Triángulos semejantes

¿Qué es la semejanza de triángulos?

Los triángulos semejantes son triángulos para los que existe cierta razón de semejanza, es decir, cada uno de los lados de un triángulo está en una proporción uniforme con respecto al lado correspondiente en el otro triángulo. Además, los ángulos en las mismas ubicaciones también son iguales para los dos triángulos similares. 

¿Cómo se demuestra la semejanza de los triángulos?

Para probar la semejanza de triángulos es común utilizar uno de los tres teoremas: 

  • Ángulo-ángulo (es decir, dos pares de ángulos iguales en triángulos)
  • Lado-ángulo-lado (relación de semejanza de dos pares de lados en triángulos y los ángulos atrapados entre ellos son iguales)
  • Lado-lado-lado (relación de semejanza de tres pares de lados en triángulos)


Las semejanzas de triángulos se expresan con el signo ∼. 


Ilustraremos la cuestión con un ejemplo. 

El dibujo que tenemos ante nosotros muestra dos triángulos semejantes, ABC y KLM.

dos triángulos semejantes a ABC y KLM

La razón de semejanza de los triángulos es 2. Esto significa que cada lado en el triángulo más grande ABC es dos veces más grande que el lado correspondiente en el triángulo más pequeño KLM. 

Además, los ángulos en los lugares correspondientes en los dos triángulos son iguales entre sí. 

Como se ilustra en el dibujo, se cumple lo siguiente:

El ángulo A es igual al ángulo K
El ángulo B es igual al ángulo L
El ángulo C es igual al ángulo M


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Ejercicios de triángulos semejantes

Ejercicio 1:

Consigna

Si estamos hablando de triángulos semejantes entonces:

Elija la respuesta correcta.

Solución

En triángulos semejantes, la razón entre las longitudes de los lados de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus perímetros.

Respuesta

D

La razón de las longitudes de los lados de dos triángulos es igual a la razón de sus perímetros


Ejercicio 2:

La razón entre el área de los triángulos semejantes es \( \frac{9}{100} \).

Si nos dan que el perímetro del triángulo grande es \( 129\operatorname{cm} \), ¿Cuál es el perímetro del triángulo pequeño?

Solución

\( \frac{S\triangle}{S\triangle}=\frac{9}{100} \)

La razón entre los lados es

\( \frac{3}{10} \)

\( \frac{P\triangle}{P\triangle}=\frac{P\triangle}{129}=\frac{3}{10} \)

El perímetro del triángulo pequeño es \( 38.7 \)

Respuesta

\( 38.7 \)


Ejercicio 3:

Consigna

Dados dos triángulos semejantes. El área del triángulo pequeño es \( 12.5 \), ¿Cuál es la longitud del lado?

El área del triángulo pequeño es  12.5 Cuál es la longitud del lado

Área del triángulo grande

\( \frac{10\times10}{2}=50 \)

El área del triángulo pequeño es \( 12.5 \)

\( \frac{50}{12.5}=4 \)

\( \sqrt{4}=2 \)

\( \frac{10}{x}=2 \)

\( x=5 \)

Respuesta

\( 5 \)


Ejercicio 4:

Consigna

Cuál es el área del triángulo azul si se da que los dos triángulos son semejantes y el área del triángulo verde es \( 64 \).

Los dos triángulos son semejantes y el área del triángulo verde es 64

Solución

De la semejanza se deduce que \( \frac{12}{3}=4 \)

\( \frac{64}{S}=16 \)

\( \frac{64}{16}=S \)

\( S=4 \)

Respuesta

\( 4 \)


Ejercicio 5:

Consigna

La razón de semejanza entre dos triángulos semejantes es \( 7 \), entonces la razón de las áreas es \( _{——} \)

Solución

En general, esta consigna se basa en la "regla" simple: la razón del área es igual al cuadrado de la relación de semejanza

Entonces, si la razón de semejanza es \( 7 \),

la razón de las áreas es \( 7^2 \)

que es \( 49 \)

Respuesta

\( 49 \)