Regularidades

Si existe alguna relación entre los elementos de un conjunto, las regularidades serían la norma que los relaciona. Se puede formular la regularidad, es decir la norma y, de esta manera, encontrar el valor de cada uno de los elementos del conjunto según el puesto que ocupa. 

Hay varias maneras para encontrar regularidades. Una de ellas es observar la secuencia de elementos y el cambio que van teniendo. Otra manera es anotar parámetros en una tabla. 

Una regla puede formularse utilizando sumas, restas, multiplicación o división, o bien, varias de estas operaciones juntas. 

Veamos un ejemplo: 

A continuación, veamos una serie de elementos: $3,7,11,15,19$

Si observamos con detenimiento los números nos daremos cuenta de que hay cierta regla de formación entre ellos y que, para llegar de un número al siguiente siempre es necesario añadir $4$. 

Es decir, el primer elemento es el $3$. Si le agregamos $4$ obtendremos el segundo elemento que es el $7$, si a éste, otra vez, le agregamos $4$ llegaremos al tercer elemento que es el $11$ y así sucesivamente. 

En otras palabras, si nos preguntamos cuál es la regularidad, es $+4$. 

Observa los siguientes conjuntos numéricos y determina si hay alguna regularidad. Si la hay, especifica cuál es.

A. $1,2,3,4,5,6$

B. $9,7,3,8,5,0$

C. $9,11,13,15,17$

D. $1,100,98,85,64$

E. $10,9,8,7,6$

Solución:

A. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es mayor que el que lo precede en $1.$ Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, $+1.$

B. Si observamos la siguiente secuencia, veremos que no hay ninguna relación entre sus elementos, por lo tanto, aquí no hay regularidades.

C. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es mayor que el que lo precede en $2.$ Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, $+2$.

D. Si observamos la siguiente secuencia, veremos que no hay ninguna relación entre sus elementos, por lo tanto, aquí no hay regularidades.

E. Si observamos esta secuencia, veremos que cada número subsiguiente es menor que el que lo precede en $1.$ Es decir, realmente aquí hay cierta regularidad, $-1$.

Respuesta: 

A. Hay regularidad, $+1$

B. No hay regularidades

C. Hay regularidad, $+2$,

D. No hay regularidades

E. Hay regularidad, $-1$

Observa los grupos numéricos que se ven a continuación y determina si hay alguna regularidad. Si la hay, especifica cuál es y descubre los dos siguientes términos: 

$2,-4,8,-16,32,-64$

Solución:

Al observar los números veremos que hay una mezcla de números positivos y negativos, y nos parecerá por un momento que no hay ninguna regularidad. Sin embargo, si lo analizamos un poco mejor, veremos que, a pesar de tener una combinación de positivos y negativos, no se trata de números tirados al azar.

Si primero ignoramos los signos, veremos que cada número subsiguiente equivale al doble del previo. Ahora devolvamos los signos y veamos qué descubrimos, ya que, de hecho, cada subsiguiente se crea multiplicando por $-2$ al número que lo precede. 

Es decir: 

$2\times-2=-4$

$-4\times-2=8$

$8\times-2=-16$

$-16\times-2=32$

$32\times-2=-64$

Por lo tanto, la regularidad que hemos encontrado es, de hecho, $\times(-2)$

Ahora pasemos a la segunda parte del ejercicio y encontremos los dos siguientes elementos de la secuencia.

Lo haremos realizando exactamente la misma operación que acabamos de mostrar: 

$-64\times-2=128$

$128\times-2=-256$

Respuesta:

Efectivamente hay regularidad y es $\times(-2)$

Los dos elementos siguientes de la secuencia son: $128$ y $-256$.

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¿Hay alguna norma válida en la siguiente secuencia de números?

$30,26,22,18$

Solución:

Si, ya que para obtener el número siguiente debemos restar 4 al número anterior.

$30-4=26$

$26-4=22$

$22-4=18$

Respuesta:

Si, restar $(4)$.

Describe la norma usando la variable $n$.

$21,24,27,30$

Solución:

Para encontrar una fórmula que describa la regularidad utilizamos la fórmula:

$a_n = a_1+d\left(n-1\right)$

En donde $a_1$ corresponde al primer elemento de la sucesión, y $d$ a la diferencia entre cualesquiera dos números consecutivos.

Colocamos los datos correspondientes en la fórmula:

$a_n=21+3\left(n-1\right)$

Simplificamos

$a_n = 21+3n-3$

$a_n = 3n+18$

Respuesta:

$a_n = 3n+18$

En el aula hay $10$ asientos numerados

Mediante una frecuencia regular.

Completen la progresión de los asientos:

$20,18$

$16,14$

__ , __

$8,6$

$2,4$

Solución:

Cada vez restamos $4$ de los dos lados, por lo tanto:

$14-4=10$

$16-4=12$

Respuesta:

$12,10$

Describe la regularidad usando la variable $n$.

$50,75,100$

Solución:

Colocamos los datos de acuerdo a la fórmula

$a_n=a1+d\left(n-1\right)$

$a_n = 50+25(n-1)$

$a_n = 25n+50-25$

$a_n = 25n+25$

Respuesta:

$a_n = 25n+25$

Un puñado de matemáticos decidió de antemano una norma regular. Encontraron personas cuya edad coincidía con la norma y las colocaron en la siguiente progresión:

A. $9n+4-2n-2$

B. $x^2+5n-x^2+2n-2$

C. $7n-2$

D. $9n+4-n-6-n$

Dibujo:

$5+7=12$

$12+7=19$

Entonces, ¿hay un $7n$ en la ecuación de la edad? En posición (la posición aumenta en $1$ por lo que la edad aumenta en $7$)

Veamos el primer producto:

$5=7\times n+\text{?}$

Reemplazamos $n=1$

Pasamos a $7$ a la sección correspondiente

$5-7=?$

$-2=?$

Progresión:

$7n-2$

Respuesta:

B. $x^2+5n-x^2+2n-2=7n-2$

C. $7n-2$

D. $9n+4-n-6-n=7n-2$

Por lo tanto tenemos 3 respuestas correctas puesto que todas son iguales a: $7n-2$

Cuando tenemos un conjunto de números ordenados, diremos que existe una regularidad si existe un patrón o regla que relaciones a dichos números.

Existen distintas regularidades, para encontrarlas debemos analizar el conjunto de números y tratar de usar las operaciones de suma, resta, multiplicación o división o algunas combinaciones entre ellas para describir el conjunto.

Muchas veces tendremos un conjunto de figuras geométricas, y para concentrar alguna regularidad conviene tratar de escribir alguna sucesión numérica que describa a las figuras geométricas.