Los triángulos semejantes son triángulos cuyos tres ángulos son iguales respectivamente y además la razón entre cada par de lados correspondientes es igual. Dos triángulos semejantes, en realidad se están agrandando o reduciendo el uno al otro.
La razón de semejanza es la razón entre dos lados correspondientes en dos triángulos semejantes.
Para demostrar semejanzas entre triángulos, usaremos los siguientes teoremas:
Ángulo-Ángulo (A.A): Si dos ángulos son iguales respectivamente entre dos triángulos, entonces los triángulos son semejantes.
Lado-Ángulo-Lado (L.A.L): Si la razón de dos pares de lados es igual, y también los ángulos atrapados entre ellos son iguales entre sí, entonces los triángulos son semejantes.
Lado-Lado-Lado (L.L.L): Si para dos triángulos, la razón de los tres lados en un triángulo a los tres pares en el otro triángulo es igual (razón de semejanza), entonces los triángulos son semejantes.
Lo definiremos de esta manera: si para dos polígonos todos los ángulos son iguales y hay una razón constante entre dos lados correspondientes, entonces los polígonos son semejantes.
Intuitivamente, al igual que los triángulos semejantes, también dos polígonos semejantes son en realidad una ampliación o reducción entre sí.
Triángulos semejantes
Definición: Los triángulos semejantes son triángulos cuyos tres ángulos son iguales respectivamente y también la razón de cada par de lados correspondientes es igual. Dos triángulos semejantes, son en realidad una ampliación o reducción uno del otro.
Para entender esto, observemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Dados los dos triángulos del dibujo
\(Δ ABC\) \(Δ DEF\)
Dado que el triángulo \(Δ ABC\) Y el triángulo \(Δ DEF\) Son triángulos semejantes. Marcaremos esto con el signo ~
Se ve así: \(Δ ABC \) ~ \(Δ DEF\) Es importante escribir el orden correcto de los vértices, similar a la superposición de triángulos.
De aquí podemos concluir que los tres ángulos son iguales respectivamente, es decir:
\(∢A=∢D\) \(∢B=∢E\) \(∢C=∢F\)
Y podemos concluir que la razón entre cada par de lados correspondientes es igual. Es decir:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD} \)
Esta relación de lados se llama razón de semejanzas. Prestar atención que dos triángulos superpuestos también son triángulos semejantes cuando la razón de similitud es 1.
¿Qué es la razón de semejanza?
La razón de semejanza es la razón entre dos lados correspondientes en dos triángulos semejantes.
Ejemplo 2: Dado que los dos triángulos \(Δ ABC\) y-\(Δ DEF\) Son triángulos semejantes es decir:
\(Δ ABC \) ~ \(Δ DEF\)
También se da \(AB = 8\) \(BC = 12\) \(CA = 6\) Además: \(DE = 4 \) \(EF = 6\) \(FD = 3\) Todos los datos están marcados en el dibujo.
Calculen la razón de semejanza entre los dos triángulos.
Prestemos atención que no conocemos el tamaño de los ángulos, pero no lo necesitamos para calcular la razón de semejanza. Podemos calcular la razón de semejanza por la relación entre cada par de lados correspondientes:
Es decir, hemos visto que la razón de semejanza entre el triángulo \(Δ ABC\) Para el triángulo \(Δ DEF\) Es 1:2. QED
Prestar atención a la razón de semejanza entre las longitudes de los lados del triángulo \(Δ DEF\) Para el triángulo \(Δ ABC\) Es 2:1 Intuitivamente, la longitud de cada lado en un triángulo \(Δ ABC\) 2 veces más largo que cada lado en un triángulo \(Δ DEF\) Respectivamente.
Para comprobar la semejanza entre triángulos utilizaremos uno de los siguientes tres teoremas: - Ángulo-Ángulo (A.A): Si dos ángulos son iguales en correspondencia entre dos triángulos, entonces los triángulos son semejantes. - Lado-Ángulo-Lado (L.A.L): Si la razón entre dos pares de lados es igual, y también los ángulos atrapados entre ellos son iguales entre sí, entonces los triángulos son semejantes. - Lado-lado-lado (L.L.L): Si para dos triángulos, la razón entre los tres lados en un triángulo a los tres pares en el otro triángulo es igual (relación de semejanza) entonces los triángulos son semejantes.
Ejercicio de ejemplo - Calcular la longitud del lado
Dados dos triángulos en el dibujo de abajo \(Δ ABC\) \(Δ DEF\) Son triángulos semejantes, es decir \(Δ ABC\) ~ \(Δ DEF\) Además dado: \(AB = 5\) \(DE = 2.5\) \(FD = 1\) \(∢A=∢E\) \(∢B=∢F\) \(∢C=∢G\)
Todos los datos están marcados en el dibujo.
Pregunta: ¿Cuál es la longitud del lado AC?
Solución: Los dos triángulos son semejantes, así que calcularemos la razón de semejanza y la usaremos para resolver la consigna. Recuerda que la razón entre dos lados en triángulos semejantes es igual y por lo tanto:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{5}{2.5}=\frac{2}{1} \)
Es decir, la razón de semejanza es 2:1, y cada lado del triángulo ABC es dos veces más grande que cualquier lado correspondiente en el triángulo DEF. Ahora podemos calcular la longitud del lado AC. Según la razón de semejanza:
\( \frac{AC}{DF}=2\)
Reemplazamos y obtenemos:
\( \frac{AC}{1}=2 \)
Es decir, obtuvimos:
\(AC=2\)
QED
Polígonos semejantes
Definición: Si para dos polígonos todos los ángulos son iguales y hay una razón constante entre dos lados correspondientes, entonces los polígonos son semejantes. Intuitivamente, como en los triángulos semejantes, dos polígonos semejantes son en realidad la ampliación o el achicamiento de los demás.
Ejemplo 3 - Polígonos semejantes
Estos dos cuadrados son cuadrados semejantes:
Dos ángulos correspondientes cualesquiera son iguales ya que todos los ángulos son iguales. La razón de los dos lados correspondientes, es decir, la razón de semejanza, es 2/1 o, en otras palabras, cada uno de los lados es dos veces más grande para el cuadrado grande que para el pequeño.
Ejemplo 4 - Polígonos semejantes
Dos pentágonos en el dibujo son semejantes, lo que significa que cualquier par de ángulos correspondientes son iguales. Cuando la razón de semejanza es
\( \frac{EF}{AB}=\frac{3}{2}=\frac{1.5}{1}\)
Es decir, para cada par de lados correspondientes, la longitud del pentágono FGHIJ es 1,5 veces mayor que la del pentágono BCDEA.
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