Fórmulas de multiplicación abreviadas

Las fórmulas de multiplicación abreviadas se utilizarán a lo largo de nuestros estudios de matemáticas, desde la escuela primaria hasta la secundaria. En muchos casos, necesitaremos saber cómo abrir o sumar estas ecuaciones para llegar a la solución de varios ejercicios de matemáticas.

Al igual que otros temas de matemáticas, incluso en el caso de las fórmulas de multiplicación abreviadas, no hay nada que temer. La comprensión de las fórmulas y mucha práctica en el tema le brindará un control total. Así que comencemos :)

Estas son las fórmulas básicas de la multiplicación abreviada:

$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$

$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$

$(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$

$​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

Probaremos las fórmulas de multiplicación abreviadas mediante la apertura del paréntesis.

$(X + Y)^2 = (X + Y)\times (X+Y) =$

$X^2 + XY + YX + Y^2=$

Puesto que: $XY = YX$

$X^2 + 2XY + Y^2$

$(X - Y)^2 = (X - Y)\times (X-Y) =$

$X^2 - XY - YX + Y^2=$

Puesto que:$XY = YX$

$X^2 - 2XY + Y^2$

$(X + Y)\times (X-Y) =$

$X^2 - XY + YX + Y^2=$

Puesto que: $XY = YX$

$- XY + YX = 0$

$X^2 + 2XY + Y^2$

$(X + 2)^2=X^2 - 8$

$-(X + 2)^2=-X^2 - 8$

$(X + 3)^2=(X-4)\times (X+4)$

$(X + 2)^2=X^2 - 8$

$-(X + 2)^2=-X^2 - 8$

$(X + 3)^2=(X-4)\times (X+4)$

Las fórmulas de multiplicación abreviadas están aquí para quedarse y las usaremos en casi todos los ejercicios que encontremos en el futuro.
¡Pero bueno! No te estreses. Tenemos la suerte de conocerlas porque son las que nos ayudarán a resolver los ejercicios de forma correcta y eficaz.
Separeremos las tres fórmulas de multiplicación abreviada en $4$ categorías:

Multiplicación entre la suma de dos términos por la diferencia entre ellos
$(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2$
Fórmula de diferencia de dos cuadrados
$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$
Fórmula de suma de cuadrados
$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$
Fórmulas que se refieren a dos expresiones en la $3°$ potencia
$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$
$​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

Empezamos con la primera categoría:

$(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2$

Como se puede observar, se puede usar esta fórmula cuando hay un producto entre la suma de dos términos determinados y la diferencia de esos dos términos.
En lugar de presentarlos como un producto entre una suma y una diferencia, puede escribirlo $X^2 - Y^2$.
De la misma manera, si se le presenta tal expresión $X^2 - Y^2$ que representa la diferencia de dos números al cuadrado, puedes escribirlo así: $(X + Y)\times (X - Y)$
Presta atención: dice en la fórmula $X$ y$Y$ Pero funciona tanto en expresiones no algebraicas como en expresiones que combinan incógnitas y números.

Si nos dan:
$(x+2)(x-2)$
Podemos ver que es un producto entre la suma de los dos términos y la diferencia de los dos términos.
Por lo tanto podemos presentar la misma expresión según la fórmula de la siguiente manera:
$x^2-2^2$
$x^2-4$
De la misma manera, si nos dieran la expresión :
$x^2-4$
podríamos expresar a $4$ como un número al cuadrado, es decir $2^2$ ,
para llegar a una muestra que coincida con la fórmula:
$x^2-2^2$
y, por lo tanto, use la fórmula y muestre la expresión de esta manera:

$x^2-2^2=(X-2)(x+2)$

Excelente.
Ahora pasaremos a la fórmula para la diferencia de cuadrados.

$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$

Esta fórmula nos describe la diferencia al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión en el cuadrado, podemos utilizar esta fórmula.
Tenga en cuenta que, aunque la fórmula contiene elementos algebraicos, la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.

$(X-5)^2=$
Identificamos aquí dos términos con un signo menos entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de diferencia de cuadrados.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos: 
$(X-5)^2=x^2-10x+25$
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Genial. Ahora vamos a pasar a la fórmula de la suma de cuadrados.

$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$

Esta fórmula nos describe la suma al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo más en el medio, es decir, una suma y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.
Tenga en cuenta: aunque los elementos algebraicos aparecen en la fórmula, pero la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Nota: esta fórmula es muy similar a la fórmula para la diferencia de cuadrados y difiere solo en el signo menos en el término medio.

$(X+4)^2=$
Identificamos aquí dos términos con un signo más entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la suma de los cuadrados.
Trabajamos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos: 
$(X+4)^2=x^2+8x+16$
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.

Ahora, después de que te hayas familiarizado profundamente con las fórmulas de multiplicación abreviadas anteriores de $2°$ grado, pasaremos a las fórmulas relacionadas con dos expresiones a la 3ra potencia.

Las fórmulas que se refieren a dos expresiones a la potencia de $3$

$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$,$(a-b)^3=a ^ 3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:

Cuando se nos da la siguiente expresión:
$(X+2)^3=$
Podemos identificar dos términos con un signo más entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
$(X+2)^3=x^3+3\times x^2\times 2+3\times x\times 2^2+2^3$
$(X+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente con la ayuda de la fórmula.

Ahora, pasemos a la segunda fórmula para la diferencia.

$​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

Esta fórmula describe una manera de expresar la diferencia de dos términos, cuando están entre paréntesis y se elevan como una sola expresión a la potencia de tres.
La fórmula se puede usar con términos algebraicos o con números y también en combinación.

Cuando se nos da la siguiente expresión:
$(X-4)^3=$
Podemos identificar dos términos con un signo menos entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula. Presta atención a los signos menos y más.
$(X-4)^3=x^3-3\times x^2\times 4+3\times x\times 4^2-4^3$
$(X-4)^3=x^3-12x^2+48x-64$
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.

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