Fórmulas de multiplicación abreviada
Las fórmulas de multiplicación abreviadas están aquí para quedarse y las usaremos en casi todos los ejercicios que encontremos en el futuro.
¡Pero bueno! No te estreses. Tenemos la suerte de conocerlas porque son las que nos ayudarán a resolver los ejercicios de forma correcta y eficaz.
Separeremos las tres fórmulas de multiplicación abreviada en 4 categorías:
Multiplicación entre la suma de dos términos por la diferencia entre ellos
(X+Y)×(X−Y)=X2−Y2
Fórmula de diferencia de dos cuadrados
(X−Y)2=X2−2XY+Y2
Fórmula de suma de cuadrados
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
Fórmulas que se refieren a dos expresiones en la 3° potencia
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Empezamos con la primera categoría:
Multiplicar la suma de dos términos por la diferencia entre ellos
(X+Y)×(X−Y)=X2−Y2
Como se puede observar, se puede usar esta fórmula cuando hay un producto entre la suma de dos términos determinados y la diferencia de esos dos términos.
En lugar de presentarlos como un producto entre una suma y una diferencia, puede escribirlo X2−Y2.
De la misma manera, si se le presenta tal expresión X2−Y2 que representa la diferencia de dos números al cuadrado, puedes escribirlo así: (X+Y)×(X−Y)
Presta atención: dice en la fórmula X yY Pero funciona tanto en expresiones no algebraicas como en expresiones que combinan incógnitas y números.
Comprueba tu conocimiento
Veamos un ejemplo
Si nos dan:
(x+2)(x−2)
Podemos ver que es un producto entre la suma de los dos términos y la diferencia de los dos términos.
Por lo tanto podemos presentar la misma expresión según la fórmula de la siguiente manera:
x2−22
x2−4
De la misma manera, si nos dieran la expresión :
x2−4
podríamos expresar a 4 como un número al cuadrado, es decir 22 ,
para llegar a una muestra que coincida con la fórmula:
x2−22
y, por lo tanto, use la fórmula y muestre la expresión de esta manera:
x2−22=(X−2)(x+2)
Excelente.
Ahora pasaremos a la fórmula para la diferencia de cuadrados.
La fórmula para la diferencia de cuadrados
(X−Y)2=X2−2XY+Y2
Esta fórmula nos describe la diferencia al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo menos entre ellos, es decir, la diferencia y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión en el cuadrado, podemos utilizar esta fórmula.
Tenga en cuenta que, aunque la fórmula contiene elementos algebraicos, la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Veamos un ejemplo
(X−5)2=
Identificamos aquí dos términos con un signo menos entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de diferencia de cuadrados.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos:
(X−5)2=x2−10x+25
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Genial. Ahora vamos a pasar a la fórmula de la suma de cuadrados.
¿Sabes cuál es la respuesta?
La fórmula para la suma de cuadrados
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
Esta fórmula nos describe la suma al cuadrado de dos números, es decir, cuando nos encontramos con dos números con un signo más en el medio, es decir, una suma y estarán entre paréntesis y aparecerán como una expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.
Tenga en cuenta: aunque los elementos algebraicos aparecen en la fórmula, pero la fórmula también funciona con expresiones no algebraicas o expresiones combinadas entre números y álgebra.
Nota: esta fórmula es muy similar a la fórmula para la diferencia de cuadrados y difiere solo en el signo menos en el término medio.
Veamos un ejemplo
(X+4)2=
Identificamos aquí dos términos con un signo más entre ellos y están entre paréntesis y elevados al cuadrado como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la suma de los cuadrados.
Trabajamos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
Obtendremos:
(X+4)2=x2+8x+16
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Ahora, después de que te hayas familiarizado profundamente con las fórmulas de multiplicación abreviadas anteriores de 2° grado, pasaremos a las fórmulas relacionadas con dos expresiones a la 3ra potencia.
Las fórmulas que se refieren a dos expresiones a la potencia de 3
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Aquí también podemos reconocer que hay dos fórmulas diferentes para la diferencia y la suma de los términos.
Comencemos con la primera fórmula para la suma:
Veamos un ejemplo
Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X+2)3=
Podemos identificar dos términos con un signo más entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula y presta atención a los signos menos y más.
(X+2)3=x3+3×x2×2+3×x×22+23
(X+2)3=x3+6x2+12x+8
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente con la ayuda de la fórmula.
Ahora, pasemos a la segunda fórmula para la diferencia.
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Esta fórmula describe una manera de expresar la diferencia de dos términos, cuando están entre paréntesis y se elevan como una sola expresión a la potencia de tres.
La fórmula se puede usar con términos algebraicos o con números y también en combinación.
Veamos un ejemplo
Cuando se nos da la siguiente expresión:
(X−4)3=
Podemos identificar dos términos con un signo menos entre ellos que están entre paréntesis y elevados a la potencia de tres como una sola expresión.
Por lo tanto, podemos usar la fórmula correspondiente.
Trabajaremos de acuerdo con la fórmula. Presta atención a los signos menos y más.
(X−4)3=x3−3×x2×4+3×x×42−43
(X−4)3=x3−12x2+48x−64
Básicamente, expresamos la misma expresión de manera diferente mediante la fórmula.
Ejemplos y ejercicios con soluciones de fórmulas de multiplicación abreviadas
Ejercicio #1
(x+1)2+(x+2)2=
Solución
Para resolver el ejercicio, necesitaremos saber la fórmula de multiplicación abreviada:

En este ejercicio, usaremos la fórmula dos veces:
(x+1)2=x2+2x+1
(x+2)2=x2+4x+4
Ahora, sumamos:
x2+2x+1+x2+4x+4=2x2+6x+5
x²+2x+1+x²+4x+4=
2x²+6x+5
Tenga en cuenta que se puede extraer un factor común de parte de los dígitos: 2(x2+3x)+5
Respuesta
2(x2+3x)+5
Ejercicio #2
Resuelve el siguiente ejercicio:
x2−16=x+4
Solución
Tenga en cuenta que la ecuación se puede organizar de manera diferente:
x²-16 = x +4
x² - 4² = x +4
Haremos un trinomio para la sección izquierda
(x-4)(x+4) = x+4
Dividimos todo por x+4
(x-4)(x+4) / x+4 = x+4 / x+4
x-4 = 1
x = 5
Respuesta
Ejercicio #3
2(x+3)2+3(x+2)2=
Solución
Para resolver el ejercicio, recuerda las fórmulas de multiplicación abreviadas:
(x+y)2=x2+2xy+y2
Comencemos usando la propiedad en ambos casos:
(x+3)2=x2+6x+9
(x+2)2=x2+4x+4
Los colocaremos de nuevo en la fórmula:
2(x2+6x+9)+3(x2+4x+4)=
2x2+12x+18+3x2+12x+12=
5x2+24x+30
Respuesta
5x2+24x+30
Ejercicio #4
4x2+20x+25=
Solución
En esta consigna, se nos pide que reduzcamos la fórmula usando las fórmulas de multiplicación abreviadas.
Recordemos las fórmulas:
(x−y)2=x2−2xy+y2
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x+y)×(x−y)=x2−y2
Dado que en el ejercicio dado solo hay operación de suma, la fórmula apropiada es la segunda:
Ahora intentemos pensar, ¿qué número multiplicado por sí mismo será igual a 4 y qué número multiplicado por sí mismo será igual a 25?
Las respuestas son respectivamente 2 y 5:
Escribiremos:
(2x+5)2=
(2x+5)(2x+5)=
2x×2x+2x×5+2x×5+5×5=
4x2+20x+25
Eso significa que nuestra solución es correcta.
Respuesta
Ejercicio #5
(2[x+3])2=
Solución
Primero resolveremos el ejercicio abriendo los corchetes interiores:
(2[x+3])²
(2x+6)²
Ahora usaremos la fórmula de multiplicación abreviada:
(X+Y)²=X²+2XY+Y²
(2x+6)² = 2x² + 2x*6*2 + 6² = 2x+24x+36
Respuesta
4x2+24x+36
Comprueba que lo has entendido