Identificar cuándo usar la multiplicación abreviada del cuadrado de diferencia
Resolver expresiones algebraicas con signos negativos paso a paso
Expandir binomios al cuadrado con términos algebraicos y numéricos
Manejar correctamente los signos en la fórmula de diferencia cuadrática
Simplificar expresiones como (x-7)² usando la fórmula abreviada
Entendiendo la La fórmula de la diferencia de cuadrados
Explicación completa con ejemplos
(X−Y)2=X2−2XY+Y2 Esta es una de las fórmulas de multiplicación abreviada y nos describe la diferencia cuadrática de dos números.
Es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y se elevarán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.
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\( x^2=6x-9 \)
Incorrecto
Respuesta correcta:
\( x=3 \)
ejemplos con soluciones para La fórmula de la diferencia de cuadrados
Soluciones paso a paso incluidas
Ejercicio #1
¿A cuánto equivale la expresión?
(x−y)2
Solución Paso a Paso
Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:
(x−y)(x−y)=
x2−xy−yx+y2=
x2−2xy+y2
Respuesta:
x2−2xy+y2
Solución en video
Ejercicio #2
(x−2)2+(x−3)2=
Solución Paso a Paso
Para resolver la pregunta, necesitamos conocer una de las fórmulas de multiplicación abreviadas:
(x−y)2=x2−2xy+y2
Ahora, aplicamos esta propiedad dos veces:
(x−2)2=x2−4x+4
(x−3)2=x2−6x+9
Ahora sumamos:
x2−4x+4+x2−6x+9=
2x2−10x+13
Respuesta:
2x2−10x+13
Solución en video
Ejercicio #3
60−16y+y2=−4
Solución Paso a Paso
Resolvamos la ecuación dada:
60−16y+y2=−4Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:
60−16y+y2=−460−16y+y2+4=0y2−16y+64=0Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:
(a−b)2=a2−2ab+b2Esto se hace usando el hecho de que:
64=82Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:
y2−16y+64=0↓y2−16y+82=0Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:
(a−b)2=a2−2ab+b2Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:
y2−16y+82=0Notemos que los términos y2,82efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),
Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):
(a−b)2=a2−2ab+b2En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:
y2−16y+82=0↕?y2−2⋅y⋅8+82=0Y efectivamente se cumple que:
2⋅y⋅8=16yAsí que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:
y2−2⋅y⋅8+82=0↓(y−8)2=0A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:
Recuerda que el área del cuadrado es igual al lado del cuadrado elevado a la 2da potencia.
La fórmula del área del cuadrado es
A=L2
Colocamos los datos en la fórmula:
A=(x−7)2
Respuesta:
(x−7)2
Solución en video
Ejercicio #5
Declara la expresión dada como una suma
(7b−3x)2
Solución Paso a Paso
Respuesta:
49b2−42bx+9x2
Solución en video
Preguntas Frecuentes
Todo lo que necesitas saber La fórmula de la diferencia de cuadrados
¿Cuál es la fórmula del cuadrado de la diferencia?
+
La fórmula del cuadrado de la diferencia es (X-Y)² = X² - 2XY + Y². Esta fórmula de multiplicación abreviada permite expandir rápidamente expresiones donde dos términos con signo menos están elevados al cuadrado.
¿Cómo resolver (x-5)² paso a paso?
+
Para resolver (x-5)² sigue estos pasos: 1) Identifica X = x y Y = 5, 2) Aplica la fórmula: X² - 2XY + Y², 3) Sustituye: x² - 2(x)(5) + 5², 4) Simplifica: x² - 10x + 25.
¿Cuándo usar la fórmula del cuadrado de la diferencia?
+
Usa esta fórmula cuando tengas dos términos separados por un signo menos, encerrados en paréntesis y elevados al cuadrado, como (a-b)², (2x-3)², o (y-8)². Es una forma rápida de expandir sin multiplicar término por término.
¿Por qué el término medio es negativo en (X-Y)²?
+
El término medio -2XY es negativo porque al expandir (X-Y)(X-Y), obtienes X² - XY - YX + Y². Los términos -XY y -YX se suman para formar -2XY, manteniendo el signo negativo.
¿Cuál es la diferencia entre (X+Y)² y (X-Y)²?
+
La diferencia está en el signo del término medio: (X+Y)² = X² + 2XY + Y² (término medio positivo), mientras que (X-Y)² = X² - 2XY + Y² (término medio negativo). Ambos tienen los términos cuadrados positivos.
¿Se puede usar la fórmula con números y variables juntas?
+
Sí, la fórmula funciona con cualquier combinación de números y variables. Por ejemplo: (3x-4)² = (3x)² - 2(3x)(4) + 4² = 9x² - 24x + 16.
¿Cómo verificar si apliqué correctamente la fórmula?
+
Puedes verificar multiplicando (X-Y)(X-Y) manualmente y comparando con tu resultado usando la fórmula. También verifica que tengas tres términos: dos cuadrados positivos y un término medio negativo.
¿Qué errores comunes ocurren al usar (X-Y)²?
+
Los errores más comunes son: olvidar el signo negativo en -2XY, no elevar al cuadrado ambos términos correctamente, y confundir con la fórmula de suma (X+Y)². Siempre verifica los signos cuidadosamente.
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Domina primero la La fórmula de la diferencia de cuadrados, luego avanza a estos temas relacionados que construyen sobre tus habilidades con fracciones