(XY)2=X22XY+Y2(X - Y)2=X2 - 2XY + Y2
Esta es una de las fórmulas de multiplicación abreviada y nos describe la diferencia cuadrática de dos números.

Es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y se elevarán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.

Temas sugeridos para practicar con anticipación

  1. Fórmulas de multiplicación abreviadas
  2. La fórmula para la suma de cuadrados

Practicar La fórmula de la diferencia de cuadrados

ejemplos con soluciones para La fórmula de la diferencia de cuadrados

Ejercicio #1

¿A cuánto equivale la expresión?

(xy)2 (x-y)^2

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

(xy)(xy)= (x-y)(x-y)=

x2xyyx+y2= x^2-xy-yx+y^2=

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Respuesta

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Ejercicio #2

(x2)2+(x3)2= (x-2)^2+(x-3)^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver la pregunta, necesitamos conocer una de las fórmulas de multiplicación abreviadas:

(xy)2=x22xy+y2 (x−y)^2=x^2−2xy+y^2

Ahora, aplicamos esta propiedad dos veces:

(x2)2=x24x+4 (x-2)^2=x^2-4x+4

(x3)2=x26x+9 (x-3)^2=x^2-6x+9

Ahora sumamos:

x24x+4+x26x+9= x^2-4x+4+x^2-6x+9=

2x210x+13 2 x^2-10x+13

Respuesta

2x210x+13 2x^2-10x+13

Ejercicio #3

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4

Solución en video

Solución Paso a Paso

Resolvamos la ecuación dada:

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4 Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:

6016y+y2=46016y+y2+4=0y216y+64=0 60-16y+y^2=-4 \\ 60-16y+y^2+4=0 \\ y^2-16y+64=0 Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2 Esto se hace usando el hecho de que:

64=82 64=8^2 Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:

y216y+64=0y216y+82=0 y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-16y+\textcolor{blue}{8}^2=0 Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:

y216y+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2=0 Notemos que los términos y2,82 \textcolor{red}{y}^2,\hspace{6pt}\textcolor{blue}{8}^2 efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),

Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:

y216y+82=0?y22y8+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 \\ \updownarrow\text{?}\\ \textcolor{red}{y}^2-\underline{2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 Y efectivamente se cumple que:

2y8=16y 2\cdot y\cdot8=16y Así que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:

y22y8+82=0(y8)2=0 \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:

(y8)2=0/y8=±0y8=0y=8 (y-8)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ y-8=\pm0\\ y-8=0\\ \boxed{y=8}

Resumamos entonces la solución de la ecuación:

6016y+y2=4y216y+64=0y22y8+82=0(y8)2=0y8=0y=8 60-16y+y^2=-4 \\ y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 \\ \downarrow\\ y-8=0\\ \downarrow\\ \boxed{y=8}

Así que la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

y=8 y=8

Ejercicio #4

Dado el cuadrado:

AAABBBDDDCCCX-7

Expresa el área del cuadrado

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recuerda que el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado elevado a la 2da potencia.

La fórmula del área del cuadrado es

A=L2 A=L^2

Colocamos los datos en la fórmula:

A=(x7)2 A=(x-7)^2

Respuesta

(x7)2 (x-7)^2

Ejercicio #5

(4b3)(4b3) (4b-3)(4b-3)

Declara la expresión como una expresión de potencia y como una expresión de suma

Solución en video

Respuesta

(4b3)2 (4b-3)^2

16b224b+9 16b^2-24b+9

Ejercicio #6

Declara la expresión dada mediante una suma y una multiplicación

(3xy)2 (3x-y)^2

Solución en video

Respuesta

9x26xy+y2 9x^2-6xy+y^2

(3xy)(3xy) (3x-y)(3x-y)

Ejercicio #7

(a4)(a4)=? (a-4)(a-4)=\text{?}

Solución en video

Respuesta

a28a+16 a^2-8a+16

Ejercicio #8

Declara la expresión dada como una suma

(7b3x)2 (7b-3x)^2

Solución en video

Respuesta

49b242bx+9x2 49b^2-42bx+9x^2

Ejercicio #9

¿A cuánto vale la expresión?

(x7)2 (x-7)^2

Solución en video

Respuesta

x214x+49 x^2-14x+49

Ejercicio #10

(x26)2= (x^2-6)^2=

Solución en video

Respuesta

x412x2+36 x^4-12x^2+36

Ejercicio #11

(xx2)2= (x-x^2)^2=

Solución en video

Respuesta

x42x3+x2 x^4-2x^3+x^2

Ejercicio #12

9x212x+4= 9x^2-12x+4=

Solución en video

Respuesta

(3x2)2 (3x-2)^2

Ejercicio #13

x22x+1=9 x^2-2x+1=9

Resuelva usando la fórmula de multiplicación abreviada

Solución en video

Respuesta

x=2 x=-2 o x=4 x=4

Ejercicio #14

(x1)2=x2 (x-1)^2=x^2

Solución en video

Respuesta

x=12 x=\frac{1}{2}

Ejercicio #15

(x4)2x(x+8)=0 (x-4)^2-x(x+8)=0

Solución en video

Respuesta

x=1 x=1

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Multiplicación de la suma de dos elementos por la diferencia entre ellos