Semejanza de triángulos y polígonos

Los triángulos semejantes son triángulos cuyos tres ángulos son iguales respectivamente y además la razón entre cada par de lados correspondientes es igual. Dos triángulos semejantes, en realidad se están agrandando o reduciendo el uno al otro. 

La razón de semejanza es la razón entre dos lados correspondientes en dos triángulos semejantes

Para demostrar semejanzas entre triángulos, usaremos los siguientes teoremas:

  • Ángulo-Ángulo (A.A): Si dos ángulos son iguales respectivamente entre dos triángulos, entonces los triángulos son semejantes.
  • Lado-Ángulo-Lado (L.A.L): Si la razón de dos pares de lados es igual, y también los ángulos comprendidos entre ellos son iguales entre sí, entonces los triángulos son semejantes.
  • Lado-Lado-Lado (L.L.L): Si para dos triángulos, la razón de los tres lados en un triángulo a los tres pares en el otro triángulo es igual (razón de semejanza), entonces los triángulos son semejantes.

Para semejanza de poligonos lo definiremos de esta manera: si para dos polígonos todos los ángulos son iguales y hay una razón constante entre dos lados correspondientes, entonces los polígonos son semejantes.

Intuitivamente, al igual que los triángulos semejantes, también dos polígonos semejantes son en realidad una ampliación o reducción entre sí.

Imagen 1 triangulos semejantes

Practicar Semejanza de triángulos y polígonos

Ejercicio #1

Dado:

Ángulo B es igual a 40°

Ángulo C es igual a 60°

Ángulo E es igual a 40°

Ángulo F es igual a 60°

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Dado que los datos muestran que hay dos pares de ángulos iguales:

B=E=40 B=E=40

C=F=60 C=F=60

Basta demostrar que los triángulos son semejantes mediante el teorema del ángulo - ángulo.

Por lo tanto, el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

Respuesta

Si

Ejercicio #2

Dado:

El ángulo B es igual a 70 grados

El ángulo C es igual a 35 grados

El ángulo E es igual a 70 grados

El ángulo F es igual a 35 grados

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

De hecho, los triángulos son semejantes según el teorema ángulo-ángulo.

Dos pares de ángulos iguales son suficientes para afirmar que los triángulos son semejantes.

Respuesta

Si

Ejercicio #3

10062.5508080100 ¿Son los dos triángulos semejantes?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para saber si los triángulos son semejantes, podemos comprobar si existe una razón de semejanza adecuada entre sus lados.

La razón de semejanza es la diferencia constante entre los lados correspondientes.

 

En este caso, podemos comprobar si:

62.550=10080=10080 \frac{62.5}{50}=\frac{100}{80}=\frac{100}{80}

62.550=125100=125100=114 \frac{62.5}{50}=\frac{125}{100}=1\frac{25}{100}=1\frac{1}{4}

10080=108=124=114 \frac{100}{80}=\frac{10}{8}=1\frac{2}{4}=1\frac{1}{4}

 Entonces:114=114=114 1\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}

Por lo tanto, podemos decir que entre los lados de los triángulos existe una razón constante de114 1\frac{1}{4} , y por tanto los triángulos son semejantes.

Respuesta

Si

Ejercicio #4

¿La razón de semejanza entre los tres triángulos es igual a uno?

Solución Paso a Paso

Para responder a la pregunta, primero debemos entender qué es la "razón de semejanza".

En triángulos semejantes, la razón entre los lados es constante.

En la consigna, no tenemos datos de ninguno de los lados.

Sin embargo, una razón de semejanza de 1 significa que los lados son exactamente del mismo tamaño.

Es decir, los triángulos no solo son semejantes sino también congruentes.

En el dibujo, puedes observar claramente que los triángulos son de diferentes tamaños y, por lo tanto, claramente la relación de similitud entre ellos no es 1.

Respuesta

No verdadero

Ejercicio #5

1027.51.5 Aquí hay dos paralelogramos semejantes.

La razón entre los lados es 3:4.

¿Cuál es la razón del área del paralelogramo?

Solución en video

Solución Paso a Paso

El cuadrado de la razón entre los lados es igual a la razón entre las áreas de los paralelogramos:

32:42=9:16 3^2:4^2=9:16

Respuesta

9:16

Ejercicio #1

AAABBBCCCDDDEEE60°30°30°60° Dado:

ΔACBΔBED ΔACB∼ΔBED

Elija la respuesta correcta

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero observemos los ángulos C y E que son iguales a 30 grados:

El ángulo C es el lado opuesto de AB y el ángulo E es el lado opuesto de BD.

ABDB \frac{AB}{DB}

Ahora observemos el ángulo B que es igual a 90 grados en ambos triángulos:

En el triángulo ABC el lado opuesto es AC y en el triángulo EBD el lado opuesto es ED.

ACED \frac{AC}{ED}

Observemos los ángulos A y D que son iguales a 60 grados:

El ángulo A es el lado opuesto de CB, el ángulo D es el lado opuesto de EB

CBEB \frac{CB}{EB}

Es decir, a partir de esto se puede argumentar que:

ABBD=ACED \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{ED}

Y también:CBED=ABBD \frac{CB}{ED}=\frac{AB}{BD}

Respuesta

Respuestas a + b

Ejercicio #2

AAABBBCCCMMMNNN36 ¿Cuál es la razón entre los lados de los triángulos ΔABC y ΔMNA?

Solución en video

Solución Paso a Paso

De los datos del dibujo parece que el ángulo M es igual al ángulo B

También el ángulo A es un ángulo compartido por ambos triángulos ABC y AMN

Es decir, los triángulos ABC y AMN son semejantes respectivamente según el teorema del ángulo - ángulo.

Según las letras los lados que son iguales entre sí son:

ABAM=BCMN=ACAN \frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AN}

Ahora podemos calcular la razón entre los lados de los triángulos dados:

MN=3,BC=6 MN=3,BC=6 63=2 \frac{6}{3}=2

Respuesta

BCMN=2 \frac{BC}{MN}=2

Ejercicio #3

¿Los triángulos son semejantes?

666999888555999888AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los lados de los triángulos no son iguales y, por lo tanto, los triángulos no son similares.

Respuesta

No

Ejercicio #4

El cuadrado A es mayor que el cuadrado B en razón de 23 \frac{2}{3} .

Si se sabe que el perímetro del cuadrado A es 56, ¿cuál es el área del cuadrado B?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Marcaremos al lado en el cuadrado A como X

Por lo tanto el perímetro será:
4x=56 4x=56

x=14 x=14

Ahora podemos calcular el área del cuadrado A:

14×14=196 14\times14=196

Como nos dan la razón entre las áreas:

196S2=(23)2=49 \frac{196}{S_2}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}

Es decir, la razón será:

196X=49 \frac{196}{X}=\frac{4}{9}

El área del cuadrado será igual a:

9×1964=17644=441 \frac{9\times196}{4}=\frac{1764}{4}=441

Respuesta

441

Ejercicio #5

AAABBBCCCDDDFFFVVV694.580°60°80°40°436 ¿Los triángulos son semejantes?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Respuesta

Respuestas b y c correctas

Ejercicio #1

En la imagen aparecen un par de triángulos semejantes y un triángulo que no es semejante a los demás y escriba su razón de semejanza.

888444666999333666333111222AAABBBCCCGGGHHHIIIDDDEEEFFFABC

Solución Paso a Paso

El triángulo a y el triángulo b son semejantes según el teorema L.L.L (lado lado lado)

Y la relación entre los lados es idéntica:

GHDE=HIEF=GIDF \frac{GH}{DE}=\frac{HI}{EF}=\frac{GI}{DF}

96=31=62=3 \frac{9}{6}=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=3

Es decir, la razón entre ellos es 1:3.

Respuesta

a a y b b , razón de semejanza 3 3

Ejercicio #2

AAADDDFFFBBBCCC65°40°40° Elija la respuesta correcta

Solución en video

Solución Paso a Paso

Si la suma de los ángulos en un triángulo es igual a 180, entonces el ángulo F es igual a 75 y por lo tanto el ángulo C también es igual a 75.

Los triángulos son semejantes según el teorema ángulo-ángulo

La respuesta D es correcta

Respuesta

Respuestas a y b correctas

Ejercicio #3

3.51.54146

Dados dos triángulos semejantes, halla el perímetro del triángulo más grande.

Solución en video

Solución Paso a Paso

Calculamos el perímetro del triángulo pequeño (superior):

3.5+1.5+4=9 3.5+1.5+4=9

Por lo tanto, de la semejanza se entiende que la razón entre los lados del triángulo es igual a la razón entre los perímetros de los triángulos.

Identificaremos el perímetro del triángulo grande con una X:

x9=143.5 \frac{x}{9}=\frac{14}{3.5}

3.5x=14×9 3.5x=14\times9

3.5x=126 3.5x=126

x=36 x=36

Respuesta

36

Ejercicio #4

La razón de semejanza entre dos triángulos semejantes es 7, por lo que la razón de área es —— _{——}

Solución en video

Solución Paso a Paso

Elevamos al cuadrado. 7 al cuadrado es igual a 49.

Respuesta

49

Ejercicio #5

¿Podemos decir que los dos triángulos son semejantes?

121212999444333AAABBBCCCDDDEEEFFF25°25°

Solución en video

Solución Paso a Paso

Como no tenemos datos sobre los lados AB y DE, y los otros ángulos, es imposible saberlo.

Respuesta

No, imposible saber