Potencias

🏆Ejercicios de propiedades de potenciación

¿Qué es una potencia?

Las potencias son el número que se multiplica por sí mismo varias veces.
Cada potencia consta de dos partes principales: 

  • Base de la potencia: El número en el que se cumple el requisito de duplicación. El número principal está escrito en grande.
  • Exponente: el número que determina cuántas veces se requiere multiplicar la base de potencia por sí mismo.
    El exponente está escrito en tamaño pequeño y aparece en el lado derecho sobre la base de potencia.
Cómo identificaremos al exponente

Ir a prácticas

¡Pruébate en propiedades de potenciación!

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Quiz y otros ejercicios

¿Qué es necesario saber sobre las potencias?

Las potencias tienen normas y reglas con las que debemos estar familiarizados.
Haga clic en cada una de las normas para leer en detalle.

Descomponer números naturales en potencias de multiplicación

Podemos utilizar las potencias y sus reglas para descomponer números naturales multiplicando las potencias de los números primos.
Dibujaremos una línea al lado del número que queremos dividir e intentaremos dividirlo por el número más pequeño que podamos. Si el número es divisible sin ningún resto, escribiremos el factor primo delante de nuestro número y debajo de nuestro número el resultado que obtuvimos cuando lo dividimos por el factor primo.
Continuaremos descomponiendo el número de la misma manera hasta llegar al número 1 1 en la columna de la izquierda que no se puede descomponer.
La multiplicación de los factores es la multiplicación entre los factores que mencionamos a la izquierda y es igual al número natural que descomponemos.

Descomposición de un número natural por la multiplicación de números primos


Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incógnita aparece como potencia.
Estas ecuaciones se pueden resolver de dos maneras: 

Bases idénticas
Llegar al estado en qué las bases sean las mismas.
Si las bases son iguales, podemos comparar las ecuaciones.
En general:
Cuándo 
ax=aya^x=a^y
Entonces 
x=yx=y

Ecuación cuadrática y reemplazo de (t t )

Cuando queramos resolver ecuaciones exponenciales usando una ecuación cuadrática, necesitaremos llevar nuestro ejercicio a un estado donde hay un elemento, el mismo al cuadrado y un número libre (sin incógnitas), por ejemplo: (4x)2+4×4x12=0 (4^x)^2+4\times4^x-12=0 .
Una vez que hayamos alcanzado este estado, colocaremos t en lugar del elemento que tenemos (todo el elemento - incluyendo su potencia) en nuestro caso: t=4xt=4^x
Así, llegaremos a una ecuación cuadrática ordinaria que podremos resolver fácilmente, con nuestro ejemplo: t2+4t12=0t^2+4t-12=0
No olvidaremos colocar los valores de t t que encontramos en la ecuación correspondiente para encontrar los valores de la incógnita que buscamos X X .


Notación científica

Otro uso de las potencias es la capacidad de expresar números muy grandes o muy pequeños de una manera conveniente para leer y escribir.
En la notación científica, el número se mostrará como la multiplicación de un número que está entre 1 1 y 10 10 por 10 10 por alguna potencia.
En general, la expresión se verá así:

m×10e m\times10^e

m m será un número entre 0 0 y 1 1 .
Si e es un número entero positivo, la expresión completa será un número mayor que 1 1 .
Si e es un número entero negativo, la expresión completa será un número menor que 1 1 .


Piensen en una potencia como un requisito del número que lo opera.
La potenciación significa describir la cantidad de veces que se requiere que el número se multiplique por sí mismo.
Por ejemplo, si nos dan un 3 3 elevado a 5 5 , es decir: 353^5
Podemos decir que se requiere que el número 3 3 se multiplique por sí mismo 5 5 veces, como su número de potencia.
Por lo tanto:
35=3×3×3×3×33^5=3\times 3\times 3\times 3\times 3


Potenciación

Entonces, ¿qué son realmente las potencias?

Base de la potencia, (en color negro) será el número principal sobre el que se realiza la operación. En este ejemplo, la base de potencia es 3 3 .
El exponente, (en color naranja) será el número que nos muestra el número de veces que el número principal debe multiplicarse por sí mismo.
El exponente aparecerá pequeño a la derecha, arriba de la base de potencia. En este ejemplo, el exponente es 5 5 .

la base de potencia es 3 y el exponente 5.png

Las potencias tienen una serie de normas que son muy importantes conocer en profundidad para poder resolver los ejercicios de potencias de forma rápida y sin cometer errores.
No te preocupes, Tutorela te reúne todo lo que necesitas saber sobre las potencias.
Entonces, ¿comenzamos?

Conozcamos la primera norma sobre potencias:


Normas de la potenciación

Conozcamos la primera norma sobre potencias:

Multiplicación de potencias con misma base

Cuando nos dan un ejercicio con una operación de multiplicación entre bases idénticas que tienen cada una una potencia diferente, podemos sumar los exponentes y llegar a una estado en la que tenemos una sola base con una potencia.
Veamos esto en el ejemplo:
42×43= 4^2\times4^3=

En este ejercicio, podemos identificar que las bases son iguales (las dos bases son 4 4 ) y entre ellas hay una operación de multiplicación.
Por lo tanto, podemos sumar las potencias y obtener:

43+24^{3+2}
Es decir:
45=10244^5=1024

Expliquemos la lógica detrás de esta regla:
Por ejemplo: 

Multiplicación de potencias con bases iguales

Tenga en cuenta que obtuvimos el mismo resultado.
Cuando hay una operación de multiplicación entre bases idénticas y son potencias, podemos sumar las potencias. La cantidad de potencias que obtenemos se convertirá en el nuevo exponente de la misma base del ejercicio.
Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera:
x2×x2×x3=x^2\times x^2\times x^3=
Como la base es la misma, y ​​entre las mismas bases hay una operación de multiplicación, podemos sumar los exponentes y obtener:
x2+2+3=x^{2+2+3}=
x7x^7

Apliquemos la norma de la multiplicación de potencias con bases iguales en una fórmula:
am×an=a(m+n) a^m\times a^n=a^{(m+n)}


Un cociente de potencias con bases iguales

Cuando nos dan un cociente o un ejercicio con una operación de división, entre bases idénticas, podemos restar entre los exponentes en el orden en que aparecen y obtener una sola base con una sola potencia.
Mostremos esto en un ejemplo:
2523=\frac{2^5}{2^3} =
En este ejercicio, podemos identificar que las bases son iguales (las dos bases son 2 2 ) y que existe una operación de división entre ellas.
Por lo tanto, podemos restar entre los exponentes y obtener:
253=222^{5-3}=2^2


¡Presta atención!
La resta de potencias se hará en el orden en que aparecen en el ejercicio. Restaremos la potencia en el numerador, luego en el denominador y no al revés.

Expliquemos la lógica detrás de esta regla:

Si tomamos el ejercicio

2523=\frac{2^5}{2^3} =

E intentaremos simplificarlo y ver qué nos dice realmente que obtendremos:
2×2×2×2×22×2×2= \frac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2\times2}=

Podemos reducir y alcanzar

la lógica detrás de esta regla

Tenga en cuenta que obtuvimos el mismo resultado.
Cuando hay una operación de división (en forma de fracción o en otra forma) entre bases idénticas y son potencias, podemos restar los exponentes. La diferencia de potencias que obtenemos se convertirá en el nuevo exponente de la misma base del ejercicio.
Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera: 

x4x2=\frac{x^4}{x^2} =

Como las bases son iguales, y entre ellas hay una operación de división, podemos restar los exponentes y obtener:

x42=x2 x^{4-2}=x^2

Apliquemos la norma del cociente de potenciación con bases iguales en una fórmula:

aman=a(mn)\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)}

Pasaremos a la tercera regla de potencias:


Potencia de un producto

Cuando tenemos una potencia que aparece sobre todo el producto o todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación, podemos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los elementos.
Entre los elementos dejaremos la multiplicación operación.

(5×3)3=(5\times 3)^3=
Podemos ver que la potencia 33 está en todo el producto, en todo el ejercicio. Por lo tanto, podemos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los elementos. No lo olvides, deja la operación de multiplicación entre los elementos.
Obtendremos:

53×33=33755^3\times 3^3=3375
Podemos usar esta regla incluso si hay más de dos elementos en el ejercicio, siempre que todas las operaciones entre las bases sean de multiplicación.

Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera: 
(x×2x×4x)2=(x\times 2x\times 4x)^2=
x2×(2x)2×(4x)2=x^2\times (2x)^2\times (4x)^2=
Prestemos atención, que también podemos aplicar la regla de potencia del producto también sobre 2x2x
O sobre 4x4x . Como también entre el coeficiente para xx Hay una operación de multiplicación.
Por lo tanto, aplicaremos nuevamente la regla de potencia de un producto y obtendremos:
x2×22×x2×42×x2=x^2\times 2^2\times x^2\times 4^2\times x^2=
x2×4×x2×16×x2=x^2\times 4\times x^2\times 16\times x^2=
Ahora, podemos usar la primera regla que aprendimos: multiplicar potencias por bases iguales y conectar las potencias de bases iguales.
Obtendremos:
x6×64=64x6x^6\times 64=64x^6
Apliquemos la regla de potencia de un producto en una fórmula:

(a×b)n=an×bn(a\times b)^n=a^n\times b^n
Pasaremos a la cuarta regla de potencias:


Potencia de un cociente

Cuando tenemos una potencia que aparece sobre toda el cociente o todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de división, podemos tomar el exponente y ​​aplicarlo a cada uno de los elementos.
Entre los elementos dejaremos la división de operación - la línea de fracción.
Veamos esto en un ejemplo:
(23)4=(\frac {2}{3})^4=
Podemos ver que la potencia 44 es sobre todo el cociente, sobre el ejercicio total. Por lo tanto, podemos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los elementos. No olvidaremos dejar la operación de división - la línea de fracción, entre los elementos.
Obtendremos:

2434=1681\frac {2^4}{3^4}=\frac{16}{81}

Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera: 

(x2x)3=( \frac {x}{2x})^3=

x323×x3= \frac{x^3}{2^3\times x^3}=
Reducimos y obtenemos:  
181 \over 8

Aplicamos la regla de potencia de un cociente en una fórmula:

(ab)n=anbn(\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}

Pasemos a la quinta regla de potencias:


Potencia de una potencia

Cuando aparece frente a nosotros un ejercicio con una base de potencia con un exponente y encima aparece otra potencia (mediante paréntesis), podemos duplicar las potencias y convertir el producto que obtuvimos en una nueva potencia que será la base de potencia.
Puede sonar un poco complicado, pero no lo es en absoluto.
Veamos un ejemplo:
(43)2=(4^3 )^2=
Podemos ver que dentro de los paréntesis aparece una base con un exponente. Fuera del paréntesis hay otra potencia que se influencia a todo lo que está dentro de los paréntesis.
De acuerdo con la regla de potencia de una potencia, podemos multiplicar los exponentes y el resultado que obtenemos lo operamos como el exponente en función de la potencia existente.
Por lo tanto, obtendremos:
43×2=4^{3\times 2}=
46=40964^6=4096

Expliquemos la lógica detrás de esta regla:
Si simplificamos el ejercicio 
(43)2=(4^3 )^2=
Parece que entendemos qué es exactamente lo que nos está diciendo, obtendremos:

(4×4×4)2=(4\times 4\times 4)^2=
Según la norma de potencia de un producto que ya hemos aprendido, obtendremos:

42×42×42=4^2\times 4^2\times 4^2=
Ahora, podemos usar la primera regla que aprendimos, multiplicar potencias con bases iguales y sumar todas las potencias. Obtendremos:
46=40964^6=4096
Note que llegamos al mismo resultado.

Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera:
(x2)3=(x^2 )^3=
x2×3=x^{2\times 3}=
x6x^6
Apliquemos la regla de potencia de una potencia en la fórmula:

(an)m=a(n×m)(a^n )^m=a^{(n\times m)}

Pasamos a la sexta regla de potencias:


Potencias con exponente cero

Cuando tenemos algún número (base de potencia) en el que se opera una potencia 00, es decir, el exponente es 00, obtenemos 11 en cualquier situación, excepto en la situación en la que la base de potencia es el 00.
En realidad, siempre que la base de potencia no sea 00, cualquier número que tenga una potencia de 00 será igual a 11.

imagen 1potencia 0

imagen 2 potencia 0

imagen 3 potencia 0

imagen 4 potencia 0

Veamos esto en el ejemplo:

50=15^0=1

Podemos ver que el número 55, obtuvo la potencia 00 y por lo tanto, será igual a 11.
Esta regla también funciona en expresiones algebraicas.
Esto lo veremos de la siguiente manera:
Cuándo x0x≠0
x0=1x^0=1

aplicamos la regla de potencia con un exponente cero en la fórmula:

a0=1a^0=1
Cuando a0a≠0

Pasamos a la séptima regla de potencias:


Potencias con exponente entero negativo

Cuando tenemos un ejercicio en el cual el exponente sea un número entero y negativo, convertiremos la expresión en una fracción.
El numerador será 11.
El denominador será la base de potencia con el exponente positivo.
Veamos esto en el ejemplo:
53=5^{-3}=
En este ejercicio podemos ver que el exponente es un número entero negativo. Por lo tanto, convertiremos la la expresión a una fracción cuando el numerador sea 11 y el denominador tenga una base de potencia con el exponente positivo.
Obtenemos:
153=1125\frac {1}{5^3}=\frac{1}{125}

De la misma manera, aunque tengamos una base de potencia negativa, podemos usarla normalmente.
Por ejemplo:

(4)5=1(4)5=11024(-4)^{-5}=\frac {1}{(-4)^5}=\frac{1}{-1024}

Presta atención, convierte el símbolo solo para el exponente y no para la base de la potencia.

Esta regla también funciona en expresiones algebraicas de la siguiente manera:
x3=1x3x^{-3}=\frac {1}{x^3}

Aplicamos la regla de potencia con exponente entero negativo en la fórmula:

an=1ana^{-n}=\frac {1}{a^n}
Uso de toda regla de potencias
Hasta ahora, hemos estudiado cada ley por separado. Es importante que sepa cómo combinar las normas de potencias y usarlas en combinación en un solo ejercicio.
No se preocupe, si practica cada regla por separado y luego pasa a practicar la combinación de todas las normas potenciación, podrás resolver fácilmente un ejercicio que requiere usar todas las reglas de potencias.
Primero, reunamos todas las reglas de potencias que hemos aprendido, para que las tengamos ante nuestros ojos:
am×an=a(m+n)a^m\times a^n=a^{(m+n)}
aman=a(mn)\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)}
(a×b)n=an×bn(a\times b)^n=a^n\times b^n
(ab)n=anbn(\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}
(an)m=a(n×m)(a^n )^m=a^{(n\times m)}
a0=1a^0=1
Cuando a0a≠0
an=1ana^{-n}=\frac {1}{a^n}

Resolveremos el siguiente ejercicio que requiere el uso de todas las reglas de potenciación:

(xy)3×(x3)4×y2y4=(\frac{x}{y})^{-3}\times \frac{\left(x^{-3}\right)^4\times y^{-2}}{y^{-4}}=
Sabemos que este ejercicio puede generar mucho miedo, pero confíe en nosotros, incluye todo lo que ya ha aprendido.
La clave para resolverlo es simplemente descifrar lo que puede hacer con las reglas de potencias que ha aprendido. En el ejercicio notaremos que tiene los elementos con paréntesis. De acuerdo con el orden de las operaciones aritméticas, los paréntesis preceden a cada uno y, por lo tanto, los resolveremos primero.
Comenzaremos con el primer elemento que tiene paréntesis: (xy)3(\frac{x}{y})^{-3}
Según esta regla: (ab)n=anbn(\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}

Obtenemos que:
(xy)3=x3y3(\frac{x}{y})^{-3}=\frac{x^{-3}}{y^{-3}}
Pasamos al segundo elemento que contiene paréntesis:
(x3)4(x^{-3})^4

Según esta regla:   (an)m=a(n×m)(a^n )^m=a^{(n\times m)}

Obtenemos que: 
(x3)4=X3×4=X12(x^{-3})^4=X^{-3\times 4}=X^{-12}

¡Magnífico! ¡Nos deshicimos de los paréntesis! Ahora anotamos el ejercicio según lo obtenido hasta el momento:

x3y3×x12×y2y4=\frac{x^{-3}}{y^{-3}}\times \frac{x^{-12}\times y^{-2}}{y^{-4}}=

¡Preste atención que hay una operación de multiplicación entre nuestros dos elementos!
Por lo tanto, podemos unir los dos elementos en uno solo escribiéndolos exactamente de la misma manera en que están escritos, solo que debajo de una línea de fracción.
No nos olvidaremos de la operación de multiplicación. Entre ellas.
Obtendremos:
x3×x12×y2y3×y4=\frac{x^{-3}\times x^{-12}\times y^{-2}}{y^{^{-3}}\times y^{-4}}=
Ahora notaremos que estamos ocultando en el ejercicio las mismas idénticas entre las que se encuentra una operación de multiplicación. Por lo tanto, podemos sumar las potencias relevantes.
Por esta regla: 
am×an=a(m+n)a^m\times a^n=a^{(m+n)}
Obtenemos:
x15×y2y7=\frac{x^{-15}\times y^{-2}}{y^{-7}}=

Ya se ve mucho mejor, ¿no?
Continuemos.
Notaremos que en el ejercicio que recibimos, se oculta una fracción con las bases iguales. Podemos restar las potencias relevantes.
Según esta regla: aman=a(mn)\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)}

Obtenemos:
x15×y5=x^{-15}\times y^5=

¡Presta atención! Restamos los exponentes 2-2 y 7-7.
Cuando restamos menos con menos, se hace positivo.

Hemos llegado a la respuesta final, pero tenga en cuenta que a veces se le puede pedir que muestre la respuesta solo con potencias positivas.
Podemos convertir la potencia negativa 15-15 en una potencia positiva de acuerdo con esta regla:

an=1ana^{-n}=\frac {1}{a^n}

Obtenemos:
1x15×y5=\frac{1}{x^{15}}\times y^5=
Multiplicamos y obtenemos:
y5x15\frac{y^5}{x^{15}}


Descomponer números naturales en un producto de potencias

Podemos descomponer los números naturales y presentarlos como un producto de factores primos.
¿Empezamos con lo que es un número natural?
Un número natural es cualquier número positivo y entero. Hay números naturales mayores que 11 que se dividen sin resto solo por sí mismos y por 11. Estos son números primos.
Por ejemplo, tomaremos el número 22.
22 es divisible por 22 (por sí mismo) y también por 11. Ya no podemos encontrar un número en el que 22 sea divisible por ningún resto.
Lo mismo ocurre con el número 33 o 153153, por ejemplo. Por lo tanto, estos números serán llamados primos.

Ejemplo de número no primo: 66
66 se puede dividir por 66, también por 33 por 11 y por 22 es divisible por más de dos números y, por lo tanto, no es primo.

¿Qué significa descomponer un número natural en un producto de factores primos?

Veamos esto en un ejemplo:
Tomemos el número 88

88 es un número natural

Podemos decir que:
8=2×2×28=2\times 2\times 2

22 es un número primo. Se divide por sí mismo y también por 11 solamente.

Y según las leyes de las potencias:
8=238=2^3
Básicamente, descompusimos el 88 en un conjunto de números primos. En este caso 22.


¿Cómo se descompone un número natural en un producto de factores primos?

Escribiremos el número que queremos descomponer y se dibujará una línea junto a él.
Comenzaremos a descomponerlo desde el factor inicial más pequeño 22.
Se nos pregunta, ¿es el número que queremos descomponer divisible por 22? Si es así, escribiremos 22 delante de nuestro número y debajo del número el resultado que obtuvimos cuando lo dividimos por 22. Continuaremos preguntando, ¿cuál es ahora el número primo más pequeño en el que nuestro número es divisible sin ningún resto?
Si efectivamente el número es divisible por un factor sin resto, escribiremos el factor primario delante de nuestro número y debajo de nuestro número el resultado que obtuvimos cuando lo dividimos por el factor primario.
Continuaremos descomponiendo el número hasta llegar al número 11 en la columna de la izquierda que no se puede descomponer.
El producto de los factores es el que mencionamos a la izquierda y es igual al número natural que descomponemos.
Veamos esto en un ejemplo: 

Descomposición de un número natural por la multiplicación de números primos

Tomaremos el número 3636
y dibujaremos una línea junto a él:
Piensa en el número primo más pequeño: 22.
Pregunta: ¿3636 se divide entre 22?
Sí.
Por lo tanto escribiremos 22 en el lado derecho de la línea y en el lado izquierdo de la línea lo que nos quede de la división.

Después de la división nos quedará 1818. Escribiremos a la izquierda 1818.
Ahora, tomemos el factor inicial más pequeño nuevamente y preguntemos, ¿1818 es divisible por 22?
La respuesta es sí. Después de la división obtenemos 99.
Por lo tanto, volveremos a escribir 22 a la derecha y 99 a la izquierda:
Ahora, nuevamente elegiremos el número primo más pequeño 22 y nos preguntaremos: ¿Es 99 divisible por 22 sin resto?
La respuesta es no.
Así que tomaremos el siguiente número primo 33 y nos preguntaremos:
¿Es 99 dividido por 33 sin resto?
La respuesta es sí.
Por lo tanto, agregaremos 33 en la fila de la derecha y en la izquierda, lo que nos queda de 99 después de dividir por 33, es decir 33.
Ahora se nos pregunta, ¿cuál es el menor número primo por el que se divide 33?
La respuesta es 33.
Por lo tanto, agregaremos 33 en el lado derecho y 11 en el lado izquierdo.
Cuando obtenemos 11 en el lado izquierdo, terminamos el ejercicio.
Si realizamos una operación de multiplicación entre todos los elementos que aparecen a la derecha, obtenemos el número que desarmamos: 3636.

De hecho:
36=2×2×3×336=2\times 2\times 3\times 3
De acuerdo con las normas de potencias, podemos escribir:
36=22×3236=2^2\times 3^2

¿Cuándo la descomposición de números naturales nos ayudará a resolver ejercicios?
Veamos el siguiente ejercicio:

6781634×926\frac{6^{78}}{16^{34}\times 9^{26}}

Sabemos que según las reglas de las potencias podemos restar potencias si tenemos bases idénticas que están en una fracción.
Pero en este ejercicio, las bases no son iguales.
¿Cómo convertiremos las bases a iguales?
¡Con la ayuda de la descomposición en factores primarios!


Tomaremos el elemento 66 y lo descompondremos en factores:

Tomaremos el elemento 6 y lo descompondremos en factores


Tomaremos el 1616 y lo descompondremos en factores:

Tomaremos el 16 y lo descompondremos en factores


Tomaremos el 99 y lo descompondremos en factores:

Tomaremos el 9 y lo descompondremos en factores


Ahora, usemos los paréntesis y pongamos en el ejercicio de arriba lo que obtuvimos:

(2×3)78(24)34×(32)26\frac{(2\times 3)^{78}}{(2^{4)34}\times (3^{2)26}}

¡Excelente! ¡Ahora podemos usar las reglas de potencias y resolver el ejercicio fácilmente!
Obtendremos:

278×3782136×352=\frac{2^{78}\times 3^{78}}{2^{136}\times 3^{52}}=

Restamos potencias y obtenemos:
258×3262^{-58}\times 3^{26}

Ecuaciones exponenciales

¿Qué son las ecuaciones exponenciales?
Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incógnita aparece como potencia.
Tutorela está aquí para enseñarte a resolver ecuaciones exponenciales fácilmente y de diferentes maneras.
Cuando te encuentras con una ecuación exponencial, tendrás que ordenarla en un tipo determinado y así resolver la misma.
Comenzaremos con el primer tipo:


Bases idénticas

Cuando 
ax=aya^x=a^y
entonces 
x=yx=y

Cuando te encuentras con una ecuación en la que las bases son idénticas con diferentes exponentes, puedes comparar los exponentes y así resolver la ecuación.
¡Presta atención! ¡En la mayoría de las ecuaciones puedes hacer que las bases sean idénticas con la factorización correcta!

¿Cuál es la lógica en esto?
¡Esto es una ecuación! Sus dos lados son iguales. Por lo tanto, si las bases son idénticas, las potencias deben ser iguales entre sí porque llevan las bases de potencias al mismo resultado.

Veamos esto en el ejemplo:
2x1=82x2^{x-1}=8^{2x}

Podemos ver que las bases aquí no son las mismas.
Pero, ya hemos aprendido que es posible descomponer un número natural al producto de factores primarios.
De hecho, podemos representar 88 con la ayuda del 22 y así hacer que la ecuación tenga las mismas bases.
Cuando las bases son idénticas, podemos comparar las potencias.
Primero: dividiremos el 8 en factores:

Dividiremos el 8 en factores


8=238=2^3
Ahora, representamos lo que obtuvimos en la ecuación y obtendremos:

2x1=(23)2x2^{x-1}=(2^3)^{2x}

De acuerdo a las normas de potencias obtenemos:
2x1=26x2^{x-1}=2^{6x}

¡Excelente! ¡Hemos llegado a un estado en el que las dos bases son iguales!
Ahora podemos comparar las potencias y resolver la ecuación.
Obtendremos:
x1=6xx-1=6x

5x=15x=-1
x=15x=-\frac{1}{5}


Consejos para resolver de esta manera:

En primer lugar, intenta que las bases sean idénticas.

  • Recuerda que cuando te encuentres con tales bases 2,4,8,16,32,642,4,8,16,32,64 puedes representarlas en una misma base descomponiéndolas en factores de base 22.

3,9,27,813,9,27,81 puedes llevar a la base 33.
5,25,1255,25,125 puedes llevar a la base 55.

  • A veces te encontrarás con una fracción en un lado de la ecuación. Intenta ver si puedes usar esta regla:

an=1ana^{-n}=\frac {1}{a^n}
A veces, puedes subir el denominador al numerador, cambiar el signo de potencia y alcanzar las mismas bases.
Use una regla que combine potencias y raíces, y trate de convertir la raíz en potencia.
anm=anma^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}

  • Cuando el número 11 aparece en un lado de la ecuación, puedes convertirlo en cualquier base de potencia que quieras con un exponente de 00.
  • Cuando no logramos alcanzar un estado en el que las dos bases sean iguales en ambos lados de la ecuación, pasamos a otro método.

Resolver ecuaciones exponenciales usando una ecuación cuadrática y colocando (t)

Cuando queramos resolver ecuaciones exponenciales usando una ecuación cuadrática, necesitaremos llevar nuestro ejercicio a un estado donde hay un elemento, el mismo elevado al cuadrado y un número libre (sin incógnitas).
Una vez que alcanzamos este estado, usaremos un jugador de refuerzo tt "la potencia incógnita".
Así, llegaremos a una ecuación cuadrática ordinaria que podremos resolver fácilmente.
No olvidemos colocar los valores de tt que encontramos para encontrar los valores de la incógnita que buscamos XX.
Recuerda las siguientes reglas:
(an)m=a(n×m)(a^n )^m=a^{(n\times m)}
am×an=a(m+n)a^m\times a^n=a^{(m+n)}
y tomemos el siguiente ejemplo:
42x+4x+112=04^{2x}+4^{x+1}-12=0
Para llevar la ecuación a un estado donde hay un elemento, el mismo al cuadrado y un número libre, tendremos que usar reglas de potencias.
De acuerdo con las reglas de potencias podemos decir que:
42x=(4x)24^{2x}=(4^x)^2
Básicamente, "convertimos la regla" para "aislar" a 4x4^x y mostramos que está al cuadrado.

Tomaremos también a 4x+14^{x+1}
De acuerdo a las reglas de potencias podemos decir que:
4x+1=4×4x4^{x+1}=4\times 4^x
Ahora, reescribamos la misma ecuación con los datos que recibimos y obtenemos:
(4x)2+4×4x12=0(4^x)^2+4\times 4^x-12=0
¡Maravilloso! Hemos llegado a un estado donde hay una ecuación con un elemento. 4x4^x El mismo elemento al cuadrado y un número libre.
¿Qué hacemos ahora?
Ahora traeremos un jugador de refuerzo. Para no complicarse, colocaremos la t en lugar del elemento con la potencia incógnita.
Digamos que: t=4xt=4^x
Cada vez que usemos a 4x4^x   Lo reemplazaremos por tt
Ahora, nuestra ecuación será más simple y se verá así:

t2+4×t12=0t^2+4\times t-12=0
De hecho, alcanzamos una ecuación cuadrática simple
Resuélvala y obtenga que:
t2+4t12=0t^2+4t-12=0
t=6,t=2t=-6, t= 2
¡Presten atención! ¡Esta no es nuestra respuesta final!
Encontramos a tt  y no la incógnita que estamos buscando xx
Para encontrar el valor de x en la ecuación t=4xt=4^x   Una vez t=6t=-6 Y otra vez t=2t=2 Obtenemos:

Cuando t=6t=-6
4x=64^x=-6
La ecuación no tiene solución real, ya que las potencias de un número positivo no puede dar un número negativo
Cuando t=2t=2
4x=24^x=2
x=0.5x=0.5

Por lo tanto, el resultado es: x=0.5x=0.5


Notación científica

En ciertos temas científicos como biología y química, por ejemplo, hay números muy grandes o muy pequeños.
Podemos expresarlos de una manera legible y conveniente, a través de la notación científica.
En la notación científica, el número se presentará como producto de un número que está entre 11 y 1010 multiplicado por 1010 por alguna potencia.
En general, la expresión se verá así:

m×10em\times 10^e

mm Será un número entre 00 y 11.
Si ee Es un número entero positivo, la expresión será un número mayor que 11.
Si ee Es un número entero negativo, la expresión será un número menor que 11.


Ejercicios de potencias

Ejercicio 1:

Consigna

828385= 8^2\cdot8^3\cdot8^5=

Solución

Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.

828385=810 8^2\cdot8^3\cdot8^5=8^{10}

Respuesta

810 8^{10}


Ejercicio 2:

Consigna

Simplifica la expresión:

a3a2b4b5= a^3\cdot a^2\cdot b^4\cdot b^5=

Solución

En este caso tenemos 2 bases diferentes a y b. Sumaremos los componentes de cada base por separado.

a3a2b4b5=a5b9 a^3\cdot a^2\cdot b^4\cdot b^5=a^5\cdot b^9

Respuesta

a5b9 a^5\cdot b^9


Ejercicio 3:

Consigna

3x2x32x= 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=

Solución

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de 3 3

3x2x32x=2x33x 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}

Respuesta

33x2x 3^{3x}\cdot2^x


Ejercicio 4:

Consigna

22x+12523x= 2^{2x+1}\cdot2^5\cdot2^{3x}=

Solución

Como las bases son iguales, se pueden sumar los exponentes:

2x+1+5+3x=5x+6 2x+1+5+3x=5x+6

Respuesta

25x+6 2^{5x+6}


Ejercicio 5:

Consigna

Resuelva el ejercicio extrayendo el factor común

6x69x4=0 6x^6-9x^4=0

Solución

Primero sacamos la potencia más pequeña

6x69x4= 6x^6-9x^4=

6x4(x21.5)=0 6x^4\left(x^2-1.5\right)=0

Si es posible reducimos los números por un denominador común

Finalmente compararemos las dos secciones con: 0 0

6x4=0 6x^4=0

Dividimos por: 6x3 6x^3

x=0 x=0

x21.5=0 x^2-1.5=0

x2=1.5 x^2=1.5

x=±32 x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Respuesta

x=0,x=±32 x=0,x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}


Ejercicio 6:

Consigna

((8by)3)y+(3x)a= ((8by)^3)^y+(3^x)^a=

Solución

(8by)3y+3xa \left(8by\right)^{3\cdot y}+3^{x\cdot a}

Primero usamos la ley

(am)n=amn \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Después de eso abriremos los paréntesis de acuerdo a la ley.

(abc)x=axbxcx \left(abc\right)^x=a^x\cdot b^x\cdot c^x

83yb3yy3y+3xa 8^{3y}\cdot b^{3y}\cdot y^{3y}+3^{xa}

Respuesta

83yb3yy3y+3xa 8^{3y}\cdot b^{3y}\cdot y^{3y}+3^{xa}


Preguntas de repaso

¿Qué es una potencia y cuáles son sus componentes?

Una potencia es aquella que consta de dos componentes: una base y un exponente.

La base es aquel número que se va a multiplicar, mientras que el exponente es el número que indica cuantas veces se va a multiplicar la base.


¿Cuál es la diferencia entre un número primo y un número compuesto?

Un número primo únicamente tiene dos divisores, el uno y el mismo, Mientas que un número compuesto tiene más de dos divisores.

Ejemplos de números primos:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,292, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29…

Estos números solo se pueden dividir entre el 1 1 y entre ellos mismos.

Ejemplos de número compuestos:

Como ya se dijo son aquellos que tienen más de dos divisores, por lo tanto son aquellos números que no aparecen en el ejemplo anterior

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,264, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26…


¿Qué es la potencia y algunos ejemplos?

Una potencia es aquella que está compuesta por una base y un exponente como se muestra:

an a^n

En donde a a se le llama base y n n es el exponente. La base es el número que se multiplica y el exponente indica cuantas veces se multiplica.

Veamos algunos ejemplos:

35=3×3×3×3×3=243 3^5=3\times3\times3\times3\times3=243

57=5×5×5×5×5×5×5=78125 5^7=5\times5\times5\times5\times5\times5\times5=78125

93=9×9×9=729 9^3=9\times9\times9=729

x4=x×x×x×x x^4=x\times x\times x\times x

z2=z×z z^2=z\times z

Podemos observar que las potencias son válidas para expresiones algebraicas.


¿Cuáles son los tipos de potencia en matemática?

Existen 7 tipos de reglas de potencias, a las cuales se les llama leyes de los exponentes las cuales son las siguientes:

  • Multiplicación de potencias de la misma base

am×an=a(m+n) a^m\times a^n=a^{\left(m+n\right)}

Cuando tenemos la multiplicación de potencias de una misma base, el resultado será la misma base y se suman los exponentes.

  • Cociente de potencias de la misma base

aman=a(mn) \frac{a^m}{a^n}=a^{\left(m-n\right)}

Aquí se restan los exponentes, el resultado será la misma base y restamos el exponente del numerador menos el del denominador.

  • Multiplicación de diferente base con mismo exponente

an×bn=(a×b)n a^n\times b^n=\left(a\times b\right)^n

En esta ley podemos observar que el exponente lo podemos distribuir a cada elemento de la multiplicación.

  • Cociente de bases diferentes con mismo exponente.

anbn=(ab)n \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

Para esta ley sucede lo mismo que en la anterior, el exponente se distribuye para cada uno de los elementos de la fracción.

  • Potencia de una potencia

(xm)n=xm×n \left(x^m\right)^n=x^{m\times n}

Cuando tenemos una potencia elevado a otra potencia, se deben de multiplicar las potencias.

  • Potencia cero. Todo número distinto de cero, elevado a un exponente cero su resultado siempre será 1 1 .

a0=1 a^0=1

  • Potencia negativa.

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n}

Podemos observar que tenemos un exponente negativo, entonces lo podemos escribir como su reciproco pero con exponente positivo.


¿Cómo podemos usar alguna de estas leyes de los exponentes en ejemplos?

Para poder observar cómo aplicar ciertas leyes, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.

34×3×32= 3^4\times3\times3^2=

Aquí podemos observar que tenemos una multiplicación de potencias con misma base, por lo cual usaremos la primera ley, donde el resultado será la misma base y sumamos los exponentes:

4+1+2=7 4+1+2=7

Por lo tanto el resultado es:

37 3^7

Ejemplo 2.

(2×3)5(22×3)4= \frac{\left(2\times3\right)^5}{\left(2^2\times3\right)^4}=

Para resolver este ejercicio debemos de aplicar no solo una ley, sino una combinación de las leyes que ya estudiamos, en el numerador y denominador podemos usar la ley de exponentes numero tres, la cual es la multiplicación de potencias con diferente base pero mismo exponente, lo haremos por separado.

(2×3)5=25×35 \left(2\times3\right)^5=2^5\times3^5

(22×3)4=(22)4×34 \left(2^2\times3\right)^4=\left(2^2\right)^4\times3^4

En el denominador podemos ver que hay una potencia a otra potencia, por lo tanto la podemos simplificar multiplicando los exponentes, Quedando de la siguiente manera:

25×3528×34= \frac{2^5\times3^5}{2^8\times3^4}=

Ahora aplicamos la segunda ley, del cociente de misma base, solo restando los exponentes de las bases iguales:

25×3528×34=2(58)×3(54)=23×31 \frac{2^5\times3^5}{2^8\times3^4}=2^{\left(5-8\right)}\times3^{\left(5-4\right)}=2^{-3}\times3^{1}

Por ultimo ocupamos la ley siete, ya que tenemos un exponente negativo.

23×3=123×3=38 2^{-3}\times3=\frac{1}{2^3}\times3=\frac{3}{8}

Por lo tanto el resultado es

38 \frac{3}{8}


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