Potenciación - Casos especiales

Cuando se eleva un número negativo a cierta potencia, el resultado puede ser tanto positivo como negativo.
Lo sabremos sólo por el exponente, según sea par o impar.

Al elevar cualquier número negativo a una potencia par, el resultado será positivo.
Por ejemplo:
$(-4)^2=$
Si queremos simplificar el ejercicio obtendremos:
$(-4)*(-4)=$
Menos por menos = Más
Por lo tanto, el resultado será $16$. De hecho, si el número es negativo y el exponente es par, podemos ignorar el signo de restar.
Formulémoslo en forma de regla:
Cuando $n$ es par:
$(-x)^n=x^n$

Al elevar cualquier número negativo a una potencia impar, el resultado será negativo.
Por ejemplo:
$(-4)^3=$
Si queremos simplificar el ejercicio obtendremos:
$(-4)*(-4)*(-4)=64$

Menos por menos = Más
Más por menos = Menos
Por lo tanto, el resultado será $64-$.
De hecho, si el número es negativo y el exponente es impar, no podemos ignorar el signo menos, el resultado siempre será negativo.
Formulémoslo en forma de regla:
Cuando $n$ es impar:
$(-x)^n=-(x)^n$

Observa: ¡Hay una inmensa diferencia si el exponente se encuentra entre paréntesis o no!
Cuando el exponente está por fuera de los paréntesis - aplica a todo lo que está dentro de ellos.
Tal como se ve en el siguiente ejercicio:
$(-5)^2=$
$(-5)*(-5)=25$

Cuando el exponente está dentro de los paréntesis - aplica sólo a su base y no al signo de restar que lo precede.
$(-5^2 )=$
o
$-(5^2 )=$
o
$-5^2=$
El exponente aplica sólo y únicamente al número de base y no al signo de restar que lo precede.
Por lo tanto, calcularemos la potencia y añadiremos el menos como un anejo.
Obtendremos:
$-5^2=-25$

Haz clic aquí si quieres aprender más sobre la potenciación de números negativos.

Todo número elevado a $0$ equivale a $1$. (A excepción de $0$)
Independientemente del número que elevemos a $0$, siempre el resultado será $1$.
Veamos algunos ejemplos:
$5^0=1$
$5.897^0=1$
$10000^0=1$
$(\frac{2}{3})^0=1$

Haz clic aquí para entender la lógica de esta regla y para aprender más sobre la potenciación con exponente 0.

En los ejercicios que tienen cierto exponente negativo, convertiremos el término en fracción mientras que:
en el numerador haya $1$ y en el denominador, la base de la potencia elevada a un exponente positivo.

Por ejemplo:
$3^{-2}=$
Convertiremos el número en fracción colocando en el numerador $1$ y en el denominador $3$ con exponente $2$.
Obtendremos:
$\frac{1}{3^2}$

Otro ejemplo:
$6^{-3}=$
Convertiremos el número en fracción colocando en el numerador $1$ y en el denominador $6$ con el exponente positivo $3$.
Obtendremos:
$\frac{1}{6^3}$

Intentemos con un ejemplo más complejo:
$\frac{2^{-3}}{4^{-2}}=$

Sabemos que este ejercicio puede parecer un poco desafiante, pero si operamos acorde a las reglas que hemos aprendido podremos resolverlo fácilmente.
Recuerda que las reglas no se alteran: cuando hay una base con exponente negativo se convierte en fracción acorde a las reglas aprendidas. Convertiremos cada término en fracción y obtendremos:
$\frac{1}{2^3}\over\frac{1}{4^2}$
Ahora, simplemente aplicaremos la regla de la división de fracciones:
$\frac{1}{2^3}:\frac{1}{4^2}=$

Convertiremos en una operación de multiplicación e invertiremos la fracción dividida. Obtendremos:
$\frac{1}{2^3}\cdot\frac{4^2}{1}=$
Al resolver llegaremos a:
$\frac{4^2}{2^3}=$
Podemos expresar $4$ como $2^2$ y obtendremos:
$\frac{(2^2)^2}{2^3}=$
Haremos uso de la propiedad potencia de una potencia y obtendremos:
$2^4\over2^3$
Al tener bases iguales podremos restar las potencias acorde a las propiedades del cociente de potencias de igual base.
Obtendremos:
$2^1=2$
Observa - También hubiéramos podido resolver el ejercicio sin esta ley o propiedad y aun así habríamos obtenido:
$\frac{2^4}{2^3}=\frac{16}{8}=2$

Para reflexionar:
Si primeramente hubiéramos pensado en convertir $4^2$ en $2^4$ habríamos obtenido un ejercicio mucho más fácil de solucionar.
De haber sido así, habríamos creado desde un principio una fracción con bases iguales y habríamos podido restar las potencias.

Se invierten los lugares del numerador con el denominador y se transforma el exponente a positivo.
Por ejemplo:
$(\frac{6}{8})^{-2}=$
Invertiremos el numerador con el denominador, transformaremos el exponente a positivo y nos dará:
$(\frac{8}{6})^{2}=$

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