Propiedades de raíces - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Entendiendo la Propiedades de raíces

Explicación completa con ejemplos

¿Qué es una raíz?

  • Una raíz es la operación inversa de una potencia.
  • Se denota con el signo y es igual a una potencia de 0.5 0.5 .
  • Si a la izquierda aparece un número pequeño, será el orden de la raíz.
Explicación completa

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Resuelva el siguiente ejercicio:

\( \sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[6]{3}= \)

ejemplos con soluciones para Propiedades de raíces

Soluciones paso a paso incluidas
Ejercicio #1

Resuelva el siguiente ejercicio:

161= \sqrt{16}\cdot\sqrt{1}=

Solución Paso a Paso

Comencemos recordando cómo definir una raíz como una potencia:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

A continuación, recordaremos que elevar 1 a cualquier potencia siempre dará como resultado 1, incluso la potencia de un medio de la raíz cuadrada.

En otras palabras:

161=1612=16112=161=16=4 \sqrt{16}\cdot\sqrt{1}= \\ \downarrow\\ \sqrt{16}\cdot\sqrt[2]{1}=\\ \sqrt{16}\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\\ \sqrt{16} \cdot1=\\ \sqrt{16} =\\ \boxed{4} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Respuesta:

4 4

Solución en video
Ejercicio #2

Resuelva el siguiente ejercicio:

12= \sqrt{1}\cdot\sqrt{2}=

Solución Paso a Paso

Comencemos recordando cómo definir una raíz cuadrada como una potencia:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

Luego, recordemos que elevar 1 a cualquier potencia siempre nos da 1, incluso la potencia de un medio que obtuvimos al convertir la raíz cuadrada.

En otras palabras:

12=122=1122=12=2 \sqrt{1} \cdot \sqrt{2}= \\ \downarrow\\ \sqrt[2]{1}\cdot \sqrt{2}=\\ 1^{\frac{1}{2}} \cdot\sqrt{2} =\\ 1\cdot\sqrt{2}=\\ \boxed{\sqrt{2}} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta:

2 \sqrt{2}

Solución en video
Ejercicio #3

Resuelva el siguiente ejercicio:

10025= \sqrt{100}\cdot\sqrt{25}=

Solución Paso a Paso

Podemos simplificar la expresión sin usar las leyes de los exponentes, porque la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

10025=105=50 \sqrt{100}\cdot\sqrt{25}=\\ 10\cdot5=\\ \boxed{50} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Respuesta:

50 50

Solución en video
Ejercicio #4

Resuelva el siguiente ejercicio:

103= \sqrt{10}\cdot\sqrt{3}=

Solución Paso a Paso

Para simplificar la expresión dada, usamos dos leyes de exponentes:

A. Definir la raíz como un exponente:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} B. La ley de exponentes para dividir potencias con la misma base (en la dirección opuesta):

xnyn=(xy)n x^n\cdot y^n =(x\cdot y)^n

Empecemos usando la ley de exponentes mostrada en A:

103=1012312= \sqrt{10}\cdot\sqrt{3}= \\ \downarrow\\ 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= Continuamos, ya que tenemos una multiplicación entre dos términos con exponentes iguales, podemos usar la ley de exponentes mostrada en B y combinarlos bajo la misma base que está elevada al mismo exponente:

1012312=(103)12=3012=30 10^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}= \\ (10\cdot3)^{\frac{1}{2}}=\\ 30^{\frac{1}{2}}=\\ \boxed{\sqrt{30}} En los últimos pasos, realizamos la multiplicación de las bases y usamos la definición de la raíz como exponente mostrada anteriormente en A (en la dirección opuesta) para volver a la notación de raíz.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Respuesta:

30 \sqrt{30}

Solución en video
Ejercicio #5

Resuelva el siguiente ejercicio:

254= \sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=

Solución Paso a Paso

Podemos simplificar la expresión directamente sin usar las leyes de los exponentes, ya que la expresión tiene raíces cuadradas conocidas, así que simplifiquemos la expresión y luego realicemos la multiplicación:

254=52=10 \sqrt{25}\cdot\sqrt{4}=\\ 5\cdot2=\\ \boxed{10} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

Respuesta:

10 10

Solución en video

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