Práctica de Función Cuadrática: Ejercicios y Problemas

Entendiendo la La función cuadrática

Explicación completa con ejemplos

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Donde $a\ne0$ , ya que si no aparece el coeficiente $a$ entonces no sería una función cuadrática.

La grafica de una función cuadrática siempre será una parábola.

Ejemplo 1:

$f\left(x\right)=8x^2-2x+4$

Es una función cuadrática o de segundo grado porque su exponente más grande es $2$ .

Ejemplo 2:

$f\left(x\right)=-7x^3+6x^2+2x-1$

Esta no es una función de segundo grado porque, si bien tiene un exponente $2$ , su exponente más grande es $3$ .

Función cuadrática

La ecuación de la función cuadrática básica es: $y=ax^2+bx+c$

Esta forma de escribirlas se llama forma general de una función de segundo grado, en donde:

$ax^2$ se llama término al cuadrado, término cuadrático o término de segundo grado.

$a$ es el coeficiente del término cuadrático.

$bx$ se llama término lineal o término de primer grado.

$b$ es el coeficiente del término lineal.

$c$ es el término independiente.

$x$ se llama la incognita de la función y representa el número o los números que hacen verdadera a la función o en este caso la ecuación.

Ejemplo:

$f\left(x\right)=3x^2-5x+2$

$a=3$ , $b=-5$ y $c=2$

Debemos de recordar que para que una ecuación sea de segundo grado, $a$ siempre tiene que ser distinto de cero.

Explicación completa

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$$ y=x^2-6x+4 $$

ejemplos con soluciones para La función cuadrática

Soluciones paso a paso incluidas

Ejercicio #1

$y=x^2+10x$

Solución Paso a Paso

Aquí tenemos una ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática siempre se construye así:

$y = ax²+bx+c$

Donde a, b y c generalmente ya los conocemos, y los puntos X e Y necesitan ser descubiertos.

En primer lugar, parece que en esta fórmula no tenemos la C,

Por lo tanto, entendemos que es igual a 0.

$c = 0$

a es el coeficiente de X², aquí no tiene coeficiente, por lo tanto

$a = 1$

$b= 10$

es el número que viene antes de la X que no está al cuadrado.

Respuesta:

$a=1,b=10,c=0$

Solución en video

Ejercicio #2

$y=2x^2-5x+6$

Solución Paso a Paso

De hecho, una ecuación cuadrática se compone así:

y = ax²-bx-c

Es decir,

a es el coeficiente de x², en este caso 2.
b es el coeficiente de x, en este caso 5.
Y c es el número sin incógnita al final, en este caso 6.

Respuesta:

$a=2,b=-5,c=6$

Solución en video

Ejercicio #3

¿Cuál es el valor del coeficiente $b$ en la ecuación?

$3x^2+8x-5$

Solución Paso a Paso

La ecuación cuadrática del problema ya está ordenada (es decir, todos los términos de un lado y 0 del otro lado), por lo que nos acercamos a responder la pregunta formulada:

En el problema se hizo la pregunta: ¿cuál es el valor del coeficiente $b$ en la ecuación?

Recordemos las definiciones de los coeficientes al resolver una ecuación cuadrática y la fórmula de las raíces:

La regla dice que las raíces de una ecuación de la forma

$ax^2+bx+c=0$ es :

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Es decir, el coeficiente $b$ es el coeficiente del término en la primera potencia - $x$ . Examinamos la ecuación del problema:

$3x^2+8x-5 =0$ Es decir, el número que multiplica a

$x$ es 8

entonces reconocemos a b, que es el coeficiente del término en la primera potencia, es el número $8$ ,

La respuesta correcta es la opción d.

Respuesta:

8

Solución en video

Ejercicio #4

¿Cuál es el valor del coeficiente $c$ en la ecuación?

$3x^2+5x$

Solución Paso a Paso

La ecuación cuadrática del problema ya está ordenada (es decir, todos los términos de un lado y 0 del otro lado), por lo que nos acercamos a responder la pregunta formulada:

En el problema se hizo la pregunta: ¿cuál es el valor del coeficiente $c$ en la ecuación?

Recordemos las definiciones de los coeficientes al resolver una ecuación cuadrática y la fórmula de las raíces:

La regla dice que las raíces de una ecuación de la forma

$ax^2+bx+c=0$ es:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Es decir el coeficiente
$c$ es el término libre- es decir, el coeficiente del término elevado a la potencia cero - $x^0$ (Y esto se debe a que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1:

$x^0=1$ )

Examinamos la ecuación del problema:

$3x^2+5x=0$ Tenga en cuenta que no hay ningún término libre en la ecuación, es decir, el valor numérico del término libre es 0, de hecho la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

$3x^2+5x+0=0$ y por lo tanto el valor del coeficiente $c$ es 0.

La respuesta correcta es la opción c.

Respuesta:

0

Solución en video

Ejercicio #5

¿Cuál es el valor del coeficiente $c$ en la ecuación?

$4x^2+9x-2$

Solución Paso a Paso

Respuesta:

-2

Solución en video

Preguntas Frecuentes

Todo lo que necesitas saber La función cuadrática

¿Cómo identifico si una función es cuadrática?

+

Una función es cuadrática si su exponente más alto es 2 y tiene la forma f(x) = ax² + bx + c donde a ≠ 0. Por ejemplo, f(x) = 3x² - 5x + 2 es cuadrática, pero f(x) = 2x³ + x² - 1 no lo es porque su exponente mayor es 3.

¿Cuáles son las tres formas de escribir una función cuadrática?

+

Las tres formas principales son: 1) Forma estándar: f(x) = ax² + bx + c, 2) Forma vértice: f(x) = a(x-p)² + k, y 3) Forma factorizada: f(x) = (x-r₁)(x-r₂). Cada forma es útil para diferentes propósitos matemáticos.

¿Cómo encuentro el vértice de una parábola?

+

Para encontrar el vértice puedes usar la fórmula x = -b/2a para la coordenada x, luego sustituir en la función para encontrar y. También puedes completar el cuadrado o usar la forma vértice directamente.

¿Qué significa que una función cuadrática sea incompleta?

+

Una función cuadrática incompleta es aquella donde falta el término lineal (b=0), el término independiente (c=0), o ambos. Por ejemplo: y = x², y = 2x² + 3, o y = x² - 4x son funciones incompletas.

¿Cuándo uso la fórmula cuadrática?

+

Usa la fórmula cuadrática x = (-b ± √(b²-4ac))/2a cuando necesites encontrar los ceros de una función cuadrática y la factorización es difícil o imposible. Es especialmente útil con coeficientes decimales o fraccionarios.

¿Cómo interpreto el discriminante b²-4ac?

+

El discriminante te dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación: si b²-4ac > 0 hay dos soluciones reales, si b²-4ac = 0 hay una solución real, y si b²-4ac < 0 no hay soluciones reales.

¿Qué representa gráficamente el coeficiente 'a' en f(x) = ax² + bx + c?

+

El coeficiente 'a' determina la abertura y dirección de la parábola. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba, si a < 0 abre hacia abajo. Valores grandes de |a| hacen la parábola más cerrada.

¿Cómo resuelvo sistemas de ecuaciones cuadráticas?

+

Puedes resolverlos por sustitución o igualación. Si una ecuación es lineal y otra cuadrática, despeja una variable de la lineal y sustitúyela en la cuadrática. Para dos ecuaciones cuadráticas, iguala las expresiones y resuelve la ecuación resultante.

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