Combinación de fórmulas de multiplicación abreviadas - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Conoce las fórmulas del cuadrado de binomios:

Producto de la suma de dos términos y su diferencia

$(X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2$

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La fórmula de la diferencia de cuadrados

$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$

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La Fórmula del Cuadrado de una Suma

$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$

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Fórmulas relacionadas con dos expresiones al cubo

$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

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Ejemplo

Practica un ejercicio que combina todas las fórmulas de multiplicación abreviada juntas:
$x^2+(5+x)(5-x)+x^2-6x+9-(6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3)=(2+x)^2+(6+x)^3$

Comencemos desde el principio del ejercicio. Observa que la expresión
$(5+x)(5-x)=25-x^2$
coincide con el producto de la suma de dos términos y su diferencia
$(X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2$
Procedamos a la expresión $x^2-6x+9$
Notamos que coincide con la fórmula de la diferencia de cuadrados
$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$
Sin embargo, evitemos tocarla en esta etapa.
Continuemos con $6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3$
y podemos ver que coincide perfectamente con la fórmula del cubo de dos términos
$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$
lo que significa
$6^3+3\cdot 6^2\cdot x+3\cdot 6\cdot x^2+x^3=(6+x)^3$

Continuemos con el segundo lado y observemos que la expresión $(2+x)^2$ coincide con la fórmula del cuadrado de una suma
$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$
Por lo tanto
$(2+x)^2=4+4x+x^2$

Ahora insertemos los datos:
$x^2+25-x^2+x^2-6x+9-(6+x)^3=4+4x+x^2+(6+x)^3$
Reduzcamos los términos y resolvamos de la siguiente manera:
$-6x+34=4x+4$
Movamos los términos a lados opuestos:
$8x=30$
$x=3.75$