Si existe alguna relación entre los elementos de un conjunto, las regularidades serían la norma que los relaciona. Se puede formular la regularidad, es decir la norma y, de esta manera, encontrar el valor de cada uno de los elementos del conjunto según el puesto que ocupa.
Formas para encontrar regularidades
Hay varias maneras para encontrar regularidades. Una de ellas es observar la secuencia de elementos y el cambio que van teniendo. Otra manera es anotar parámetros en una tabla.
A continuación, veamos una serie de elementos: 3,7,11,15,19
Si observamos con detenimiento los números nos daremos cuenta de que hay cierta regla de formación entre ellos y que, para llegar de un número al siguiente siempre es necesario añadir 4.
Es decir, el primer elemento es el 3. Si le agregamos 4 obtendremos el segundo elemento que es el 7, si a éste, otra vez, le agregamos 4 llegaremos al tercer elemento que es el 11 y así sucesivamente.
En otras palabras, si nos preguntamos cuál es la regularidad, es +4.
¿Qué números se deben poner en los cuadrados para obtener la propiedad constante?
Quiz y otros ejercicios
Ejemplos de diferentes patrones de formación
Ejemplo No 1
Observa los siguientes conjuntos numéricos y determina si hay alguna regularidad. Si la hay, especifica cuál es.
A. 1,2,3,4,5,6
B. 9,7,3,8,5,0
C. 9,11,13,15,17
D. 1,100,98,85,64
E. 10,9,8,7,6
Solución:
A. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es mayor que el que lo precede en 1. Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, +1.
B. Si observamos la siguiente secuencia, veremos que no hay ninguna relación entre sus elementos, por lo tanto, aquí no hay regularidades.
C. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es mayor que el que lo precede en 2. Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, +2.
D. Si observamos la siguiente secuencia, veremos que no hay ninguna relación entre sus elementos, por lo tanto, aquí no hay regularidades.
E. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es menor que el que lo precede en 1. Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, −1.
Respuesta:
A. Hay regularidad, +1
B. No hay regularidades
C. Hay regularidad, +2,
D. No hay regularidades
E. Hay regularidad, −1
Ejemplo No 2
Observa los grupos numéricos que se ven a continuación y determina si hay alguna regularidad. Si la hay, especifica cuál es y descubre los dos siguientes términos:
2,−4,8,−16,32,−64
Solución:
Al observar los números veremos que hay una mezcla de números positivos y negativos, y nos parecerá por un momento que no hay ninguna regularidad. Sin embargo, si lo analizamos un poco mejor, veremos que, a pesar de tener una combinación de positivos y negativos, no se trata de números tirados al azar.
Si primero ignoramos los signos, veremos que cada número subsiguiente equivale al doble del previo. Ahora devolvamos los signos y veamos qué descubrimos, ya que, de hecho, cada subsiguiente se crea multiplicando por −2 al número que lo precede.
Es decir:
2×−2=−4
−4×−2=8
8×−2=−16
−16×−2=32
32×−2=−64
Por lo tanto, la regularidad que hemos encontrado es, de hecho, ×(−2)
Ahora pasemos a la segunda parte del ejercicio y encontremos los dos siguientes elementos de la secuencia.
Lo haremos realizando exactamente la misma operación que acabamos de mostrar:
−64×−2=128
128×−2=−256
Respuesta:
Efectivamente hay regularidad y es ×(−2)
Los dos elementos siguientes de la secuencia son: 128 y −256.
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Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
¿Existe una norma?
18 , 22 , 26 , 30
Ejercicio 2
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 1,2,3,4,5,6 \)
Ejercicio 3
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 10,8,6,4,2 \)
Ejercicios con diferentes sucesiones
Ejercicio 1
¿Hay alguna norma válida en la siguiente secuencia de números?
30,26,22,18
Solución:
Si, ya que para obtener el número siguiente debemos restar 4 al número anterior.
30−4=26
26−4=22
22−4=18
Respuesta:
Si, restar (4).
Ejercicio 2
Describe la norma usando la variable n.
21,24,27,30
Solución:
Para encontrar una fórmula que describa la regularidad utilizamos la fórmula:
an=a1+d(n−1)
En donde a1 corresponde al primer elemento de la sucesión, y d a la diferencia entre cualesquiera dos números consecutivos.
Colocamos los datos correspondientes en la fórmula:
an=21+3(n−1)
Simplificamos
an=21+3n−3
an=3n+18
Respuesta:
an=3n+18
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 1
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 94,96,98,100,102,104 \)
Ejercicio 2
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 13,16,20,23 \)
Ejercicio 3
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 13,10,7,4,1 \)
Ejercicio 3
En el aula hay 10 asientos numerados
Mediante una frecuencia regular.
Completen la progresión de los asientos:
20,18
16,14
__ , __
8,6
2,4
Solución:
Cada vez restamos 4 de los dos lados, por lo tanto:
14−4=10
16−4=12
Respuesta:
12,10
Ejercicio 4
Describe la regularidad usando la variable n.
50,75,100
Solución:
Colocamos los datos de acuerdo a la fórmula
an=a1+d(n−1)
an=50+25(n−1)
an=25n+50−25
an=25n+25
Respuesta:
an=25n+25
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 5,10,15,20,25,30 \)
Ejercicio 2
La tabla muestra el número de balones contra el número de canchas en la escuela:
.
Completa:
Número de balones ___ del número de canchas
Ejercicio 3
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 2,4,8,16,32,64 \)
Ejercicio 5
Un puñado de matemáticos decidió de antemano una norma regular. Encontraron personas cuya edad coincidía con la norma y las colocaron en la siguiente progresión:
A. 9n+4−2n−2
B. x2+5n−x2+2n−2
C. 7n−2
D. 9n+4−n−6−n
Dibujo:
5+7=12
12+7=19
Entonces, ¿hay un 7n en la ecuación de la edad? En posición (la posición aumenta en 1 por lo que la edad aumenta en 7)
Veamos el primer producto:
5=7×n+?
Reemplazamos n=1
Pasamos a 7 a la sección correspondiente
5−7=?
−2=?
Progresión:
7n−2
Respuesta:
B. x2+5n−x2+2n−2=7n−2
C. 7n−2
D. 9n+4−n−6−n=7n−2
Por lo tanto tenemos 3 respuestas correctas puesto que todas son iguales a:7n−2
Preguntas de repaso
¿Qué es la regularidad en matemáticas?
Cuando tenemos un conjunto de números ordenados, diremos que existe una regularidad si existe un patrón o regla que relaciones a dichos números.
¿Crees que podrás resolverlo?
Ejercicio 1
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 1,3,9,26,81 \)
Ejercicio 2
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 100,50,25,10,20 \)
Ejercicio 3
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 256,64,16,4,1 \)
¿Cuáles son las regularidades del sistema de numeración?
Existen distintas regularidades, para encontrarlas debemos analizar el conjunto de números y tratar de usar las operaciones de suma, resta, multiplicación o división o algunas combinaciones entre ellas para describir el conjunto.
¿Cuál es la regularidad de las figuras?
Muchas veces tendremos un conjunto de figuras geométricas, y para concentrar alguna regularidad conviene tratar de escribir alguna sucesión numérica que describa a las figuras geométricas.
Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 1
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 12,24,35,48,60 \)
Ejercicio 2
Observe el siguiente conjunto de números y determine si hay alguna propiedad, si es así, ¿cuál es?
\( 88,66,44,22,2 \)
Ejercicio 3
12 ☐ 10 ☐ 8 7 6 5 4 3 2 1
¿Qué números se deben poner en los cuadrados para obtener la propiedad constante?