Razón de semejanza

La razón de semejanza es la diferencia constante entre los lados correspondientes de las dos formas.
Es decir, si la razón de semejanza es $3$, sabemos que cada lado del triángulo grande es $3$ veces más grande que el del pequeño triángulo.

El cálculo de la razón de semejanza se divide en varios pasos que se deben realizar:

1. Primero debemos saber que se trata de triángulos o polígonos semejantes. 
2. Debemos saber identificar los lados correspondientes en cada uno de los triángulos o polígonos. 
3. Necesitamos saber los tamaños de un par de lados iguales.
4. Debemos dividir el tamaño de un lado por el tamaño del otro lado. 

El resultado obtenido es en realidad la razón de semejanza. 

Lo ejemplificaremos a través de un ejercicio. 

En el dibujo que tenemos ante nosotros hay dos triángulos semejantes a $ABC$ y $KLM$. 

Se requiere que calculemos la razón de semejanza entre los dos triángulos. 

Vamos a trabajar de acuerdo con los pasos descritos anteriormente. 

El primer paso en realidad se ha completado - Se nos ha dado, porque estos son dos triángulos semejantes.

En el segundo paso, debemos identificar los lados correspondientes en cada uno de los dos triángulos. Observaremos el dibujo y veremos que los dos triángulos tienen ángulos. El ángulo $A$ es igual e igual al ángulo $K$ y el ángulo $B$ es igual al ángulo $L$. 

De esto se puede concluir que, en términos de ubicación, los lados $AB$ y $KL$ son lados correspondientes. 

El tercer paso es bastante fácil, porque nos dan los tamaños de estos dos lados, $AB=3$, $KL=6$

En el cuarto y último paso, realizaremos una sencilla operación de división de los tamaños de los lados correspondientes.

Obtenemos: 

${KL \over AB} = {6 \over 3} = 2$

Obtenemos que la razón de semejanza de estos dos triángulos semejantes es igual a $2$.  

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Ejercicio 1:

Consigna

Dado:

$ΔACB∼ΔBED$

Elija la respuesta correcta

Solución

Según $A.A$ los dos triángulos son semejantes.

Respuesta

Respuestas $a + b$

Ejercicio 2:

Consigna

Los triángulos semejantes:

$\frac{BC}{EF}=\text{?}$

Solución

Los triángulos son semejantes como resultado de la razón de similitud.

$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$

$\frac{10}{5}=2$

Respuesta

$2$

Ejercicio 3:

Consigna

¿Cuál es la razón entre los lados de los triángulos $ΔABC$ y $ΔAMN$?

Solución

De la imaginación sale:

$\frac{BC}{MN}=\frac{6}{3}=2$

Respuesta

$\frac{BC}{MN}=2$

Ejercicio 4:

Consigna

Elija la respuesta correcta

Solución

Razón de semejanza

$\frac{AD}{AF}=\frac{1}{4}$

$\frac{AF}{AB}=\frac{1}{4}$

Respuesta

$\frac{AD}{AF}=\frac{AF}{AB}$

Ejercicio 5:

Consigna

Halla la razón de semejanza correspondiente a los triángulos $ΔDEF$ y $ΔABC$.

Solución

$\sphericalangle C=\sphericalangle F=54=\frac{AB}{ED}$

$\sphericalangle B=\sphericalangle E=60=\frac{AC}{FD}$

$\sphericalangle A=\sphericalangle D=66=\frac{BC}{FE}$

De esto se deduce que

$\frac{25}{75}=\frac{1}{3}$

$\frac{BC}{FE}=\frac{AC}{FD}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{3}$

Respuesta

$\frac{1}{3}$

¿Qué es la razón de semejanza?

Es el cociente de dividir los lados correspondientes de dos figuras.

¿Cómo sacar la razón de semejanza?

La razón de semejanza se saca dividiendo los lados correspondientes de dos figuras semejantes. Veamos un ejemplo:

Dado los siguientes triángulos semejantes $\triangle ABC\sim\triangle DEF$

Calcular la razón de semejanza

Dado que $\triangle ABC\sim\triangle DEF$

Entonces debemos de ubicar cuales son los lados correspondientes, y de aquí deducimos que

$\sphericalangle A=\sphericalangle D$

$\sphericalangle B=\sphericalangle E$

Entonces los lados correspondientes son $AB$,$DE$

Ahora para calcular la razón de semejanza hacemos el cociente de estos dos lados.

$\frac{AB}{DE}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}=1.2$

Por lo tanto la razón de semejanza es $1.2$

¿Qué son dos triángulos semejantes?

Podemos decir que dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan diferentes tamaños, para eso deben de cumplir con algunos de los siguientes criterios de semejanzas:

• Lado-Lado-Lado (LLL): Si la razón de sus tres pares de lados correspondientes es la misma entonces dos triángulos son semejantes.
• Lado-Ángulo- Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si la razón de dos pares de lados correspondientes es la misma y el ángulo que está comprendido entre estos dos pares en el mismo, entonces serán triángulos semejantes.
• Ángulo-Ángulo (AA): Para que dos triángulos sean semejantes por este criterio, dos de sus ángulos respectivos deberán medir lo mismo y por ende el tercer ángulo también debe de tener la misma medida que el correspondiente a ese ángulo. Es decir, sus tres ángulos correspondientes miden lo mismo.

¿Qué son figuras congruentes?

A diferencia de figuras semejantes que no necesariamente deben de medir lo mismo, dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma pero sus lados correspondientes miden lo mismo.

¿Cuál es la razón de semejanza de dos rectángulos?

Al igual que los triángulos semejantes, para poder calcular la razón de semejanza debemos de calcular el cociente de los lados correspondientes. Veamos un ejemplo:

Dado los siguientes rectángulos semejantes

$ABCD\sim EFGH$

Calcular la razón de semejanza

Dado que son rectángulos semejantes y por ser cuadriláteros tienen ángulos rectos, entonces podemos deducir sus lados correspondientes:

Unos de sus lados correspondientes son $AD$,$EH$, entonces podemos calcular la razón de semejanza.

$\frac{EH}{AD}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5$

Por lo tanto la razón de semejanza es $2.5$