La fórmula de la diferencia de cuadrados - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Entendiendo la La fórmula de la diferencia de cuadrados

Explicación completa con ejemplos

(XY)2=X22XY+Y2(X - Y)2=X2 - 2XY + Y2
Esta es una de las fórmulas de multiplicación abreviada y nos describe la diferencia cuadrática de dos números.

Es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y se elevarán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.

Desglose visual de fórmulas de multiplicación abreviadas: (a+b)² = a² + 2ab + b² y (a−b)² = a² − 2ab + b², con modelos de áreas codificados por colores que representan la expansión de binomios.

Explicación completa

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\( x^2-2x+1=9 \)

Resuelva usando la fórmula de multiplicación abreviada

ejemplos con soluciones para La fórmula de la diferencia de cuadrados

Soluciones paso a paso incluidas
Ejercicio #1

¿A cuánto equivale la expresión?

(xy)2 (x-y)^2

Solución Paso a Paso

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

(xy)(xy)= (x-y)(x-y)=

x2xyyx+y2= x^2-xy-yx+y^2=

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Respuesta:

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Solución en video
Ejercicio #2

(x2)2+(x3)2= (x-2)^2+(x-3)^2=

Solución Paso a Paso

Para resolver la pregunta, necesitamos conocer una de las fórmulas de multiplicación abreviadas:

(xy)2=x22xy+y2 (x−y)^2=x^2−2xy+y^2

Ahora, aplicamos esta propiedad dos veces:

(x2)2=x24x+4 (x-2)^2=x^2-4x+4

(x3)2=x26x+9 (x-3)^2=x^2-6x+9

Ahora sumamos:

x24x+4+x26x+9= x^2-4x+4+x^2-6x+9=

2x210x+13 2 x^2-10x+13

Respuesta:

2x210x+13 2x^2-10x+13

Solución en video
Ejercicio #3

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4

Solución Paso a Paso

Resolvamos la ecuación dada:

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4 Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:

6016y+y2=46016y+y2+4=0y216y+64=0 60-16y+y^2=-4 \\ 60-16y+y^2+4=0 \\ y^2-16y+64=0 Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2 Esto se hace usando el hecho de que:

64=82 64=8^2 Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:

y216y+64=0y216y+82=0 y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-16y+\textcolor{blue}{8}^2=0 Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:

y216y+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2=0 Notemos que los términos y2,82 \textcolor{red}{y}^2,\hspace{6pt}\textcolor{blue}{8}^2 efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),

Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:

y216y+82=0?y22y8+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 \\ \updownarrow\text{?}\\ \textcolor{red}{y}^2-\underline{2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 Y efectivamente se cumple que:

2y8=16y 2\cdot y\cdot8=16y Así que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:

y22y8+82=0(y8)2=0 \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:

(y8)2=0/y8=±0y8=0y=8 (y-8)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ y-8=\pm0\\ y-8=0\\ \boxed{y=8}

Resumamos entonces la solución de la ecuación:

6016y+y2=4y216y+64=0y22y8+82=0(y8)2=0y8=0y=8 60-16y+y^2=-4 \\ y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 \\ \downarrow\\ y-8=0\\ \downarrow\\ \boxed{y=8}

Así que la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta:

y=8 y=8

Solución en video
Ejercicio #4

Dado el cuadrado:

AAABBBDDDCCCX-7

Expresa el área del cuadrado

Solución Paso a Paso

Recuerda que el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado elevado a la 2da potencia.

La fórmula del área del cuadrado es

A=L2 A=L^2

Colocamos los datos en la fórmula:

A=(x7)2 A=(x-7)^2

Respuesta:

(x7)2 (x-7)^2

Solución en video
Ejercicio #5

¿A cuánto vale la expresión?

(x7)2 (x-7)^2

Solución Paso a Paso

Respuesta:

x214x+49 x^2-14x+49

Solución en video

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