Potencias

🏆Ejercicios de potencias

Las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo varias veces.
El número que se multiplica por sí mismo se denomina base.
La cantidad de veces que se repite el número se denomina exponente.

Por ejemplo, en la expresión 434^3

4 es la base , 3 es el exponente .
El exponente indica la cantidad de veces por las que hay que multiplicar el número por sí mismo.
En nuestro ejemplo, 4 (la base) se multiplica por sí mismo 3 veces (el exponente): 4×4×4 4\times4\times4

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propiedades de potenciacion

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\( 11^2= \)

Quiz y otros ejercicios

¿Qué son las potencias?

De hecho, las potencias son una manera abreviada de escribir la multiplicación de un número por sí mismo. Dependiendo de la potencia, éste puede multiplicarse una o varias veces.

Por ejemplo:

  • 424^2 En palabras: cuatro a la segunda potencia, cuatro a la potencia 2 (o cuatro al cuadrado). se multiplicará dos veces.
    42=4×4=164^2=4 \times 4=16
  • 434^3 En palabras: cuatro a la tercera potencia, cuatro a la potencia 3 (o cuatro al cubo). se multiplicará tres veces.
    43=4×4×4=644^3=4 \times 4 \times 4=64

El número que se multiplica por sí mismo se denomina base.
La cantidad de veces que se repite el número se denomina exponente.

Por lo tanto, en la expresión 424^2

4 es la base, 2 es el exponente.
En este caso el número 4 es multiplicado por sí mismo 2 veces, por lo tanto esta expresión se denominará 4 al cuadrado o 4 a la segunda potencia.

Y en la expresión 434^3

4 es la base, 3 es el exponente.
En este caso el número 4 es multiplicado por sí mismo 3 veces, por lo tanto esta expresión se denominará 4 al cubo, 4 a la potencia 3 o 4 a la tercera potencia.


Potencias en el orden de las operaciones matemáticas

Aprendimos en el Orden de las operaciones que primero se evalúan los paréntesis y luego se continúa con el resto del ejercicio: multiplicación y división.

Las potencias están en segundo lugar y las resolveremos en seguida después de los paréntesis y antes de pasar a resolver las multiplicaciones y divisiones.

Entonces, el orden de las operaciones matemáticas, incluyendo las potencias , es así:

  1. Paréntesis
  2. Potencias
  3. Multiplicación y división
  4. Suma y resta

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Multiplicación de potencias con las mismas bases

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Si multiplicamos potencias con las mismas bases, la potencia del resultado equivaldrá a la suma de los exponentes.
Por ejemplo:

  • 45=42+3=42×434^5=4^{2+3}=4^2 \times 4^3
  • X4×X5=X4+5=X9X^4 \times X^5=X^{4+5}=X^9

Multiplicación elevada a una potencia

(a×b×c)n=an×bn×cn \left(a\times b\times c\right)^n=a^n\times b^n\times c^n

Por ejemplo:

  • (2×3×5)2=22×32×52(2 \times 3 \times 5)^2 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2
  • (x×2×x)2=x2×22×x2(x \times 2 \times x)^2 = x^2 \times 2^2 \times x^2

Qué pasa cuando las potencias son 0 o 1

¿Sabes cuál es la respuesta?

Potencia con exponente 0

  • a0 a^0
    Todo número elevado a la 0 0 es igual a 1 1
  • 0n 0^n
    0 elevado a cualquier potencia (distinto de cero) es igual a 0 0
  • 00 0^0  
    Cero a la potencia de cero no está definido

Potencia con exponente 1

  • 1n=1 1^n=1
    Uno elevado a cualquier potencia es uno.
  • x1=x x^1=x
    El número elevado a la potencia 1 1 no cambia.

Comprueba que lo has entendido

Resumen fácil y breve de potencia

Resumen fácil y breve de potencia1

Resumen fácil y breve de potencia12


Ejercicio con potencias para séptimo grado

  • 62=6^2=
  • 53=5^3=
  • 73=7^3=
  • (13)2=({1\over3})^2=
  • (13)3=({1\over3})^3=
  • (23)3=({2\over3})^3=
  • (32)2=({3\over2})^2=

¿Crees que podrás resolverlo?

Ejercicios de potencias para séptimo grado

Ejercicio 1

Consigna:

¿Cuál es el valor que colocaremos para resolver la siguiente ecuación?

7=49 7^{\square}=49

Solución:

Para responder a esta pregunta es posible contestar de dos maneras:

Una forma es el reemplazo:

Colocamos potencia de 2 2 y parece que hemos llegado al resultado correcto, es decir:

72=49 7²=49

Otra forma es mediante la raíz

49=7 \sqrt{49}=7

Es decir

72=49 7²=49

Respuesta:

2 2


Ejercicio 2

Consigna:

210×27×26= 2^{10}\times2^7\times2^6=

Solución:

También cuando existen un número de productos, todavía cuando se multiplican uno con el otro, la operación entre los coeficientes de la potencia será la suma.

10+7+6=23 10+7+6=23

Por lo tanto, la solución es:

223 2^{23}


Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 3

Consigna:

5105756= 5^{10}\cdot5^7\cdot5^6=

Según la propiedad de potencias cuando el denominador de las potencias es igual y la operación entre las potencias es una multiplicación se puede sumar el valor total de los exponentes:

10+7+6=23 10+7+6=23

5105756=523 5^{10}\cdot5^7\cdot5^6=5^{23}

Respuesta:

523 5^{23}


Ejercicio 4

Consigna:

Resolver el ejercicio según un factor conjunto:

6x69x4=0 6x^6-9x^4=0

Solución:

Primero quitamos la potencia más pequeña y simplificamos los números mediante el denominador común si es posible

6x4(x21.5)=0 6x^4\left(x^2-1.5\right)=0

Igualamos las dos secciones a 0 0

6x4=0 6x^4=0

Dividimos por 6x2 6x^2

x=0 x=0

x21.5=0 x^2-1.5=0

x2=1.5 x^2=1.5

x=±32 x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Respuesta:

x=0,x=±32 x=0,x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}


¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 5 (Incógnitas en el valor de la potencia)

Tarea:

Resolver la siguiente ecuación:

(Am)n (A^m)^n

(4X)2 (4^X)^2

Solución:

(4X)2=4X×2 (4^X)^2=4^{X\times2}

Respuesta:

4x2 4^{x\cdot2}


Ejercicio 6

Consigna:

(9ax)4+(4a)x \left(9ax\right)^4+\left(4^a\right)^x

(9×a×x)4+(4a)x= (9\times a\times x)^4+(4^a)^x=

Solución:

Multiplicamos cada uno de los elementos entre paréntesis por su potencia

94×a4×x4+4a×x= 9^4\times a^4\times x^4+4^{a\times x}=

94a4x4+4{ax} 9^4a^4x^4+4^{\left\{ax\right\}}

Respuesta:

94a4x4+4{ax} 9^4a^4x^4+4^{\left\{ax\right\}}


Comprueba que lo has entendido

Preguntas de repaso

¿Qué es una potencia y ejemplos?

Una potencia es una manera más sencilla de hacer una multiplicación de un mismo número. Una potencia tiene dos elementos base y exponente, donde el exponente nos indica el número de veces que se va a multiplicar la base.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

34= 3^4=

Aquí la base es el número 3 3 y el 4 4 es el exponente, lo que significa que el número 3 3 se debe de multiplicar 4 4 veces. Entonces tenemos lo siguiente:

34=3×3×3×3=81 3^4=3\times3\times3\times3=81

Resultado

34=81 3^4=81

Ejemplo 2

53= 5^3=

El cinco se debe de multiplicar tres veces, entonces

53=5×5×5=125 5^3=5\times5\times5=125

Resultado

53=125 5^3=125


¿Crees que podrás resolverlo?

¿Para qué sirve una potencia?

Una potencia nos puede ayudar a simplificar una multiplicación de un mismo número, es decir es una manera breve de indicar el número de veces que se debe de multiplicar dicho número.


¿Cuáles son las propiedades de las potencias?

Veamos algunas propiedades para las potencias:

  1. Potencia cero. Todo número elevado a la potencia cero es 1 1 .

A0=1 A^0=1

2. Potencia uno. Todo número elevado a la potencia uno será el mismo número

A1=A A^1=A

3. Multiplicación de potencias con misma base.

Am×An=Am+n A^m\times A^n=A^{m+n}

4. División de potencias con la misma base.

AmAn=Amn \frac{A^m}{A^n}=A^{m-n}

5. Multiplicación de potencias con el mismo exponente.

(A×B)n=An×Bn \left(A\times B\right)^n=A^n\times B^n

6. División de potencias con el mismo exponente.

(AB)n=AnBn \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}

7. Potencia de una potencia.

(Am)n=Am×n \left(A^m\right)^n=A^{m\times n}

8. Potencia negativa.

Am=1Am A^{-m}=\frac{1}{A^m}


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¿Cómo resolver leyes de potencia?

Para poder resolver leyes de potencias necesitaremos tener en cuenta las propiedades mencionadas en la pregunta anterior, hagamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

75×73= 7^5\times7^3=

Para resolver este problema utilizaremos la propiedad 3, multiplicación de potencias con la misma base, entonces;

75×73=75+3=78 7^5\times7^3=7^{5+3}=7^8

Si queremos resolver esta potencia tenemos:

78=7×7×7×7×7×7×7×7=5,764,801 7^8=7\times7\times7\times7\times7\times7\times7\times7=5,764,801

Resultado

75×73=78 7^5\times7^3=7^8


Ejemplo 2

8684= \frac{8^6}{8^4}=

Para resolverla ocuparemos la propiedad 4 divisiones de potencias con misma base

8684=864=82 \frac{8^6}{8^4}=8^{6-4}=8^2

Si se desea desarrollar la potencia tenemos

82=8×8=64 8^2=8\times8=64

Resultado

8684=82 \frac{8^6}{8^4}=8^2


Ejemplo 3

Resuelve (25)3×23= \left(2^5\right)^3\times2^{-3}=

En la primer parte podemos utilizar la propiedad 7, potencia de una potencia. Y en la otra parte ocupamos la propiedad 8 de potencias negativas

(25)3=25×3=215 \left(2^5\right)^3=2^{5\times3}=2^{15}

23=123 2^{-3}=\frac{1}{2^3}

Quedando:

(25)3×23=215×123 \left(2^5\right)^3\times2^{-3}=2^{15}\times\frac{1}{2^3}

Ahora realizamos la multiplicación de fracciones

215×123=21523 2^{15}\times\frac{1}{2^3}=\frac{2^{15}}{2^3}

Por ultimo utilizamos la propiedad 4, división de potencias de la misma base:

21523=2153=212 \frac{2^{15}}{2^3}=2^{15-3}=2^{12}

Resultado

(25)3×23=212 \left(2^5\right)^3\times2^{-3}=2^{12}


¿Sabes cuál es la respuesta?

ejemplos con soluciones para Potencias

Ejercicio #1

para cual n existe igualdad:

6n=666 6^n=6\cdot6\cdot6 ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula: a×a=a2 a\times a=a^2

En la fórmula vemos que la potencia muestra el número de términos que se multiplican, es decir dos veces

Dado que en el ejercicio multiplicamos 3 veces 6, lo que significa que tenemos 3 términos.

Por lo tanto, la potencia que es n en este caso será 3.

Respuesta

n=3 n=3

Ejercicio #2

¿Cuál es la respuesta del siguiente ejercicio?

3233 3^2-3^3 ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recuerda primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que estas preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo),

Así que primero calcula los valores de los términos en la potencia y luego resta entre los resultados:

3233=927=18 3^2-3^3 =9-27=-18 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

18 -18

Ejercicio #3

¿Cuál es la respuesta del siguiente ejercicio?

32+33 3^2+3^3

Solución en video

Solución Paso a Paso

Recuerda primero el orden de las operaciones aritméticas en las que las potencias preceden a la multiplicación y a la división, que estas preceden a la suma y a la resta (y los paréntesis siempre preceden a todo).

Así que primero calcula los valores de los términos en la potencia y luego resta entre los resultados:

32+33=9+27=36 3^2+3^3 =9+27=36 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

Respuesta

36

Ejercicio #4

En la figura frente a ustedes hay 3 cuadrados

Anota el área de la forma en notación potencial

333666444

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usando la fórmula para el área de un cuadrado cuyo lado b:

S=b2 S=b^2 En el problema del dibujo, tres cuadrados cuyos lados tienen una longitud: 6, 3 y 4, unidades de longitud de izquierda a derecha en el dibujo respectivamente,

Por lo tanto las áreas son:

S1=32,S2=62,S3=42 S_1=3^2,\hspace{4pt}S_2=6^2,\hspace{4pt}S_3=4^2 unidades² respectivamente,

Por lo tanto, el área de la forma total, compuesta por los tres cuadrados, queda así:

Stotal=S1+S2+S3=32+62+42 S_{\text{total}}=S_1+S_2+S_3=3^2+6^2+4^2 unidades²

Por lo tanto, reconocemos mediante la propiedad sustitutiva en la suma que la respuesta correcta es la respuesta C.

Respuesta

62+42+32 6^2+4^2+3^2

Ejercicio #5

62= 6^2=

Solución en video

Respuesta

36

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