Ejemplos, ejercicios y soluciones de potencia con exponente cero

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\text{?}$

Este problema se puede resolver utilizando las propiedades de potencias para una potencia negativa, potencia sobre una potencia y la propiedad de potencias para el producto entre términos con bases idénticas, que es la forma natural de la solución,

Pero aquí preferimos resolver de otra manera que es un poco más rápido:

A tal efecto, la ley de potencia por potencia se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos, pero en sentido contrario:

$x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n$Dado que en la expresión en el problema existe una multiplicación entre dos términos con potencias idénticas, se puede utilizar esta ley en su sentido contrario, por lo que aplicaremos esta propiedad al problema:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4$Dado que la multiplicación en el problema dado es entre términos con la misma potencia, podríamos aplicar esta ley en la dirección opuesta y escribir la expresión como la multiplicación de las bases de los términos entre paréntesis a los que se aplica la misma potencia.

Continuaremos y simplificaremos la expresión entre paréntesis, lo haremos rápidamente si notamos que entre paréntesis hay una multiplicación entre dos números opuestos, entonces su producto dará el resultado: 1, aplicaremos este entendimiento a la expresión que llegamos en el último paso:

$\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 = 1^4=1$Cuando en el primer paso aplicamos el entendimiento anterior, y luego usamos el hecho de que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará el resultado: 1, lo que significa que:

$1^x=1$Resumiendo los pasos para resolver el problema, obtenemos que:

$5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 =1$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

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