Fórmulas de multiplicación abreviada
Las fórmulas de multiplicación abreviadas están aquí para quedarse y las usaremos en casi todos los ejercicios que encontremos en el futuro.
¡Pero bueno! No te estreses. Tenemos la suerte de conocerlas porque son las que nos ayudarán a resolver los ejercicios de forma correcta y eficaz.
Separeremos las tres fórmulas de multiplicación abreviada en 4 categorías:
Multiplicación entre la suma de dos términos por la diferencia entre ellos
(X+Y)×(X−Y)=X2−Y2
Fórmula de diferencia de dos cuadrados
(X−Y)2=X2−2XY+Y2
Fórmula de suma de cuadrados
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
Fórmulas que se refieren a dos expresiones en la 3° potencia
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Empezamos con la primera categoría:
Multiplicar la suma de dos términos por la diferencia entre ellos :
(X+Y)×(X−Y)=X2−Y2
Como se puede observar, se puede usar esta fórmula cuando hay un producto entre la suma de dos términos determinados y la diferencia de esos dos términos.
En lugar de presentarlos como un producto entre una suma y una diferencia, puede escribirlo X2−Y2.
De la misma manera, si se le presenta tal expresión X2−Y2 que representa la diferencia de dos números al cuadrado, puedes escribirlo así: (X+Y)×(X−Y)
Presta atención: dice en la fórmula X yY Pero funciona tanto en expresiones no algebraicas como en expresiones que combinan incógnitas y números.
Veamos un ejemplo:
Si nos dan -
(x+2)(x−2)
Podemos ver que es un producto entre la suma de los dos términos y la diferencia de los dos términos.
Por lo tanto podemos presentar la misma expresión según la fórmula de la siguiente manera:
x2−22
x2−4
De la misma manera, si nos dieran la expresión :
x2−4
podríamos expresar a 4 como un número al cuadrado, es decir 22 ,
para llegar a una muestra que coincida con la fórmula:
x2−22
y, por lo tanto, use la fórmula y muestre la expresión de esta manera:
x2−22=(X−2)(x+2)
Excelente.
Ahora pasaremos a la fórmula para la diferencia de cuadrados.
La fórmula para la diferencia de cuadrados:
(X−Y)2=X2−2XY+Y2
Esta fórmula nos describe la diferencia al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión en el cuadrado, podemos utilizar esta fórmula.
Tenga en cuenta que, aunque la fórmula contiene elementos algebraicos, la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Veamos un ejemplo:
(X−5)2=
Identificamos aquí dos términos con un signo menos entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de diferencia de cuadrados.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos:
(X−5)2=x2−10x+25
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Genial. Ahora vamos a pasar a la fórmula de la suma de cuadrados.
La fórmula para la suma de cuadrados :
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
Esta fórmula nos describe la suma al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo más en el medio, es decir, una suma y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.
Tenga en cuenta: aunque los elementos algebraicos aparecen en la fórmula, pero la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Nota: esta fórmula es muy similar a la fórmula para la diferencia de cuadrados y difiere solo en el signo menos en el término medio.
Veamos un ejemplo:
(X+4)2=
Identificamos aquí dos términos con un signo más entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la suma de los cuadrados.
Trabajamos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos:
(X+4)2=x2+8x+16
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Ahora, después de que te hayas familiarizado profundamente con las fórmulas de multiplicación abreviadas anteriores de 2° grado, pasaremos a las fórmulas relacionadas con dos expresiones a la 3ra potencia.
Las fórmulas que se refieren a dos expresiones a la potencia de 3
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
Veamos un ejemplo:
Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X+2)3=
Podemos identificar dos términos con un signo más entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
(X+2)3=x3+3×x2×2+3×x×22+23
(X+2)3=x3+6x2+12x+8
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente con la ayuda de la fórmula.
Ahora, pasemos a la segunda fórmula para la diferencia.
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Esta fórmula describe una manera de expresar la diferencia de dos términos, cuando están entre paréntesis y se elevan como una sola expresión a la potencia de tres.
La fórmula se puede usar con términos algebraicos o con números y también en combinación.
Veamos un ejemplo:
Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X−4)3=
Podemos identificar dos términos con un signo menos entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula. Presta atención a los signos menos y más.
(X−4)3=x3−3×x2×4+3×x×42−43
(X−4)3=x3−12x2+48x−64
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
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