Potencias de exponente entero negativo

Cuando veamos cualquier número (positivo o negativo) elevado a una potencia negativa podremos convertir la expresión en fracción y lo haremos del siguiente modo:
el numerador será 1, el denominador será la base de la potenciación tal como se ve en el ejercicio original, pero ahora, con un exponente positivo.
Es decir, en el denominador invertiremos el exponente a positivo.
Pon atención, no modificaremos el signo de la base de la potenciación aún si éste fuera negativo.
Fórmula de la propiedad:
\(a^{-n}=\frac {1}{a^n} \)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Ejemplo 1.
\(4^{-3}=\)
Podemos ver que el exponente es un número negativo.
Por consiguiente, convertiremos la expresión a fracción de esta manera:
el numerador será 1 y en el denominador colocaremos la base de la potenciación con exponente positivo.
Es decir:

\(\frac{1}{4^3}\)


Si tenemos una fracción con un 1 en el numerador y una base con alguna expresión en el denominador, deberemos añadir un signo de restar al exponente en el denominador para convertirla en base con exponente negativo. Sólo de esta manera obtendremos la potencia correcta.


Veamos un ejemplo:

Ejemplo 2.

\( \frac{1}{4^{2-X}}= \)

Para poder escribir la expresión como una potencia con exponente negativo deberemos agregar un signo de restar fuera del exponente en el denominador del siguiente modo:

\( 4^{-(2-X)}= \)

Luego sacaremos los paréntesis y obtendremos:

\( 4^{-2+X}= \)

Otra manera de hacerlo es modificar el signo de cada término.

Ejemplo 3.

\( 3\cdot5X^{-7}= \)

Observemos que en la expresión tenemos una potencia de exponente negativo, para ver claramente qué es lo que tenemos que hacer comenzaremos por separar la X de su coeficiente 5.

Tenemos:

\( 3\cdot5\cdot X^{-7}= \)

Ahora nos queda más claro que para proceder deberemos convertir la X en fracción de la manera que aprendimos. Lo haremos y obtendremos:

\( 3\cdot5\cdot\frac{1}{X^7}= \)

Genial. Multiplicaremos los términos y nos dará:

\( \frac{15}{X^7} \)


Ejemplo 4.

\( \frac{2^{-4}}{4^{-5}} \)

Seguro que ahora estás diciendo ¡Oy! ¿Cómo solucionaré este ejercicio?

Justamente para eso estamos aquí. Lo haremos despacio y de forma segura.

Recuerda que las propiedades no cambian: cuando hay una base con exponente negativo se convierte en fracción según lo que hemos estudiado. Convertiremos cada término en fracción y obtendremos:

\( \frac{\frac{1}{2^4}}{\frac{1}{4^5}}= \)

Luego, simplemente usa la propiedad de la división de fracciones:

\( \frac{1}{2^4}:\frac{1}{4^5} \)

Lo convertiremos en una operación de multiplicación e invertiremos la fracción por la cual dividimos. Obtendremos:

\( \frac{1}{2^4}\cdot\frac{4^5}{1}= \)

Resolveremos y obtendremos:

\( \frac{4^5}{2^4}= \)

Podemos expresar el 4 como \( 2^2 \), después aplicamos la ley de cociente de potencias de la misma base y tendremos:

\( \frac{2^{10}}{2^4}= \)

Ya que tenemos igualdad de bases podemos restar los exponentes y nos dará:

\( 2^6=64 \)

¡Atención!

Habríamos podido resolver el ejercicio de un modo mucho más simple si hubiéramos pensado antes en convertir el 4 a \( 2^2 \).

De haber sido así, habríamos creado desde un principio una fracción con bases iguales y habríamos restado los exponentes.

¿Lo intentamos?

Recordemos el ejercicio original:

\( \frac{2^{-4}}{4^{-5}}= \)

Ahora pongamos el 4 como \( 2^2 \) Tendremos:

\( \frac{2^{-4}}{(2^2)^{-5}}= \)

Ahora apliquemos al denominador la propiedad de potencia de una potencia y lleguemos a:

\( \frac{2^{-4}}{(2)^{-10}}= \)

Bien. Ahora podemos restar los exponentes ya que tenemos igualdad de bases.

Recordemos que cuando se restan números negativos el resultado es positivo.

Recibiremos:

\( 2^6=64 \)

Y, como lo ves, hemos obtenido el mismo resultado por un camino más corto.


¿Qué pasa cuando hay una fracción que se eleva totalmente a un exponente negativo?

Es muy simple, invertiremos el numerador con el denominador y transformaremos el exponente a positivo.

Veamos un ejemplo:

\( (\frac{2}{4})^{-3}= \)

Vemos que tenemos un exponente negativo que se aplica a toda la fracción.

Por lo tanto, invertiremos el numerador con el denominador, transformaremos el exponente a positivo y obtendremos:

\( (\frac{4}{2})^3= \)

Recomendación: Antes de apresurarse a aplicar el exponente a cada término conviene mirar qué expresión hay entre los paréntesis. Claramente tenemos un 2.

Por lo tanto, nos dará:

\( 2^3=8 \)


Ejercicios de potencias de exponente entero negativo:

Ejercicio 1:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (\frac{1}{4})^{-1} \)

Solución:

Cuando tenemos una potencia negativa, convertimos el numerador y el denominador, así \( \frac{1}{4} \) convirtiéndose \( \frac{4}{1} \), es decir, la respuesta es \( 4 \)

Respuesta:

\( 4 \)


Ejercicio 2:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 5^{-2} \)

Solución:

De acuerdo a la propiedad, cuando tenemos un número entero con una potencia que es negativa, el número se convertirá en una fracción del número original, cuando la potencia afectará al denominador (el que era el número original).

Es decir \( 5^{-2}=\frac{1}{5^2} \)

Ahora lo que falta es resolver la potencia en el denominador.

Respuesta:

\( \frac{1}{25} \)


Ejercicio 3:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( [(\frac{1}{7})^{-1}]^4= \)

Solución:

En este ejercicio hay dos partes, y comenzamos resolviendo según el orden de las operaciones aritméticas, desde el paréntesis desde los paréntesis internos hacia afuera.

De acuerdo a la ley, cuando se encuentra en una potencia negativa, se resuelve a partir del menos reemplazando el numerador y el denominador.

\( \frac{1}{7^{-1}}=7^1 \)

Ahora, utilizamos la ley de potencia de una potencia para duplicar la potencia que se protesta entre paréntesis con el que está adentro.

\( 1\times4=4 \)

Así llegamos a la solución

Respuesta:

\( 7^4 \)


Ejercicio 4:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \frac{1}{\frac{X^7}{X^6}}= \)

Solución:

Primero observamos la fracción en el denominador del ejercicio

También aquí se emplean dos leyes, en primer lugar la ley del coeficiente de potencias, según la cual se hace

\( \frac{x^7}{x^6}=x^{(7-6)}=x^1=x \)

Ahora, nos resta solamente la fracción

\( \frac{1}{x} \)

Sabemos que esta forma también se puede convertir a través de la propiedad del valor de la potencia negativa, por lo que también podemos escribir:

Respuesta:

\( \frac{1}{x}=x^{^{-1}} \)


Ejercicio 5

Simplifica la expresión \( \left(\frac{x^2}{\left(2y\right)^{-3}}\right)^{-2} \)

Solución

Primero resolvemos la expresión dentro del paréntesis exterior. El denominador tiene exponente negativo por lo que podemos colocarlo en el numerador cambiando el signo del exponente.

\( \left(\frac{x^2}{\left(2y\right)^{-3}}\right)^{-2}=\left(x^2\left(2y\right)^3\right)^{-2} \)

Elevamos \( 2y \) a la potencia indicada y ordenamos la expresión

\( \left(x^2\left(2y\right)^3\right)^{-2}=\left(x^2\cdot8y^3\right)^{-2}=\left(8x^2y^3\right)^{-2} \)

Finalmente aplicamos la ley del exponente entero negativo

\( \left(8x^2y^3\right)^{-2}=\frac{1}{\left(8x^2y^3\right)^{2}}=\frac{1}{64x^4y^6} \)

Respuesta:

\( \left(\frac{x^2}{\left(2y\right)^{-3}}\right)^{-2}= \frac{1}{64x^4y^6}\)


Preguntas de repaso

¿Qué sucede cuando existe una potencia de exponente entero negativo?

Cuando tenemos una potencia con exponente negativo, podemos convertir el exponente a positivo convirtiendo la expresión a fracción. Primero ponemos un 1 en el numerador, en el denominador colocamos la potencia original, pero cambiando el signo negativo del exponente por un signo positivo.


¿Cuándo el exponente es negativo el resultado es negativo?

El signo negativo del exponente no implica que el resultado tenga signo positivo. Observa el siguiente ejemplo

\( \left(3\right)^{-1}=\frac{1}{3} \)

Observa como el signo del exponente es negativo pero el resultado es 1/3 positivo.


¿Cómo se procede cuando el exponente es negativo o positivo?

Si el exponente es positivo solo multiplicamos la base por si mismo tantas veces como indique el exponente. Si el exponente es negativo primero convertimos la expresión a una fracción con exponentes positivos y procedemos de la forma ya mencionada.


¿Qué se hace cuando la base de una potencia es negativa?

Si la base de una potencia en negativa y el exponente es un entero, solo se nos esta indicando el signo del número que se multiplicara por si mismo, tantas veces como indique el exponente. Si el exponente es un número par, el signo de la potencia será positivo, pero si es impar, el signo de la potencia será negativo.


¿Qué pasa cuando la base es negativa y el exponente es \( 0 \)?

Si la base es un número negativo con exponente cero el resultado es \( 1 \).


Ejercicios de potencias de exponente entero negativo

Ejercicio 1:

Consigna

\( 7^{-24}=\text{?} \)

Solución

\( 7^{-24}=7^{0-24}= \)

\( \frac{7^0}{7^{24}}=\frac{1}{7^{24}} \)

Respuesta

\( \frac{1}{7^{24}} \)


Ejercicio 2:

Consigna

\( (8\times9\times5\times3)^{-2}= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(abc\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n \)

\( 8^{-2}\cdot9^{-2}\cdot5^{-2}\cdot3^{-2} \)

Respuesta

\( 8^{-2}\times9^{-2}\times5^{-2}\times3^{-2} \)


Ejercicio 3:

Consigna

\( ((7\times3)^2)^6+(3^{-1})^3\times(2^3)^4= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \)

\( \left(7\cdot3\right)^{2\cdot6}+3^{-1\cdot3}\cdot2^{3\cdot4}= \)

\( 21^12+3^{-3}\cdot2^{12} \)

Respuesta

\( 21^{12}+3^{-3}\times2^{12} \)


Ejercicio 4:

Consigna

\( (3\times2\times4\times6)^{-4}= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(a\cdot b\cdot c\right)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n \)

\( \left(3\cdot2\cdot4\cdot6\right)^{-4}=3^{-4}\cdot2^{-4}\cdot4^{-4}\cdot6^{-4} \)

Respuesta

\( 3^{-4}\times2^{-4}\times4^{-4}\times6^{-4} \)


Ejercicio 5:

Consigna

\( 19^{-2}=\text{?} \)

Solución

\( 19^{-2}=19^{0-2} \)

\( \frac{19^0}{19^2}=\frac{1}{19^2}= \)

\( \frac{1}{361} \)

Respuesta

\( \frac{1}{361} \)