Las fórmulas de multiplicación abreviadas se utilizarán a lo largo de nuestros estudios de matemáticas, desde la escuela primaria hasta la secundaria. En muchos casos, necesitaremos saber cómo abrir o sumar estas ecuaciones para llegar a la solución de varios ejercicios de matemáticas.

Al igual que otros temas de matemáticas, incluso en el caso de las fórmulas de multiplicación abreviadas, no hay nada que temer. La comprensión de las fórmulas y mucha práctica en el tema le brindará un control total. Así que comencemos :)

Las fórmulas de multiplicación abreviadas de 2º grado

Estas son las fórmulas básicas de la multiplicación abreviada:

(X+Y)2=X2+2XY+Y2(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2

(XY)2=X22XY+Y2(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2

(X+Y)×(XY)=X2Y2(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2


Las fórmulas de multiplicación abreviadas de 3º grado

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3

​​​​​​​(ab)3=a33a2b+3ab2b3​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3


Verificación de las fórmulas de multiplicación abreviadas

Probaremos las fórmulas de multiplicación abreviadas mediante la apertura del paréntesis.

(X+Y)2=(X+Y)×(X+Y)=(X + Y)^2 = (X + Y)\times (X+Y) =

X2+XY+YX+Y2=X^2 + XY + YX + Y^2=

Puesto que: XY=YXXY = YX

X2+2XY+Y2X^2 + 2XY + Y^2


(XY)2=(XY)×(XY)=(X - Y)^2 = (X - Y)\times (X-Y) =

X2XYYX+Y2=X^2 - XY - YX + Y^2=

Puesto que:XY=YX XY = YX

X22XY+Y2X^2 - 2XY + Y^2


(X+Y)×(XY)=(X + Y)\times (X-Y) =

X2XY+YX+Y2=X^2 - XY + YX + Y^2=

Puesto que: XY=YX XY = YX

XY+YX=0 - XY + YX = 0

X2+2XY+Y2X^2 + 2XY + Y^2


Práctica de multiplicación abreviada

(X+2)2=X28(X + 2)^2=X^2 - 8

(X+2)2=X28-(X + 2)^2=-X^2 - 8

(X+3)2=(X4)×(X+4)(X + 3)^2=(X-4)\times (X+4)


Soluciones para la práctica de multiplicación abreviada

(X+2)2=X28(X + 2)^2=X^2 - 8

(X+2)2=X28-(X + 2)^2=-X^2 - 8

(X+3)2=(X4)×(X+4)(X + 3)^2=(X-4)\times (X+4)


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\( (4b-3)(4b-3) \)

Declara la expresión como una expresión de potencia y como una expresión de suma

Quiz y otros ejercicios

Fórmulas de multiplicación abreviada

Las fórmulas de multiplicación abreviadas están aquí para quedarse y las usaremos en casi todos los ejercicios que encontremos en el futuro.
¡Pero bueno! No te estreses. Tenemos la suerte de conocerlas porque son las que nos ayudarán a resolver los ejercicios de forma correcta y eficaz.
Separeremos las tres fórmulas de multiplicación abreviada en 4 4 categorías:

Multiplicación entre la suma de dos términos por la diferencia entre ellos
(X+Y)×(XY)=X2Y2(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2
Fórmula de diferencia de dos cuadrados
(XY)2=X22XY+Y2(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2
Fórmula de suma de cuadrados
(X+Y)2=X2+2XY+Y2(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2
Fórmulas que se refieren a dos expresiones en la 3° potencia
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3
​​​​​​​(ab)3=a33a2b+3ab2b3​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3

Empezamos con la primera categoría:


Multiplicar la suma de dos términos por la diferencia entre ellos

(X+Y)×(XY)=X2Y2(X + Y)\times (X - Y) = X^2 - Y^2

Como se puede observar, se puede usar esta fórmula cuando hay un producto entre la suma de dos términos determinados y la diferencia de esos dos términos.
En lugar de presentarlos como un producto entre una suma y una diferencia, puede escribirlo X2Y2X^2 - Y^2.
De la misma manera, si se le presenta tal expresión X2Y2X^2 - Y^2 que representa la diferencia de dos números al cuadrado, puedes escribirlo así: (X+Y)×(XY)(X + Y)\times (X - Y)
Presta atención: dice en la fórmula XX yYY Pero funciona tanto en expresiones no algebraicas como en expresiones que combinan incógnitas y números.

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Veamos un ejemplo

Si nos dan:
(x+2)(x2)(x+2)(x-2)
Podemos ver que es un producto entre la suma de los dos términos y la diferencia de los dos términos.
Por lo tanto podemos presentar la misma expresión según la fórmula de la siguiente manera:
x222x^2-2^2
x24x^2-4
De la misma manera, si nos dieran la expresión :
x24x^2-4
podríamos expresar a 44 como un número al cuadrado, es decir 222^2 ,
para llegar a una muestra que coincida con la fórmula:
x222x^2-2^2
y, por lo tanto, use la fórmula y muestre la expresión de esta manera:

x222=(X2)(x+2)x^2-2^2=(X-2)(x+2)

Excelente.
Ahora pasaremos a la fórmula para la diferencia de cuadrados.


La fórmula para la diferencia de cuadrados

(XY)2=X22XY+Y2(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2

Esta fórmula nos describe la diferencia al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión en el cuadrado, podemos utilizar esta fórmula.
Tenga en cuenta que, aunque la fórmula contiene elementos algebraicos, la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.

Veamos un ejemplo

(X5)2=(X-5)^2=
Identificamos aquí dos términos con un signo menos entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de diferencia de cuadrados.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos: 
(X5)2=x210x+25(X-5)^2=x^2-10x+25
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Genial. Ahora vamos a pasar a la fórmula de la suma de cuadrados.


¿Sabes cuál es la respuesta?

La fórmula para la suma de cuadrados

(X+Y)2=X2+2XY+Y2(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2

Esta fórmula nos describe la suma al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo más en el medio, es decir, una suma y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.
Tenga en cuenta: aunque los elementos algebraicos aparecen en la fórmula, pero la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Nota: esta fórmula es muy similar a la fórmula para la diferencia de cuadrados y difiere solo en el signo menos en el término medio.

Veamos un ejemplo

(X+4)2=(X+4)^2=
Identificamos aquí dos términos con un signo más entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la suma de los cuadrados.
Trabajamos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos: 
(X+4)2=x2+8x+16(X+4)^2=x^2+8x+16
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.

Ahora, después de que te hayas familiarizado profundamente con las fórmulas de multiplicación abreviadas anteriores de 2° grado, pasaremos a las fórmulas relacionadas con dos expresiones a la 3ra potencia.


Las fórmulas que se refieren a dos expresiones a la potencia de 3 3

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3,(ab)3=a33a2b+3ab2b3(a-b)^3=a ^ 3-3a^2b+3ab^2-b^3

Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:

Veamos un ejemplo

Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X+2)3=(X+2)^3=
Podemos identificar dos términos con un signo más entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
(X+2)3=x3+3×x2×2+3×x×22+23(X+2)^3=x^3+3\times x^2\times 2+3\times x\times 2^2+2^3
(X+2)3=x3+6x2+12x+8(X+2)^3=x^3+6x^2+12x+8
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente con la ayuda de la fórmula.

Ahora, pasemos a la segunda fórmula para la diferencia.

​​​​​​​(ab)3=a33a2b+3ab2b3​​​​​​​(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3

Esta fórmula describe una manera de expresar la diferencia de dos términos, cuando están entre paréntesis y se elevan como una sola expresión a la potencia de tres.
La fórmula se puede usar con términos algebraicos o con números y también en combinación.

Veamos un ejemplo

Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X4)3=(X-4)^3=
Podemos identificar dos términos con un signo menos entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula. Presta atención a los signos menos y más.
(X4)3=x33×x2×4+3×x×4243(X-4)^3=x^3-3\times x^2\times 4+3\times x\times 4^2-4^3
(X4)3=x312x2+48x64(X-4)^3=x^3-12x^2+48x-64
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.


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Ejemplos y ejercicios con soluciones de fórmulas de multiplicación abreviadas

Ejercicio #1

Resuelva el siguiente ejercicio:

(2+x)(2x)=0 (2+x)(2-x)=0

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula de multiplicación abreviada:

4x2=0 4-x^2=0

Movemos las secciones y extraemos la raíz:

4=x2 4=x^2

x=4 x=\sqrt{4}

x=±2 x=\pm2

Respuesta

±2

Ejercicio #2

¿A cuánto equivale la expresión? (x+3)2 (x+3)^2 ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

x2+2×x×3+32= x^2+2\times x\times3+3^2=

x2+6x+9 x^2+6x+9

Respuesta

x2+6x+9 x^2+6x+9

Ejercicio #3

¿A cuánto equivale la expresión?

(xy)2 (x-y)^2

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la fórmula de multiplicación abreviada:

(xy)(xy)= (x-y)(x-y)=

x2xyyx+y2= x^2-xy-yx+y^2=

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Respuesta

x22xy+y2 x^2-2xy+y^2

Ejercicio #4

(7+x)(7+x)=? (7+x)(7+x)=\text{?}

Solución en video

Solución Paso a Paso

De acuerdo a la fórmula de multiplicación acortada:

Como 7 y X aparecen dos veces, elevamos ambos términos a la potencia:

(7+x)2 (7+x)^2

Respuesta

(7+x)2 (7+x)^2

Ejercicio #5

4x2+20x+25= 4x^2+20x+25=

Solución en video

Solución Paso a Paso

En esta consigna, se nos pide que reduzcamos la fórmula usando las fórmulas de multiplicación abreviadas.

Recordemos las fórmulas:

(xy)2=x22xy+y2 (x-y)^2=x^2-2xy+y^2

 (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(x+y)×(xy)=x2y2 (x+y)\times(x-y)=x^2-y^2

Dado que en el ejercicio dado solo hay operación de suma, la fórmula apropiada es la segunda:

Ahora intentemos pensar, ¿qué número multiplicado por sí mismo será igual a 4 y qué número multiplicado por sí mismo será igual a 25?

Las respuestas son respectivamente 2 y 5:

Escribiremos:

(2x+5)2= (2x+5)^2=

(2x+5)(2x+5)= (2x+5)(2x+5)=

2x×2x+2x×5+2x×5+5×5= 2x\times2x+2x\times5+2x\times5+5\times5=

4x2+20x+25 4x^2+20x+25

Eso significa que nuestra solución es correcta.

Respuesta

(2x+5)2 (2x+5)^2

Comprueba que lo has entendido
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