Ejemplos, ejercicios y soluciones de semejanza

¿Cuál es la razón entre los lados de los triángulos ΔABC y ΔMNA?

De los datos del dibujo parece que el ángulo M es igual al ángulo B

También el ángulo A es un ángulo compartido por ambos triángulos ABC y AMN

Es decir, los triángulos ABC y AMN son semejantes respectivamente según el teorema del ángulo - ángulo.

Según las letras los lados que son iguales entre sí son:

$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}$

Ahora podemos calcular la razón entre los lados de los triángulos dados:

$MN=3,BC=6$$\frac{6}{3}=2$

$\frac{BC}{MN}=2$

¿La razón de semejanza entre los tres triángulos es igual a uno?

Para responder a la pregunta, primero debemos entender qué es la "razón de semejanza".

En triángulos semejantes, la razón entre los lados es constante.

En la consigna, no tenemos datos de ninguno de los lados.

Sin embargo, una razón de semejanza de 1 significa que los lados son exactamente del mismo tamaño.

Es decir, los triángulos no solo son semejantes sino también congruentes.

En el dibujo, puedes observar claramente que los triángulos son de diferentes tamaños y, por lo tanto, claramente la relación de similitud entre ellos no es 1.

No verdadero

Dado:

$ΔACB∼ΔBED$

Elija la respuesta correcta

Primero observemos los ángulos C y E que son iguales a 30 grados:

El ángulo C es el lado opuesto de AB y el ángulo E es el lado opuesto de BD.

$\frac{AB}{DB}$

Ahora observemos el ángulo B que es igual a 90 grados en ambos triángulos:

En el triángulo ABC el lado opuesto es AC y en el triángulo EBD el lado opuesto es ED.

$\frac{AC}{ED}$

Observemos los ángulos A y D que son iguales a 60 grados:

El ángulo A es el lado opuesto de CB, el ángulo D es el lado opuesto de EB

$\frac{CB}{EB}$

Es decir, a partir de esto se puede argumentar que:

$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{ED}$

Y también:$\frac{CB}{ED}=\frac{AB}{BD}$

Respuestas a + b

En la imagen aparecen un par de triángulos semejantes y un triángulo que no es semejante a los demás y escriba su razón de semejanza.

El triángulo a y el triángulo b son semejantes según el teorema L.L.L (lado lado lado)

Y la relación entre los lados es idéntica:

$\frac{GH}{DE}=\frac{HI}{EF}=\frac{GI}{DF}$

$\frac{9}{6}=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=3$

Es decir, la razón entre ellos es 1:3.

$a$ y $b$ , razón de semejanza $3$

Dados dos triángulos semejantes, halla el perímetro del triángulo más grande.

Calculamos el perímetro del triángulo pequeño (superior):

$3.5+1.5+4=9$

Por lo tanto, de la semejanza se entiende que la razón entre los lados del triángulo es igual a la razón entre los perímetros de los triángulos.

Identificaremos el perímetro del triángulo grande con una X:

$\frac{x}{9}=\frac{14}{3.5}$

$3.5x=14\times9$

$3.5x=126$

$x=36$

36

La razón de semejanza entre dos triángulos semejantes es 7, por lo que la razón de área es $_{——}$

Elevamos al cuadrado. 7 al cuadrado es igual a 49.

49

Dos triángulos semejantes.

¿Cuál es el perímetro del triángulo azul?

El perímetro del triángulo izquierdo: 13+12+5=25+5=30

Por lo tanto el perímetro del triángulo de la derecha dividido por 30 es igual a 5.2 dividido por 13:

$\frac{x}{30}=\frac{5.2}{13}$

$13x=156$

$x=12$

12

Aquí hay dos triángulos semejantes. La razón entre las longitudes de los lados del triángulo es 3:4, ¿cuál es la razón entre las áreas de los triángulos?

Llamemos al triángulo pequeño A y al triángulo grande B, escribamos la razón:

$\frac{A}{B}=\frac{3}{4}$

Potenciamos:

$\frac{S_A}{S_B}=(\frac{3}{4})^2$

$\frac{S_A}{S_B}=\frac{9}{16}$

Por lo tanto, la razón es 9:16

9:16

Si la razón de las áreas de triángulos semejantes es 1:16, y la longitud del lado del triángulo mayor es 42 cm, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente en el triángulo pequeño?

La razón de semejanza es 1:4

La longitud del lado correspondiente en el triángulo pequeño es:

$\frac{42}{4}=6$

10.5

El triángulo ABC semejante al triángulo DEF. La razón entre las longitudes de los lados es 9:8. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los triángulos?

Multiplicamos la razón por 2

$9:8=18:16$

Elevado a la potencia de 2:

$9^2:8^2=81:64$

81:64

En triángulos semejantes, el área de los triángulos es 361 cm² y 81 cm². Si se sabe que el perímetro del primer triángulo es 38, ¿cuál es el perímetro del segundo triángulo?

Anotamos la razón del perímetro según los datos de la siguiente manera:

$\frac{P_2}{P_1}=\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$

Reemplazamos los datos existentes

$\frac{P_2}{38}=\sqrt{\frac{81}{361}}$

$\frac{P_2}{38}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{361}}=\frac{9}{19}$

Multiplicamos por 38

$P_2=\frac{9}{19}\times38=18$

18

ABCD es un paralelogramo
BFCE es un deltoide

¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:$\text{Lado }x\text{ Altura}$.

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

$A^2+B^2=C^2$)

$BG^2+4^2=5^2$

$BG^2+16=25$

$BG^2=9$

$BG=3$

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:$FC=EC=9$

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

$GC^2+4^2=9^2$

$GC^2+16=81$

$GC^2=65$

$GC=\sqrt{65}$

Ahora podemos calcular el lado BC:

$BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11$

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

$\frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}$

$\frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5$

$\frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5$

$HC=10$

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

$10\times11\approx110$

$\approx110$