, en la fórmula del término general dado:

$a_n=10n-9$Debemos colocar la posición (del término solicitado en la serie):

$n=4$$$para $a_4$y

$$$n=5$para

$a_5$Realizamos esto para el cuarto y quinto término:

$a_{\underline{n}}= 10\underline{n}-9 \\ n=\underline{4}\\ \downarrow\\ a_{\underline{4}}= 10\cdot\underline{4}-9=40-9\\ a_4=31$Cuando ponemos la posición (del término deseado en la serie) en lugar de n: 4, la posición se describe mediante un guión bajo en la expresión anterior,

Lo mismo, para el quinto término$a_5$Obtenemos:

$a_{\underline{5}}= 10\cdot\underline{5}-9=50-9\\ a_5=41$Es decir obtuvimos que:

$a_4=31,\hspace{4pt}a_5=41$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

31,41

La serie se define según el término general:$a_n=n+5$

¿El número 15 es un término en la serie?

Comprobaremos si el número 15 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n=n+5$

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n=n+5\\ a_n=15 \end{cases}\\ \downarrow\\ 15=n+5$Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$15=n+5 \\ -n=5-15\\ -n=-10 \hspace{8pt} \text{/:}(-1)\\ n=10$Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=15$Lo que conduce que:

$n=10$Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{10}=15$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Si

La serie se define según el término general:

$a_n= 15n$

¿El número 30 es un término en la serie?

Comprobaremos si el número 30 es un término de la serie definida por el término general dado:

$$ $a_n= 15n$,

Lo realizaremos de la siguiente manera:

Primero requeriremos la existencia de dicho término en la serie, en alguna posición, es decir, exigiremos que:

$a_n=15$Más adelante resolvemos la ecuación obtenida de este requisito, recordando que n es la posición del término de la serie (también conocida como índice del término de la serie), por lo que debe ser un número natural, es decir , un número entero positivo y, por lo tanto, también lo necesitaremos,

Luego comprobaremos si estos dos requisitos se cumplen juntos:

Primero resolvemos,

$\begin{cases} a_n= 15n \\ a_n=30 \end{cases}\\ \downarrow\\ 30=15n$Cuando colocamos en la posición$a_n$En la primera ecuación, el valor solicitado de la segunda ecuación,

Obtuvimos una ecuación con una variable para n, la resolveremos de la forma habitual moviendo lados y aislando la variable, así obtenemos:

$30=15n \\ -15n=-30 \hspace{8pt} \text{/:}(-15)\\ n=2$Cuando en el último paso dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente evanescente del lado izquierdo,

Por lo tanto aceptamos el requisito de que:

$a_n=30$Lo que conduce que:

$n=2$Y este es efectivamente un número natural, es decir, entero y positivo, y por lo tanto concluimos que en la serie definida en el problema por el término general dado, el número 15 es efectivamente un término y su posición es 10, es decir, en notación matemática:

$a_{2}=30$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Sí, en la segunda ubicación