Potencias con exponente cero - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

$5^0=$

Usamos la propiedad de potenciación:

$X^0=1$Lo aplicamos en el problema:

$5^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$1$

$112^0=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación del cero.

$X^0=1$Obtenemos

$112^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

1

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\text{?}$

Este problema se puede resolver utilizando las propiedades de potencias para una potencia negativa, potencia sobre una potencia y la propiedad de potencias para el producto entre términos con bases idénticas, que es la forma natural de la solución,

Pero aquí preferimos resolver de otra manera que es un poco más rápido:

A tal efecto, la ley de potencia por potencia se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos, pero en sentido contrario:

$x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n$Dado que en la expresión en el problema existe una multiplicación entre dos términos con potencias idénticas, se puede utilizar esta ley en su sentido contrario, por lo que aplicaremos esta propiedad al problema:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4$Dado que la multiplicación en el problema dado es entre términos con la misma potencia, podríamos aplicar esta ley en la dirección opuesta y escribir la expresión como la multiplicación de las bases de los términos entre paréntesis a los que se aplica la misma potencia.

Continuaremos y simplificaremos la expresión entre paréntesis, lo haremos rápidamente si notamos que entre paréntesis hay una multiplicación entre dos números opuestos, entonces su producto dará el resultado: 1, aplicaremos este entendimiento a la expresión que llegamos en el último paso:

$\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 = 1^4=1$Cuando en el primer paso aplicamos el entendimiento anterior, y luego usamos el hecho de que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará el resultado: 1, lo que significa que:

$1^x=1$Resumiendo los pasos para resolver el problema, obtenemos que:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

1

$(\frac{7}{125})^0=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación del cero.

$X^0=1$Obtenemos:

$\big( \frac{7}{125}\big)^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

1

$(\frac{7}{4})^?=1$

Usamos el hecho de que elevar cualquier número (excepto cero) a la potencia de cero dará el resultado 1:

$X^0=1$Por lo tanto, es claro que:

$(\frac{7}{4})^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

0

$\frac{9\cdot3}{8^0}=\text{?}$

Usamos la fórmula:

$a^0=1$

$\frac{9\times3}{8^0}=\frac{9\times3}{1}=9\times3$

Sabemos que:

$9=3^2$

Por lo tanto, obtenemos:

$3^2\times3=3^2\times3^1$

Usamos la fórmula:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

$3^2\times3^1=3^{2+1}=3^3$

$3^3$

$7^x\cdot7^{-x}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos la propiedad en el problema:

$7^x\cdot7^{-x}=7^{x+(-x)}=7^{x-x}=7^0$Cuando en la primera etapa aplicamos la mencionada propiedad de potenciación y en las siguientes etapas simplificamos la expresión obtenida en el exponente,

Posteriormente usamos la propiedad de potenciación del cero:

$X^0=1$Obtenemos:

$7^0=1$Resumimos la solución al problema, obtuvimos que:

$7^x\cdot7^{-x}=7^{x-x}=7^0 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.

$1$

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}=?$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad en el problema:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4}$Cuando aplicamos la mencionada propiedad de potenciación en el segundo término de la multiplicación, entendiendo que:

$300^{-1}=\frac{1}{300}$A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$$$300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4} =300^{-4}\cdot300^{(-1)\cdot(-4)}=300^{-4}\cdot300^{4}$Cuando en una primera etapa aplicamos la propiedad de potenciación mencionada y luego simplificamos la expresión resultante,

Resumiendo la resolución al problema hasta aquí, obtuvimos que:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot(300^{-1})^{-4} =300^{-4}\cdot300^{4}$Continuamos y recordamos la propiedad de potenciación para la multiplicación entre términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$300^{-4}\cdot300^{4} =300^{-4+4}=300^0$Posteriormente recordamos que elevar cualquier número a la potencia de cero (excepto el número 0) dará como resultado 1, es decir que:

$X^0=1$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$300^0 =1$Resumiendo los pasos de resolución, obtenemos que:

$300^{-4}\cdot(\frac{1}{300})^{-4}= 300^{-4}\cdot300^{4} =300^0=1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

1

$(300\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{7})^0=\text{?}$

Usamos el hecho de que elevar cualquier número (excepto cero) a la potencia de cero dará el resultado 1:

$X^0=1$Examinemos la expresión del problema:

$(300\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{7})^0$La expresión entre paréntesis claramente no es 0 (se puede calcular numéricamente y verificar)

Por lo tanto, el resultado de elevar a la potencia cero dará el resultado 1, es decir:

$(300\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{7})^0 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

1

$7^4\cdot8^3\cdot(\frac{1}{7})^4=\text{?}$

Usamos la fórmula:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Descomponemos la fracción entre paréntesis:

$(\frac{1}{7})^4=\frac{1^4}{7^4}$

Obtenemos:

$7^4\times8^3\times\frac{1^4}{7^4}$

Simplificamos las potencias: $7^4$

Obtenemos:

$8^3\times1^4$

Recordemos que el número 1 en cualquier potencia es igual a 1, por lo que obtenemos:

$8^3\times1=8^3$

$8^3$

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para un exponente negativo, pero en dirección opuesta:

$\frac{1}{a^n} =a^{-n}$Aplicamos esta propiedad al problema:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1}$Cuando aplicamos la propiedad anterior para el segundo término desde la izquierda en la cantidad del problema y convertimos la fracción a un término con un exponente negativo,

Posteriormente usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{6+(-1)}=4^5-4^{6-1}=4^5-4^{5}=0$Cuando aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada al segundo término desde la izquierda en la cantidad en la expresión que obtuvimos en el último paso, luego simplificamos la expresión resultante,

Resumimos los pasos de resolución:

$4^5-4^6\cdot\frac{1}{4}= 4^5-4^6\cdot4^{-1} =4^5-4^{5}=0$

Obtuvimos que la respuesta es 0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

0

$5^3+5^{-3}\cdot5^3=\text{?}$

Usamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$y simplificamos mediante el segundo término desde la izquierda por la suma total en el problema:
$5^3+5^{-3}\cdot5^3=5^3+5^{-3+3}=5^3+5^0=5^3+1$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad antes mencionada al segundo término desde la izquierda, posteriormente simplificamos la expresión en el exponente de potencia y en el último paso utilizamos el hecho de que elevando cualquier número a la potencia de 0 dará como resultado 1 ,

Por supuesto, no tocamos el primer término porque ya está simplificado,

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción C.

$5^3+1$

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=\text{?}$

Empecemos simplificando el segundo término de la multiplicación total, es decir de la fracción, lo simplificamos en dos pasos:

En el primer paso, utilizamos la propiedad de potenciación para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Simplificamos el numerador de la fracción:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=\frac{19^{35+(-32)}}{19^3}=\frac{19^{35-32}}{19^3}=\frac{19^3}{19^3}$A continuación, recordemos que dividir cada número por sí mismo dará como resultado 1, o usamos propiedad de potenciación para dividir entre términos con bases idénticas:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$Para obtener que: $\frac{19^3}{19^3}=19^{3-3}=19^0=1$Cuando en el último paso utilizamos el hecho de que elevar cualquier número a la potencia de 0 dará el resultado 1, es decir, matemáticamente que:

$X^0=1$Resumiendo esta parte, obtenemos que:

$\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=1$Ahora regresamos a la expresión completa del problema y colocamos este resultado en lugar de la fracción:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}\cdot1=3^{-3}$En el siguiente paso recordemos la propiedad de potenciación para un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Aplicamos esta propiedad para el resultado que obtuvimos:

$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$Resumiendo todos los pasos anteriores, obtenemos que:

$3^{-3}\cdot\frac{19^{35}\cdot19^{-32}}{19^3}=3^{-3}=\frac{1}{27}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

$\frac{1}{27}$

$5^{-3}\cdot5^0\cdot5^2\cdot5^5=$

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

$a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k}$Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

$$$$Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

$5^{-3}\cdot5^0\cdot5^2\cdot5^5=5^{-3+0+2+5}=5^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

Tengamos en cuenta que $5^0=1$

$5^4$

$1^0=$

$1$