Potencias con exponente entero negativo - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

$(\frac{1}{4})^{-1}$

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Anotaremos la fracción entre paréntesis como una potencia negativa con la ayuda de la potencia anteriormente mencionada:

$\frac{1}{4}=\frac{1}{4^1}=4^{-1}$Retornamos al problema, donde obtuvimos:

$\big(\frac{1}{4}\big)^{-1}=(4^{-1})^{-1}$Continuamos y usamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Y lo aplicamos en el problema:

$(4^{-1})^{-1}=4^{-1\cdot-1}=4^1=4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

$4$

$5^{-2}$

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

$\frac{1}{25}$

$4^{-1}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$4^{-1}=\frac{1}{4^1}=\frac{1}{4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$\frac{1}{4}$

$7^{-24}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$7^{-24}=\frac{1}{7^{24}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$\frac{1}{7^{24}}$

$19^{-2}=\text{?}$

Para resolver el ejercicio, usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Usamos la propiedad para resolver el ejercicio:

$19^{-2}=\frac{1}{19^2}$

Podemos continuar y resolver la potencia

$\frac{1}{19^2}=\frac{1}{361}$

$\frac{1}{361}$

$\frac{1}{8^3}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$\frac{1}{8^3}=8^{-3}$Cuando usamos esta propiedad mencionada anteriormente en el sentido contrario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$8^{-3}$

$\frac{1}{2^9}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{2^9}=2^{-9}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$2^{-9}$

$\frac{1}{12^3}=\text{?}$

Primero, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{12^3}=12^{-3}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$12^{-3}$

$[(\frac{1}{7})^{-1}]^4=$

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Anotaremos la fracción entre paréntesis como una potencia negativa con la ayuda de la potencia anteriormente mencionada:

$\frac{1}{7}=7^{-1}$Retornemos al problema, donde obtuvimos:

$\bigg( \big( \frac{1}{7}\big)^{-1}\bigg)^4=\big((7^{-1})^{-1} \big)^4$Continuamos y usamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Y lo aplicamos en el problema:

$\big((7^{-1})^{-1} \big)^4 =(7^{-1\cdot-1})^4=(7^1)^4=7^{1\cdot4}=7^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c

$7^4$

$2^{-5}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$\frac{1}{32}$

$(-7)^{-3}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}$Cuando notamos que cada número entero entre paréntesis se eleva a una potencia negativa (es decir, el número y su coeficiente negativo juntos), al usar la propiedad de potenciación mencionada anteriormente fuimos cuidadosos y tomamos este hecho en cuenta,

Continuamos simplificando la expresión en el denominador de la fracción, recordando la propiedad de potenciación para la potencia de términos en la multiplicación:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la expresión que obtuvimos:

$\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{(-1\cdot7)^3}=\frac{1}{(-1)^3\cdot7^3}=\frac{1}{-1\cdot7^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

Resumiendo la solución al problema, obtuvimos que:

$(-7)^{-3}=\frac{1}{(-7)^3}=\frac{1}{-7^3}=-\frac{1}{7^3}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$-\frac{1}{7^{3}}$

$a^{-4}=\text{?}$

$(a\ne0)$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$$$a^{-4}=\frac{1}{a^4}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$\frac{1}{a^4}$

$\frac{1}{(-2)^7}=?$

Primero nos ocupamos de la expresión en el denominador de la fracción y recordamos de acuerdo a la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Obtenemos que:

$(-2)^7=(-1\cdot2)^7=(-1)^7\cdot2^7=-1\cdot2^7=-2^7$Regresamos al problema y aplicamos lo dicho anteriormente:

$\frac{1}{(-2)^7}=\frac{1}{-2^7}=\frac{1}{-1}\cdot\frac{1}{2^7}=-\frac{1}{2^7}$$$Cuando en el último paso recordamos que:

$\frac{1}{-1}=-1$A continuación recordamos la propiedad de potenciación para una potencia negativa

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Lo aplicamos a la expresión que obtuvimos en el último paso:

$-\frac{1}{2^7}=-2^{-7}$Resumamos los pasos de la solución:

$\frac{1}{(-2)^7}=-\frac{1}{2^7} = -2^{-7}$

$$$$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$(-2)^{-7}$

$\frac{27}{3^8}=\text{?}$

Primero tengamos en cuenta que 27 es una potencia del número 3:

$27=3^3$Usando este hecho se da una situación en la que en el numerador de la fracción y su denominador obtendremos términos con bases idénticas, lo aplicamos en el problema:

$\frac{27}{3^8}=\frac{3^3}{3^8}$Ahora recordemos la propiedad de potenciación para la división entre términos sin bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Aplicamos la propiedad en la última expresión que obtuvimos:

$\frac{3^3}{3^8}=3^{3-8}=3^{-5}$Cuando en la primera etapa aplicamos la propiedad antes mencionada y en la segunda etapa simplificamos la expresión que recibimos en el exponente,

Resumimos los pasos de resolución, obtuvimos:

$\frac{27}{3^8}=\frac{3^3}{3^8}=3^{-5}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$3^{-5}$

$x^{-a}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente negativo:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$Lo aplicamos en el problema:

$$$x^{-a}=\frac{1}{x^a}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$\frac{1}{x^a}$