Potencias de exponente entero negativo

Cuando veamos cualquier número (positivo o negativo) elevado a una potencia negativa podremos convertir la expresión en fracción y lo haremos del siguiente modo:
el numerador será 1, el denominador será la base de la potenciación tal como se ve en el ejercicio original, pero ahora, con un exponente positivo.
Es decir, en el denominador invertiremos el exponente a positivo.
Pon atención, no modificaremos el signo de la base de la potenciación aún si éste fuera negativo.
Fórmula de la propiedad:
\(a^{-n}=\frac {1}{a^n} \)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Ejemplo:
\(4^{-3}=\)
Podemos ver que el exponente es un número negativo.
Por consiguiente, convertiremos la expresión a fracción de esta manera:
el numerador será 1 y en el denominador colocaremos la base de la potenciación con exponente positivo.
Es decir:

\(\frac{1}{4^3}\)


Ejemplos con explicaciones:

Si tenemos un ejercicio con exponente negativo, convertiremos el término en fracción colocando un 1 en el numerador y la base de la potenciación con su exponente, ahora en positivo, en el denominador.

Observemos que, si tenemos una fracción con un 1 en el numerador y una base con alguna expresión en el denominador, deberemos añadir un signo de restar al exponente en el denominador para convertirla en base con exponente negativo. Sólo de esta manera obtendremos la potencia correcta.


Veamos un ejemplo:

\( \frac{1}{X^{2-X}}= \)

Para ver esta expresión como una base con exponente negativo deberemos agregar un signo de restar fuera del exponente en el denominador del siguiente modo:

\( 4^{-(2-X)}= \)

Luego sacaremos los paréntesis y obtendremos:

\( 4^{-2+X}= \)

Otra manera de hacerlo es modificar el signo de cada término.

Ahora veamos algunos ejemplos de ejercicios en los que aplicaremos la propiedad de las potencias de exponente entero negativo.

Comencemos con uno sencillo:

\( 3\cdot5X^{-7}= \)

Para ver claramente qué es lo que tenemos que hacer comenzaremos por separar la X de su coeficiente 5.

Recibiremos:

\( 3\cdot5\cdot X^{-7}= \)

Ahora nos queda más claro que para proceder deberemos convertir la X en fracción de la manera que aprendimos. Lo haremos y obtendremos:

\( 3\cdot5\cdot\frac{1}{X^7}= \)

Genial. Multiplicaremos los términos y nos dará:

\( \frac{15}{X^7} \)


Ahora pasemos a un ejemplo más complejo:

\( \frac{2^{-4}}{4^{-5}} \)

Seguro que ahora estás diciendo ¡Oy! ¿Cómo solucionaré este ejercicio?

Justamente para eso estamos aquí. Lo haremos despacio y de forma segura.

Recuerda que las propiedades no cambian: cuando hay una base con exponente negativo se convierte en fracción según lo que hemos estudiado. Convertiremos cada término en fracción y obtendremos:

\( \frac{\frac{1}{2^4}}{\frac{1}{4^5}}= \)

Luego, simplemente usa la propiedad de la división de fracciones:

\( \frac{1}{2^4}:\frac{1}{4^5} \)

Lo convertiremos en una operación de multiplicación e invertiremos la fracción por la cual dividimos. Obtendremos:

\( \frac{1}{2^4}\cdot\frac{4^5}{1}= \)

Resolveremos y obtendremos:

\( \frac{4^5}{2^4}= \)

Podemos expresar el 4 como \( 2^2 \) y tendremos:

Haremos uso de la propiedad de potencia de una potencia y llegaremos a:

\( \frac{2^{10}}{2^4}= \)

Ya que tenemos igualdad de bases podemos restar los exponentes y nos dará:

\( 2^6=64 \)

¡Atención!

Habríamos podido resolver el ejercicio de un modo mucho más simple si hubiéramos pensado antes en convertir el 4 a \( 2^2 \).

De haber sido así, habríamos creado desde un principio una fracción con bases iguales y habríamos restado los exponentes.

¿Lo intentamos?

Recordemos el ejercicio original:

\( \frac{2^{-4}}{4^{-5}}= \)

Ahora pongamos el 4 como \( 2^2 \) Tendremos:

\( \frac{2^{-4}}{(2^2)^{-5}}= \)

Ahora apliquemos al denominador la propiedad de potencia de una potencia y lleguemos a:

\( \frac{2^{-4}}{(2)^{-10}}= \)

Bien. Ahora podemos restar los exponentes ya que tenemos igualdad de bases.

Recordemos que cuando se restan números negativos el resultado es positivo.

Recibiremos:

\( 2^6=64 \)

Y, como lo ves, hemos obtenido el mismo resultado por un camino más corto.


¿Qué pasa cuando hay una fracción que se eleva totalmente a un exponente negativo?

Es muy simple, invertiremos el numerador con el denominador y transformaremos el exponente a positivo.

Veamos un ejemplo:

\( (\frac{2}{4})^{-3}= \)

Vemos que tenemos un exponente negativo que se aplica a toda la fracción.

Por lo tanto, invertiremos el numerador con el denominador, transformaremos el exponente a positivo y obtendremos:

\( (\frac{4}{2})^3= \)

Recomendación: Antes de apresurarse a aplicar el exponente a cada término conviene mirar qué expresión hay entre los paréntesis. Claramente tenemos un 2.

Por lo tanto, nos dará:

\( 2^3=8 \)


Ejercicios de potencias de exponente entero negativo:

Ejercicio 1:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (\frac{1}{4})^{-1} \)

Solución:

Cuando tenemos una potencia negativa, convertimos el numerador y el denominador, así \( \frac{1}{4} \) convirtiéndose \( \frac{4}{1} \), es decir, la respuesta es \( 4 \)

Respuesta:

\( 4 \)


Ejercicio 2:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 5^{\left\{-2\right\}} \)

Solución:

De acuerdo a la propiedad, cuando tenemos un número entero con una potencia que es negativa, el número se convertirá en una fracción del número original, cuando la potencia afectará al denominador (el que era el número original).

Es decir \( 5^{-2}=\frac{1}{5^2} \)

Ahora lo que falta es resolver la potencia en el denominador.

Respuesta:

\( \frac{1}{25} \)


Ejercicio 3:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( [(\frac{1}{7})^{-1}]^4= \)

Solución:

En este ejercicio hay dos partes, y comenzamos resolviendo según el orden de las operaciones aritméticas, desde el paréntesis desde los paréntesis internos hacia afuera.

De acuerdo a la ley, cuando se encuentra en una potencia negativa, se resuelve a partir del menos reemplazando el numerador y el denominador.

\( \frac{1}{7^{-1}}=7^1 \)

Ahora, utilizamos la ley de potencia de una potencia para duplicar la potencia que se protesta entre paréntesis con el que está adentro.

\( 1\times4=4 \)

Así llegamos a la solución

Respuesta:

\( 7^4 \)


Ejercicio 4:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \frac{1}{\frac{X^7}{X^6}}= \)

Solución:

Primero observamos la fracción en el denominador del ejercicio

También aquí se emplean dos leyes, en primer lugar la ley del coeficiente de potencias, según la cual se hace

\( \frac{x^7}{x^6}=x^{(7-6)}=x^1=x \)

Ahora, nos resta solamente la fracción

\( \frac{1}{x} \)

Sabemos que esta forma también se puede convertir a través de la propiedad del valor de la potencia negativa, por lo que también podemos escribir:

Respuesta:

\( \frac{1}{x}=x^{^{-1}} \)