Triángulos semejantes - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

¿Qué es la semejanza de triángulos?

Los triángulos semejantes son triángulos para los que existe cierta razón de semejanza, es decir, cada uno de los lados de un triángulo está en una proporción uniforme con respecto al lado correspondiente en el otro triángulo. Además, los ángulos en las mismas ubicaciones también son iguales para los dos triángulos similares. 

¿Cómo se demuestra la semejanza de los triángulos?

Para probar la semejanza de triángulos es común utilizar uno de los tres teoremas: 

  • Ángulo-ángulo (es decir, dos pares de ángulos iguales en triángulos)
  • Lado-ángulo-lado (relación de semejanza de dos pares de lados en triángulos y los ángulos atrapados entre ellos son iguales)
  • Lado-lado-lado (relación de semejanza de tres pares de lados en triángulos)
Para probar la semejanza de dos triángulos


Las semejanzas de triángulos se expresan con el signo

Practicar Triángulos semejantes

Ejercicio #1

Dado:

Ángulo B es igual a 40°

Ángulo C es igual a 60°

Ángulo E es igual a 40°

Ángulo F es igual a 60°

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Dado que los datos muestran que hay dos pares de ángulos iguales:

B=E=40 B=E=40

C=F=60 C=F=60

Basta demostrar que los triángulos son semejantes mediante el teorema del ángulo - ángulo.

Por lo tanto, el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

Respuesta

Si

Ejercicio #2

Dado:

El ángulo B es igual a 70 grados

El ángulo C es igual a 35 grados

El ángulo E es igual a 70 grados

El ángulo F es igual a 35 grados

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

De hecho, los triángulos son semejantes según el teorema ángulo-ángulo.

Dos pares de ángulos iguales son suficientes para afirmar que los triángulos son semejantes.

Respuesta

Si

Ejercicio #3

Dados los dos siguientes triángulos:

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que el ángulo B es igual al ángulo F

Ángulo C es igual al ángulo D

¿Qué ángulo corresponde al ángulo A?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos el teorema ángulo-ángulo para simular triángulos.

Observemos los datos que ya tenemos:

Dado que los ángulos B y F son iguales

El ángulo C es igual al D

Por lo tanto lo que queda: los ángulos A y E son iguales.

Respuesta

E E

Ejercicio #4

Dados los dos triángulos siguientes

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que el ángulo B es igual al ángulo E

El ángulo A es igual al ángulo D

¿Qué ángulo corresponde al ángulo C?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Como tenemos dos pares de ángulos correspondientes, usaremos el teorema ángulo-ángulo para semejanza de triángulos.

Ahora que sabemos que todos los ángulos son iguales entre sí, notaremos que el ángulo que nos queda que es igual y corresponde al ángulo C es el ángulo F.

Respuesta

F F

Ejercicio #5

Dados los dos siguientes triángulos

AAABBBCCCDDDEEEFFFDado que los ángulos B y D son iguales.

El ángulo A es igual al F

¿Qué lado corresponde al lado AB?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Como tenemos dos ángulos iguales, usaremos el teorema ángulo-ángulo para simular triángulos.

Compararemos los vérticesA=F,B=D A=F,B=D

Según los datos parece que:

El lado AC corresponde al lado EF

El lado BC corresponde al lado DE

Por lo tanto el lado AB corresponde al lado FD

Respuesta

FD FD

Ejercicio #1

Dado el paralelogramo ABCD

AAABBBDDDCCC

¿Qué se puede decir de los triángulos ACD y ABD?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Según el teorema lado - ángulo - lado los triángulos son semejantes y coinciden entre sí:

AC=BD Cualquier par de lados opuestos del paralelogramo son iguales

El ángulo C es igual al ángulo B

AB=CD Cualquier par de lados opuestos del paralelogramo son iguales

Por lo tanto todas las respuestas son correctas.

Respuesta

Todas las respuestas correctas

Ejercicio #2

¿Un par de triángulos semejantes son necesariamente congruentes?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Hay triángulos semejantes que no son necesariamente congruentes, por lo que esta afirmación no es correcta.

Respuesta

No

Ejercicio #3

¿Estos triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utiliza los teoremas de semejanza.

Respuesta

Si

Ejercicio #4

Dado que el triángulo ADE es semejante al triángulo ABC

El triángulo ABC es isósceles

El ángulo A es igual a 50 grados

Halle el ángulo D

AAABBBCCCDDDEEE

Solución en video

Solución Paso a Paso

El triángulo ABC es isósceles, por lo tanto el ángulo B es igual al ángulo C. Podemos calcularlos ya que la suma de los ángulos del triángulo es 180:

18050=130 180-50=130

130:2=65 130:2=65

Como los triángulos son semejantes, DE es paralela a BC

Los ángulos B y D son correspondientes y, por lo tanto, son iguales.

B=D=65

Respuesta

65 65

Ejercicio #5

¿Los triángulos son semejantes?

666999888555999888AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los lados de los triángulos no son iguales y, por lo tanto, los triángulos no son similares.

Respuesta

No

Ejercicio #1

En la imagen aparecen un par de triángulos semejantes y un triángulo que no es semejante a los demás y escriba su razón de semejanza.

888444666999333666333111222AAABBBCCCGGGHHHIIIDDDEEEFFFABC

Solución Paso a Paso

El triángulo a y el triángulo b son semejantes según el teorema L.L.L (lado lado lado)

Y la relación entre los lados es idéntica:

GHDE=HIEF=GIDF \frac{GH}{DE}=\frac{HI}{EF}=\frac{GI}{DF}

96=31=62=3 \frac{9}{6}=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=3

Es decir, la razón entre ellos es 1:3.

Respuesta

a a y b b , razón de semejanza 3 3

Ejercicio #2

Dado:

Ángulo B es igual a 60°

Ángulo C es igual a 55°

Ángulo E es igual a 60°

Ángulo F es igual a 50°

¿Estos triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Respuesta

No

Ejercicio #3

Dados los dos triángulos siguientes:

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que los ángulos B y F son iguales

Ángulo C es igual al ángulo D

¿Cuál lado corresponde a AB?

Solución en video

Respuesta

EF EF

Ejercicio #4

Dados los dos triángulos siguientes:

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que el ángulo B es igual al ángulo E

Ángulo C es igual al ángulo F

¿Cuál lado corresponde al lado AC?

Solución en video

Respuesta

DF DF

Ejercicio #5

Dados los dos triángulos siguientes (no hacer referencia a las medidas del dibujo)

Dado que:

A2B2=A1B1 A_2B_2=A_1B_1

A2C2=A1C1 A_2C_2=A_1C_1

Ángulo A1 A_1 igual al ángulo A2 A_2

¿El triángulo A1B1C1 A_1B_1C_1 es igual al triángulo A2B2C2 A_2B_2C_2 ?

A1A1A1B1B1B1C1C1C1A2A2A2B2B2B2C2C2C2

Solución en video

Respuesta

Verdadero

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Criterios de semejanza de triángulos
  2. Semejanza de triángulos y polígonos
  3. Razón de semejanza
  4. Semejanza de figuras geométricas