La función cuadrática

🏆Ejercicios de la función y=ax^2+bx+c

f(x)=ax2+bx+c f\left(x\right)=ax^2+bx+c

Donde a0 a\ne0 , ya que si no aparece el coeficiente a a entonces no sería una función cuadrática.

La grafica de una función cuadrática siempre será una parábola.

Ejemplo 1:

f(x)=8x22x+4 f\left(x\right)=8x^2-2x+4

Es una función cuadrática o de segundo grado porque su exponente más grande es 2 2 .

Ejemplo 2:

f(x)=7x3+6x2+2x1 f\left(x\right)=-7x^3+6x^2+2x-1

Esta no es una función de segundo grado porque, si bien tiene un exponente 2 2 , su exponente más grande es 3 3 .

Función cuadrática

La ecuación de la función cuadrática básica es: y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

Esta forma de escribirlas se llama forma general de una función de segundo grado, en donde:

ax2 ax^2 se llama término al cuadrado, término cuadrático o término de segundo grado.

a a es el coeficiente del término cuadrático.

bx bx se llama término lineal o término de primer grado.

b b es el coeficiente del término lineal.

c c es el término independiente.

x x se llama la incognita de la función y representa el número o los números que hacen verdadera a la función o en este caso la ecuación.

Ejemplo:

f(x)=3x25x+2 f\left(x\right)=3x^2-5x+2

a=3 a=3 , b=5 b=-5 y c=2 c=2

Debemos de recordar que para que una ecuación sea de segundo grado, a a siempre tiene que ser distinto de cero.


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einstein

¿Cuál es el valor del coeficiente \( a \) en la ecuación?

\( -x^2+7x-9 \)

Quiz y otros ejercicios

Simetría

En algebra cuando hablamos de simetría, estamos hablando sobre una línea que divide a una figura exactamente a la mitad, entonces cuando estamos trabajando con funciones cuadráticas, ya habíamos mencionado que su grafica siempre será una parábola, por lo cual el eje de simetría será la recta que divide a la parábola a la mitad, es como si ese eje fuera un espejo y la parte del lado derecho se reflejara del lado izquierdo y viceversa.

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Las funciones y=x²

En la forma general de una función cuadrática mencionamos que existen tres términos: el término cuadrático, término lineal y el término independiente, a lo cual podemos decir que es una función cuadrática completa por tener todos sus términos, mas sin en cambio, esto no siempre será así, es decir podemos tener una función cuadrática incompleta donde le puede faltar el termino lineal o el termino independiente o incluso los dos términos, una función incompleta de la forma y=x2 y=x^2 significa que b=0 b=0 y c=0 c=0 . Esta es la forma más básica de una función cuadrática y su gráfica será una parábola con vértice en el origen del plano cartesiano, es decir, en (0,0) \left(0,0\right) .

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Familia de las parábolas y=x²+c : Desplazamiento vertical

En el caso de la familia de las parábolas y=x2+C y=x^2+C , ahora contamos con el termino cuadrático y el término independiente, gráficamente el término independiente es decir C C nos indicara si la gráfica de la parábola se desplaza hacia arriba o hacia abajo en el eje de las Y Y esto dependerá del valor de C C .

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Familia de las parábolas y=(x-p)²

A diferencia de las parábolas anteriores ahora el término de p p nos indicara que la parábola se moverá ahora en forma horizontal, solo que si p>0 p>0 entonces la parábola se moverá hacia izquierda (eje de las X X negativas) el valor de p p ; si p<0 p<0 , es decir, negativa, ahora se moverá hacia la derecha (eje de las X X positivas).

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¿Sabes cuál es la respuesta?

Familia de las parábolas y=(x-p)²+k (combinación de desplazamiento horizontal y vertical)

Esta familia de parábolas es la combinación de las dos anteriores, es decir; La parábola a su vez se desplazara hacia arriba o hacia abajo (en forma vertical) según el valor de K K . Y p p nos indicara si se desplaza hacia la derecha o izquierda (en forma horizontal).

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Forma estándar de la función cuadrática

Para que una función cuadrática este en su forma estándar, debe de contar con sus tres términos: Término cuadrático, término lineal y el término independiente, como se muestra a continuación:

f(x)=ax2+bx+c f\left(x\right)=ax^2+bx+c

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Comprueba que lo has entendido

Forma vértice de la función cuadrática

La forma vértice de una función cuadrática la podemos escribir de la siguiente manera:

f(x)=a(Xp)2+c f\left(x\right)=a\left(X-p\right)^2+c

De dicha función podemos encontrar las coordenadas del vértice de una parábola o la abertura de la misma.

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Forma factorizada de la función cuadrática

Como bien sabemos una factorización es escribir un término en una multiplicación, en el caso de una función cuadrática es similar, la forma factorizada se escribirá en forma de una multiplicación y en este caso nos ayuda a encontrar las intersecciones de la parábola en el eje X X . En otras palabras encontraremos los puntos en donde choca la parábola con el eje X X . La forma factorizada la podemos observar de la siguiente manera:

f(x)=(xt)×(xk) f\left(x\right)=\left(x-t\right)\times\left(x-k\right)

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¿Crees que podrás resolverlo?

Encontrar los puntos cero de una función cuadrática a través de su forma

Una función cuadrática se puede escribir de la siguiente manera:

f(x)=ax2+bx+c=0 f\left(x\right)=ax^2+bx+c=0

Podemos observar que la función esta igualada a cero por lo tanto podemos encontrar los puntos ceros, gráficamente serán las intersecciones de la parábola con el eje X X .Existen diversas maneras de encontrar estos puntos ceros, una de ellas será por el método de factorización o por el método de la fórmula general.


Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática

Ya mencionamos que una función cuadrática pueden ser de la forma completa o incompleta, esta última son aquellas cuando le hace falta alguno de los términos, ya sea el término lineal o el término independiente, pero nunca el término cuadrática, ya que sin falta este término ya no es una función cuadrática.

Cuando tenemos una ecuación incompleta, en el caso donde solo tenemos el término cuadrático y termino lineal, podemos completar el cuadrado por una serie de pasos. Esto es, encontrar un número de tal manera que se tengan los tres términos y que a su vez se pueda factorizar por el trinomio cuadrado perfecto y así encontrar las soluciones a la ecuación.

Si estás interesado, puedes dirigirte al siguiente enlace para más información sobre el tema: Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática


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Diversas formas de la función cuadrática

La forma estándar de una función cuadrática es:

f(x)=ax2+bx+c f\left(x\right)=ax^2+bx+c , Es decir es una función cuadrática completa

Donde:

ax2 ax^2 es el termino cuadrático

bx bx es el término lineal

c c es el término independiente

Pero existen diversas formas de funciones cuadráticas como lo son las incompletas:

  • Una de ellas es cuando el término lineal no existe, es decir, b=0 b=0
  • El término independiente no está o simplemente c=0 c=0
  • Solo se encuentra el término cuadrático, b=0 b=0 y c=0 c=0

También nos podemos encontrar con funciones cuadráticas en donde sus coeficientes sean números fraccionarios o decimales.

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La fórmula cuadrática

Para poder encontrar la solución de una ecuación cuadrática las podemos encontrar por factorización o por la fórmula cuadrática llamada también la fórmula general, esta fórmula nos ayudara a encontrar las soluciones o raíces que satisfacen la igualdad en la ecuación, gráficamente encontraremos en donde cortara en el eje X X o las intersecciones de la parábola con dicho eje. Los coeficientes de los términos que componen a la función cuadrática nos indican ciertas cosas en la gráfica de la parábola.

De la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 ax^2+bx+c=0

a a , b b y cc son coeficientes o en este caso los llamaremos parámetros, La fórmula cuadrática que nos ayudara a encontrar las raíces es:

X1,2=b±b24ac2a X_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4ac}}{2a}

Una ecuación cuadrática puede tener a lo más dos soluciones.

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¿Sabes cuál es la respuesta?

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Como en el caso de una ecuación lineal nos encontramos con sistemas de ecuaciones lineales en donde estudiamos diversos métodos para encontrar la solución al sistema, en el caso de ecuaciones cuadráticas también podemos trabajar con sistemas de ecuaciones cuadráticas en donde también debemos de encontrar los valores de X X y de Y Y de tal manera que las soluciones satisfagan a ambas ecuaciones. De manera gráfica este sistema de ecuaciones lo podemos observar como dos parábolas en donde encontremos las coordenadas de los dos puntos de intersección en el caso de tener dos soluciones, un punto de intersección al tener una única solución y por ultimo ningún punto de intersección cuando el sistema no tiene solución.

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Sistema de ecuaciones cuadráticas - Solución algebraica y gráfica

En un sistema de ecuaciones cuadráticas podemos encontrar su solución de forma algebraica y también gráficamente como lo hacíamos con los sistemas ecuaciones lineales. Cuando encontramos la solución de un sistema de ecuaciones cuadráticas por el método algebraico lo podemos hacer mediante igualación, mientras que gráficamente lo podemos observar con los puntos de intersección entre las dos parábolas, y decimos que dos sistemas de ecuaciones:

  • Tienen una única solución cuando las parábolas solo se intersectan en un solo punto.
  • Tienen dos soluciones cuando se pueden observar que hay dos puntos de intersección
  • Y no hay solución cuando no hay punto de intersección.

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Solución de un sistema de ecuaciones cuando una de ellas es lineal y la otra cuadrática

Nos podemos encontrar con sistemas de dos ecuaciones en donde una de ellas es lineal y la otra es cuadrática, este tipo de sistemas lo vamos a resolver por el método de sustitución, en donde despejaremos a la variable y y en la ecuación lineal y sustituimos este valor en la cuadrática, y posteriormente resolver la ecuación cuadrática resultante por la fórmula general. La solución o soluciones serán las intersecciones entre una línea recta y una parábola.

Si estás interesado, puedes dirigirte al siguiente enlace para más información sobre el tema: Solución de un sistema de ecuaciones cuando una de ellas es lineal y la otra cuadrática.


Intersección entre dos parábolas

Como bien dijimos anteriormente podemos encontrarnos con tres tipos de casos cuando queremos conocer la solución a un sistema de dos ecuaciones cuadráticas, cuando se grafican estas dos ecuaciones en el plano cartesiano nos dará pauta para encontrar la solución:

  • Tienen una única solución cuando las parábolas solo se intersectan en un solo punto.
  • Tienen dos soluciones cuando se pueden observar que hay dos puntos de intersección
  • Y no hay solución cuando no hay punto de intersección.

¿Crees que podrás resolverlo?

Problemas verbales

Cuando tenemos aplicación de problemas donde implican ecuaciones cuadráticas, debemos hacer uso del lenguaje algebraico, ¿Qué quiere decir esto? Cuando se nos presentan este tipo de problemas nosotros debemos de plantear nuestras ecuaciones usando los enunciados que se nos proporcionan de tal manera que ese lenguaje normal lo debemos de traducir al lenguaje algebraico e ir estructurando las ecuaciones y ente caso dos ecuaciones para formar nuestro sistema de ecuaciones y posteriormente encontrar la solución por cualquier método estudiados hasta el momento, y una vez que se tenga la solución al sistema de ecuaciones ahora si encontrar la solución correcta y viable al problema inicial.

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Desigualdad cuadrática

Ahora hablaremos sobre una desigualdad o inecuación, es decir, algo que no es igual, y en este caso no tendremos una o dos soluciones, si no que tendremos un conjunto solución, en donde la solución nos indicara en que rango de soluciones harán positiva o negativa una ecuación cuadrática. De la siguiente manera:

  • ax2+bx+c<0 ax^2+bx+c<0
  • ax2+bx+c>0 ax^2+bx+c>0

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Formas de presentar una función cuadrática

Una función cuadrática se puede presentar de la siguiente manera:

  • Algebraicamente: f(x)=ax2+bx+c f\left(x\right)=ax^2+bx+c
  • Numéricamente: tabulación
  • Gráficamente: Parábola.

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Formas de representar una función

Una función se puede presentar de cuatro formas:

  • Verbalmente
  • Algebraicamente (Función de relación)
  • Numéricamente (tabulación)
  • Gráficamente

Ejemplos y ejercicios con soluciones de la función cuadrática

Ejercicio #1

y=x2+10x y=x^2+10x

Solución

Aquí tenemos una ecuación cuadrática.

Una ecuación cuadrática siempre se construye así:

 

y=ax2+bx+c y = ax²+bx+c

 

Donde a, b y c generalmente ya los conocemos, y los puntos X e Y necesitan ser descubiertos.

En primer lugar, parece que en esta fórmula no tenemos la C,

Por lo tanto, entendemos que es igual a 0.

c=0 c = 0

 

a es el coeficiente de X², aquí no tiene coeficiente, por lo tanto

a=1 a = 1

 

b=10 b= 10

es el número que viene antes de la X que no está al cuadrado.

 

Respuesta

a=1,b=10,c=0 a=1,b=10,c=0

Ejercicio #2

y=2x25x+6 y=2x^2-5x+6

Solución

De hecho, una ecuación cuadrática se compone así:

y = ax²-bx-c

 

Es decir,

a es el coeficiente de x², en este caso 2.
b es el coeficiente de x, en este caso 5.
Y c es el número sin incógnita al final, en este caso 6.

Respuesta

a=2,b=5,c=6 a=2,b=-5,c=6

Ejercicio #3

¿Cuál es el valor del coeficiente b b en la ecuación?

3x2+8x5 3x^2+8x-5

Solución

La ecuación cuadrática del problema ya está ordenada (es decir, todos los términos de un lado y 0 del otro lado), por lo que nos acercamos a responder la pregunta formulada:

En el problema se hizo la pregunta: ¿cuál es el valor del coeficienteb b en la ecuación?

Recordemos las definiciones de los coeficientes al resolver una ecuación cuadrática y la fórmula de las raíces:

La regla dice que las raíces de una ecuación de la forma

ax2+bx+c=0 ax^2+bx+c=0 es :

x1,2=b±b24ac2a x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Es decir el coeficienteb b es el coeficiente del término en la primera potencia -x x Examinamos la ecuación del problema:

3x2+8x5=0 3x^2+8x-5 =0 Es decir, el número que multiplica a

x x es

8 8 Y entonces reconocemos a b, que es el coeficiente del término en la primera potencia, es el número8 8 ,

La respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

8

Ejercicio #4

¿Cuál es el valor del coeficiente c c en la ecuación?

3x2+5x 3x^2+5x

Solución

La ecuación cuadrática del problema ya está ordenada (es decir, todos los términos de un lado y 0 del otro lado), por lo que nos acercamos a responder la pregunta formulada:

En el problema se hizo la pregunta: ¿cuál es el valor del coeficientec c en la ecuación?

Recordemos las definiciones de los coeficientes al resolver una ecuación cuadrática y la fórmula de las raíces:

La regla dice que las raíces de una ecuación de la forma

ax2+bx+c=0 ax^2+bx+c=0 es:

x1,2=b±b24ac2a x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Es decir el coeficiente
c c es el término libre- es decir, el coeficiente del término elevado a la potencia cero -x0 x^0 (Y esto se debe a que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1:

x0=1 x^0=1 )

Examinamos la ecuación del problema:

3x2+5x=0 3x^2+5x=0 Tenga en cuenta que no hay ningún término libre en la ecuación, es decir, el valor numérico del término libre es 0, de hecho la ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

3x2+5x+0=0 3x^2+5x+0=0 y por lo tanto el valor del coeficientec c es 0.

La respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

0

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