Factorización: Extracción de factor común

Factorización:

La factorización que hacemos al extraer el factor común es nuestra manera de modificar la forma en que se escribe el ejercicio, o sea, de una expresión con sumas pasará a ser una expresión con multiplicación.

Por ejemplo, la expresión
\(2A + 4B\)
está compuesta por dos términos y un signo de sumar. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común.
En este caso se trata del 2.

Lo escribiremos del siguiente modo:
\(​​​​​​​2A + 4B = 2\times (A + 2B)\)

Ya que ambos términos (A y B) se multiplicaban por 2 pudimos «extraerlo». La expresión que queda se escribe entre paréntesis y el factor común (el 2) se mantiene fuera.
De este modo pasamos de tener dos términos en una operación de suma a tener una multiplicación. Este procedimiento se denomina factorización.

También se puede aplicar la propiedad distributiva para hacer un proceso inverso según sea necesario.
En ciertos casos preferiremos tener una multiplicación y en otros una suma.

En este artículo aprenderemos a factorizar extrayendo el factor común, o sea, veremos cómo pasar de una expresión con sumas a una expresión con multiplicación.

Lo aprenderemos a través de muchos ejemplos con niveles de dificultad ascendentes. Aprenderemos a extraer un factor común que puede ser un número, incógnita, expresión entre paréntesis u otro.

Para resolver ejercicios de este tipo debes manejar muy bien la propiedad distributiva y la propiedad distributiva extendida que te permitirán abrir expresiones que estén entre paréntesis. Aparte debes conocer la ley de los exponentes

\(a^{mn} = a^m \times a^n\)


¿Qué es el factor común?

En esta articulo veremos cómo pasar de una expresión con varios términos a una que incluya sólo uno.


Ejemplo 1:

Veamos la expresión:

\(2A + 4B\)

Esta expresión está compuesta por dos términos. Podemos factorizarla excluyendo el mayor término común. En este caso se trata del 2.
Lo escribiremos del siguiente modo:

\(2A + 4B = 2\times (A + 2B)\)

Nos percataremos de que teníamos dos sumandos y ahora tenemos una multiplicación. Este procedimiento se denomina factorización.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para hacer el proceso a la inversa. Multiplicaremos el 2 por cada uno de los términos que están entre paréntesis:

\(2A + 4B = 2\times (A + 2B)\)

En ciertos casos preferiremos una expresión con multiplicación y en otros con sumas.


Ejemplo 2:

\(​​​​​​​4X + CX\)

La X es el mayor factor común entre estos dos sumandos. Podemos escribirlo así:

\(X\times (4 + C)\)

Nuevamente, obtuvimos una multiplicación.
Pon atención, para verificar que hayamos factorizado correctamente siempre observaremos la multiplicación conseguida y haremos el procedimiento inverso. Si volvemos a llegar a la expresión original querrá decir que lo hemos hecho bien.
Por ejemplo, en el último ejercicio hemos obtenido depués de la factorización:

\(X\times (4 + C)\)

Hagamos uso de la propiedad distributiva y nos dará

\(4X + CX\)

Ésta es la expresión por la cual empezamos, quiere decir que lo hemos hecho bien.


Ejemplo 3:

Veamos la expresión

\(Z^5 + 3Z^7\)

Para descubrir el factor común en esta expresión debemos conocer bien la siguiente fórmula:

\(a^{mn} = a^m \times a^n\)

Regresemos a nuestra expresión y veremos que podemos escribirla así:

\(Z^5 + 3Z^7 = Z^5 + 3Z^5\times Z^2\)

Es decir, factorizamos la expresión \(3Z^2\)en \(3Z^5\times Z^2\) Hicimos esto ya que \(Z^5\) es el exponente más grande que es común a ambos factores.
Ahora podemos extraer \(Z^5 \) por ser el factor común y nos dará:

\(Z^5+ 3Z^7 = Z^5\times 1 + 3Z^5\times Z^2 = Z^5\times (1 + 3Z^2)\)

Hemos obtenido una expresión con multiplicación tal como deseábamos. Observa que, la expresión \(Z^5\)equivale a \(Z^5\times 1\)Elegimos escribirlo de este modo porque nos facilita encontrar el factor común. Es por eso que el número 1 aparece entre paréntesis.


Ejemplo 4: Factor común para más de dos sumandos

En ciertos casos nos toparemos con alguna expresión que tenga más de dos sumandos, por ejemplo:

\(3A^3 + 6A^5 + 9A^4\)

El mayor factor común que podemos extraer de cada uno de los términos es \(3A^2\). Para verlo de una manera más clara podemos escribir el ejercicio de la siguiente manera:

\(3A^2 + 6A^5 + 9A^3 = 3A^2 \times A + 3A^2 \times 2A^3 + 3A^2 + 3A^2\)

Luego de extraer el factor común \(3A^2\) la expresión se verá así:

\(3A^2 \times (A + 2A^3 + 3A^2)\)

Aquí hemos visto nuevamente, cómo hemos comenzado con una expresión compuesta por varios sumandos y hemos pasado a una multiplicación.


Ejemplo 5: Extracción de factor común para una expresión entre paréntesis

Veamos el siguiente ejercicio:

\(3A\times (B - 5) + 8 \times (B – 5)\)

Nos percataremos de que la expresión  \((B – 5)\) aparece en los dos términos, por lo tanto, podremos extraerla como factor común.

Luego de extraer el factor común nos dará:

\(3A\times (B - 5) + 8\times (B – 5) = (B – 5) (3A + 8)\)


Ejemplo 6: Expresiones con signos opuestos entre paréntesis

Observemos el ejercicio:

\(3(X-4) + X(4-X)\)

A primera vista podría confundirnos y parecernos que no hay factor común que podamos extraer. Pero ¡observa! Las expresiones

\( (X-4)\) y \((4-X)\) difieren en el signo. Es decir, si tomamos una de ellas y la multiplicamos por 1 llegaremos a la otra expresión. Veámoslo claramente con la propiedad distributiva:

\(-1\times (X-4) = -X + 4 = 4 – x\)

Ahora regresemos a la expresión original

\(3(X-4) + X(4-X)\)

Podemos escribirla del siguiente modo:

\(3(X-4) + X(4-X) = 3(X-4) + X\times (-1)\times (X-4) = 3(X-4) – X(X-4)\)

Ahora podemos extraer el factor común como en los ejercicios anteriores:

\(3(X-4) + X(4-X) = 3(X-4) + X\times (-1)\times (X-4) = (X-4)(3 – X)\)

Veamos a qué hemos llegado:

\(3(X-4) + X(4-X) = (X-4)(3 – X)\)

¡Recuerda! Para verificar el resultado puedes hacer el camino inverso, es decir, tomar la última expresión que obtuvimos y llegar a la original por medio de la propiedad distributiva extendida. Inténtalo.


Ejemplo 7: Ejercicio de nivel avanzado

Factoriza la siguiente expresión:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2\)

A primera vista parecería que no hay un factor común entre los cuatro sumandos. Por lo tanto, nos enfocaremos, por separado, en los dos primeros sumandos y luego en los dos segundos. Escribiremos la expresión del siguiente modo:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2 = 3b\times b + 3b\times 1 + 2\times b + 2\times 1\)

Recordemos nuevamente que no es necesario escribir la multiplicación por 1. En esta fase sólo la escribiremos para nuestra propia comodidad.
Ahora sacaremos el factor común de los dos primeros sumandos y, por separado, sacaremos el de los dos segundos, nos dará así:

\(3b^2 + 3b + 2b + 2 = 3b\times b + 3b\times 1 + 2\times b + 2\times 1 = 3b (b + 1) + 2 (b + 1)\)

Veamos que ahora la expresión (b+1) aparece dos veces, eso significa que podremos utilizarla como factor común.

Sacaremos un factor común otra vez más y obtendremos:

\(3b (b + 1) + 2 (b + 1) = (b+1)(3b+2)\)

En resumen, hemos obtenido:

\(3b2 + 3b + 2b + 2 = (b+1)(3b+2)\)

Percatémonos de que hemos pasado de una expresión con cuatro sumandos a una multiplicación. Volvamos a recordar que puedes verificar tus respuestas.
Puedes desglosar la última expresión con la propiedad distributiva extendida y corroborar que realmente llegas a la expresión original.