¿Qué son las leyes logarítmicas?

logaritmos explicacion 2

Hay algunas leyes logarítmicas que vale la pena conocer para facilitar la resolución de problemas. Las siguientes leyes son las reglas principales que utilizará. Cabe señalar que las letras a, m, n deben ser números reales y positivos para que estas leyes tengan validez.

logaritmos formula
leyes logarítmicas

Valores constantes:

  • loga(1)=0 log_a\left(1\right)=0
  • loga(a)=1 log_a\left(a\right)=1

Operaciones aritméticas básicas

  • logaMN=logaM+logaN log_aMN=log_aM+log_aN
  • logaM/N=logaMlogaN log_aM/N=log_aM-log_aN
  • Loga(M)×Logn(D)=Logn(M)×Loga(D) Log_a\left(M\right)\times Log_n\left(D\right)=Log_n\left(M\right)\times Log_a\left(D\right)
  • LogaMn=nLogaM Log_aM^n=nLog_aM

Cambiar la base del logaritmo:

  • logb(x)=logc(x)/logc(b) log_b\left(x\right)=log_c\left(x\right)/log_c\left(b\right)
  • logb(c)=1/logc(b) log_b\left(c\right)=1/log_c\left(b\right)

Derivada del logaritmo:

fx=logb(x)fx=1/xln(b) fx=log_b\left(x\right)⇒f^{\prime}x=1/xln(b)

Integral del logaritmo:

logb(x)dx=x×logb(x)1/ln(b)+C ∫log_b\left(x\right)dx=x\times log_b\left(x\right)-1/ln\left(b\right)+C

Practicar Leyes de los logaritmos

ejemplos con soluciones para Leyes de los logaritmos

Ejercicio #1

2log82+log83= 2\log_82+\log_83=

Solución en video

Solución Paso a Paso

2log82=log822=log84 2\log_82=\log_82^2=\log_84

2log82+log83=log84+log83= 2\log_82+\log_83=\log_84+\log_83=

log843=log812 \log_84\cdot3=\log_812

Respuesta

log812 \log_812

Ejercicio #2

3log49+8log413= 3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

En donde:

3log49=log493=log4729 3\log_49=\log_49^3=\log_4729

y

8log413=log4(13)8= 8\log_4\frac{1}{3}=\log_4\left(\frac{1}{3}\right)^8=

log4138=log416561 \log_4\frac{1}{3^8}=\log_4\frac{1}{6561}

Por lo tanto

3log49+8log413= 3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=

log4729+log416561 \log_4729+\log_4\frac{1}{6561}

logax+logay=logaxy \log_ax+\log_ay=\log_axy

(72916561)=log419 \left(729\cdot\frac{1}{6561}\right)=\log_4\frac{1}{9}

log491=log49 \log_49^{-1}=-\log_49

Respuesta

log49 -\log_49

Ejercicio #3

12log24×log38+log39×log37= \frac{1}{2}\log_24\times\log_38+\log_39\times\log_37=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Descomponemos en partes

log24=x \log_24=x

2x=4 2^x=4

x=2 x=2

log39=x \log_39=x

3x=9 3^x=9

x=2 x=2

Reemplazamos en la ecuación

122log38+2log37= \frac{1}{2}\cdot2\log_38+2\log_37=

1log38+2log37= 1\cdot\log_38+2\log_37=

log38+log372= \log_38+\log_37^2=

log38+log349= \log_38+\log_349=

log3(849)=log3392 \log_3\left(8\cdot49\right)=\log_3392 x=2 x=2

Respuesta

log3392 \log_3392

Ejercicio #4

14log61296log612log63= \frac{1}{4}\cdot\log_61296\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Descomponemos en partes

log61296=x \log_61296=x

6x=1296 6^x=1296

x=4 x=4

144log612log63= \frac{1}{4}\cdot4\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=

log612log63= \log_6\frac{1}{2}-\log_63=

log6(12:3)=log616 \log_6\left(\frac{1}{2}:3\right)=\log_6\frac{1}{6}

log616=x \log_6\frac{1}{6}=x

6x=16 6^x=\frac{1}{6}

x=1 x=-1

Respuesta

1 -1

Ejercicio #5

log7x4log72x2=3 \log_7x^4-\log_72x^2=3

?=x

Solución en video

Solución Paso a Paso

logaxlogay=logaxy \log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}

log7x4log72x2= \log_7x^4-\log_72x^2=

log7x42x2=3 \log_7\frac{x^4}{2x^2}=3

73=x22 7^3=\frac{x^2}{2}

Multiplicamos por: 2 2

273=x2 2\cdot7^3=x^2

Extraemos la raíz

x=680=714 x=\sqrt{680}=7\sqrt{14}

x=680=714 x=-\sqrt{680}=-7\sqrt{14}

Respuesta

714  , 714 -7\sqrt{14\text{ }}\text{ , }7\sqrt{14}

Ejercicio #6

log7x+log(x+1)log7=log2xlogx \log7x+\log(x+1)-\log7=\log2x-\log x

?=x ?=x

Solución en video

Solución Paso a Paso

Domino de definición

x>0

x+1>0

x>-1

log7x+log(x+1)log7=log2xlogx \log7x+\log\left(x+1\right)-\log7=\log2x-\log x

log7x(x+1)7=log2xx \log\frac{7x\cdot\left(x+1\right)}{7}=\log\frac{2x}{x}

Reducimos por: 7 7 y por X X

x(x+1)=2 x\left(x+1\right)=2

x2+x2=0 x^2+x-2=0

(x+2)(x1)=0 \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0

x+2=0 x+2=0

x=2 x=-2

No dominio de definición x>0

x1=0 x-1=0

x=1 x=1

Dominio de definición

Respuesta

1 1

Ejercicio #7

log23x×log58=log5a+log52a \log_23x\times\log_58=\log_5a+\log_52a

Dado a>0 , exprese a X mediante a

Solución en video

Solución Paso a Paso

Respuesta

2a2273 \sqrt[3]{\frac{2a^2}{27}}

Ejercicio #8

2log38= 2\log_38=

Solución en video

Respuesta

log364 \log_364

Ejercicio #9

3log76= 3\log_76=

Solución en video

Respuesta

log7216 \log_7216

Ejercicio #10

1log49= \frac{1}{\log_49}=

Solución en video

Respuesta

log94 \log_94

Ejercicio #11

log85log89= \frac{\log_85}{\log_89}=

Solución en video

Respuesta

log95 \log_95

Ejercicio #12

log103+log104= \log_{10}3+\log_{10}4=

Solución en video

Respuesta

log1012 \log_{10}12

Ejercicio #13

log24+log25= \log_24+\log_25=

Solución en video

Respuesta

log220 \log_220

Ejercicio #14

log29log23= \log_29-\log_23=

Solución en video

Respuesta

log23 \log_23

Ejercicio #15

log49×log137= \log_49\times\log_{13}7=

Solución en video

Respuesta

log139×log47 \log_{13}9\times\log_47