Logaritmos

🏆Ejercicios de leyes de los logaritmos

¿Qué son las leyes logarítmicas?

logaritmos explicacion 2

Hay algunas leyes logarítmicas que vale la pena conocer para facilitar la resolución de problemas. Las siguientes leyes son las reglas principales que utilizará. Cabe señalar que las letras a, m, n deben ser números reales y positivos para que estas leyes tengan validez.

logaritmos formula

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¡Pruébate en leyes de los logaritmos!

einstein

\( \log_{10}3+\log_{10}4= \)

Quiz y otros ejercicios

Estas son las reglas:

Valores constantes:

Se puede determinar automáticamente que:

  • loga(1)=0 log_a\left(1\right)=0
  • loga(a)=1 log_a\left(a\right)=1

Operaciones aritméticas básicas

Operaciones de multiplicación, división, resta y suma entre logaritmos:

  • logaMN=logaM+logaN log_aMN=log_aM+log_aN
  • logaM/N=logaMlogaN log_aM/N=log_aM-log_aN
  • Loga(M)×Logn(D)=Logn(M)×Loga(D) Log_a\left(M\right)\times Log_n\left(D\right)=Log_n\left(M\right)\times Log_a\left(D\right)
  • LogaMn=nLogaM Log_aM^n=nLog_aM

Cambiar la base del logaritmo:

Se debe tener en cuenta que en las calculadoras el valor predeterminado es un logaritmo basado en 10 10 . Pero a veces queremos calcular un algoritmo en una base diferente a 10 10 . Por ejemplo, ¿qué pasa si queremos saber a qué potencia tenemos que elevar a 2 2 para obtener el número 4 4 ? (La respuesta es, por supuesto, 2 2 , porque 2 2 elevado a 2 2 es igual a 4 4 ). Para realizar este cambio se debe utilizar el cambio de base del algoritmo. Hay dos maneras de hacer esto:

  • logb(x)=logc(x)/logc(b) log_b\left(x\right)=log_c\left(x\right)/log_c\left(b\right)
  • logb(c)=1/logc(b) log_b\left(c\right)=1/log_c\left(b\right)

Derivada del logaritmo:

fx=logb(x)fx=1/xln(b) fx=log_b\left(x\right)⇒f^{\prime}x=1/xln(b)


Integral del logaritmo:

logb(x)dx=x×logb(x)1/ln(b)+C ∫log_b\left(x\right)dx=x\times log_b\left(x\right)-1/ln\left(b\right)+C


logaritmos ejemplo

calculo de logaritmo mentalmente

calculo de logaritmo mentalmente 2


Métodos para calcular logaritmos

Existe un método principal para calcular logaritmos en la escuela secundaria, basado en la definición del término log. Como se mencionó, log es en realidad una operación inversa a una potencia normal. Por lo tanto, si queremos averiguar qué es log39 \log_39 tendremos que preguntarnos, "¿cuánto en la potencia de tres que valdría nueve?" Y descubriremos que la respuesta es dos. En otras palabras, podemos marcar la respuesta con una X X y crear una ecuación:

log39=X \log_39=X

Podemos decir que: 3X=9 3^X=9

Y crea una ecuación exponencial simple para la solución.

En ejercicios más complicados, se deben usar las leyes logarítmicas anteriores para simplificar la solución.

Por ejemplo: tome el logaritmo

logX125=3 log_X125=3

De acuerdo con la Ley Logarítmica podemos decir que:

X3=125 X^3=125 Y así podemos saber que X=5 X=5

Con un poco de práctica, verá que resolver logaritmos no es tan aterrador ni amenazante como parece, y como todo en matemáticas, ¡la práctica y la comprensión son el nombre del juego!


Funciones exponenciales

Primero, para entender qué son los logaritmos, uno debe entender qué es una función exponencial. Una función exponencial es una de las funciones más útiles del lenguaje matemático y expresa interesantes procesos de crecimiento y decrecimiento. Debido a la gran importancia de la función exponencial es uno de los temas importantes en el estudio de las matemáticas. Una función exponencial es en realidad una función de tipo aXa ^ X, donde a es la base de la función.

Una función exponencial conocida es una función basada en el número e, que es una constante matemática igual al valor 2.718282.71828 . Esta función es especial por varias razones, una de las cuales es que su derivada es igual a sí misma.

Una función logarítmica es lo opuesto a la función exponencial, y de hecho responde a la pregunta: "¿A qué potencia necesitamos elevar un número dado para obtener otro número dado?", por ejemplo, si quiero saber a qué potencia se necesita elevar a 1010 para obtener el número 100100, en la calculadora: log100100. El resultado será 22, ya que 1010 elevado a 22 es 100100.


logarithm foto

Logaritmo natural

Hasta el momento solo hemos visto lo que es el logaritmo común, pero hay otro tipo de logaritmo, el cuál se le conoce como logaritmo natural, y este logaritmo es la función inversa de la exponencial. Es decir el logaritmo natural tiene una base e e , esta base es un numero irracional el cual es una constante y su valor es:

e=2.71828182 e=2.71828182\ldots

Y el logaritmo natural, lo podemos representar como:

lnx=y \ln x=y

Propiedades del logaritmo natural

  • ln1=0 \ln1=0

Esto aunque el logaritmo no tiene base como tal se sobre entiende que su base es e e , entonces debemos de elevar a cero a e e para que nos de como resultado 1 1 .

e0=1 e^0=1

  • lne=1 \ln e=1

Esto lo podemos ver como: e1=e e^1=e

  • lnex=x \ln e^x=x
  • elnx=x e^{\ln x}=x

Estas dos propiedades por ser operaciones inversas.


Ejercicios de leyes logarítmicas

Ejercicio 1:

Consigna

40 40% es igual a 2 2 ¿Cuál es la parte entera?

Solución

Para saber el número entero, multiplicamos por 100 100 un número fraccionario y dividido por el número de porcentajes

100240%=20040=204=5 \frac{100\cdot2}{40\%}=\frac{200}{40}=\frac{20}{4}=5

Respuesta

5 5


Ejercicio 2:

Consigna

3log49+8log413= 3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=

Solución

En donde:

3log49=log493=log4729 3\log_49=\log_49^3=\log_4729

y

8log413=log4(13)8= 8\log_4\frac{1}{3}=\log_4\left(\frac{1}{3}\right)^8=

log4138=log416561 \log_4\frac{1}{3^8}=\log_4\frac{1}{6561}

Por lo tanto

3log49+8log413= 3\log_49+8\log_4\frac{1}{3}=

log4729+log416561 \log_4729+\log_4\frac{1}{6561}

logax+logay=logaxy \log_ax+\log_ay=\log_axy

(72916561)=log419 \left(729\cdot\frac{1}{6561}\right)=\log_4\frac{1}{9}

log491=log49 \log_49^{-1}=-\log_49

Respuesta

log49 -\log_49


Ejercicio 3:

Consigna

2log82+log83= 2\log_82+\log_83=

Solución

2log82=log822=log84 2\log_82=\log_82^2=\log_84

2log82+log83=log84+log83= 2\log_82+\log_83=\log_84+\log_83=

log843=log812 \log_84\cdot3=\log_812

Respuesta

log812 \log_812


Ejercicio 4:

Consigna

12log24×log38+log39×log37= \frac{1}{2}\log_24\times\log_38+\log_39\times\log_37=

Solución

Descomponemos en partes

log24=x \log_24=x

2x=4 2^x=4

x=2 x=2

log39=x \log_39=x

3x=9 3^x=9

x=2 x=2

Reemplazamos en la ecuación

122log38+2log37= \frac{1}{2}\cdot2\log_38+2\log_37=

1log38+2log37= 1\cdot\log_38+2\log_37=

log38+log372= \log_38+\log_37^2=

log38+log349= \log_38+\log_349=

log3(849)=log3392 \log_3\left(8\cdot49\right)=\log_3392

Respuesta

log3392 \log_3392


Ejercicio 5:

Consigna

14log61296log612log63= \frac{1}{4}\cdot\log_61296\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=

Solución

Descomponemos en partes

log61296=x \log_61296=x

6x=1296 6^x=1296

x=4 x=4

144log612log63= \frac{1}{4}\cdot4\cdot\log_6\frac{1}{2}-\log_63=

log612log63= \log_6\frac{1}{2}-\log_63=

log6(12:3)=log616 \log_6\left(\frac{1}{2}:3\right)=\log_6\frac{1}{6}

log616=x \log_6\frac{1}{6}=x

6x=16 6^x=\frac{1}{6}

x=1 x=-1

Respuesta

1 -1


Ejercicio 6:

Consigna

log7x4log72x2=3 \log_7x^4-\log_72x^2=3

Halla a X X

Solución

logaxlogay=logaxy \log_ax-\log_ay=\log_a\frac{x}{y}

log7x4log72x2= \log_7x^4-\log_72x^2=

log7x42x2=3 \log_7\frac{x^4}{2x^2}=3

73=x22 7^3=\frac{x^2}{2}

Multiplicamos por: 2 2

273=x2 2\cdot7^3=x^2

Extraemos la raíz

x=680=714 x=\sqrt{680}=7\sqrt{14}

x=680=714 x=-\sqrt{680}=-7\sqrt{14}

Respuesta

714  , 714 -7\sqrt{14\text{ }}\text{ , }7\sqrt{14}


Ejercicio 7:

Consigna

log23x×log58=log5a+log52a \log_23x\times\log_58=\log_5a+\log_52a

Dado a>0 a>0 , exprese a X X mediante a a

Solución

log28=a \log_28=a

2a=8 2^a=8

a=3 a=3

Dominio de definición

3x>0 3x>0

x>0 x>0

log23xlog58=log5a+log52a \log_23x\cdot\log_58=\log_5a+\log_52a

log5xlog28=log5(a2a) \log_5x\cdot\log_28=\log_5\left(a\cdot2a\right)

log5x3=log52a2 \log_5x\cdot3=\log_52a^2

log5x3=log52a2 \log_5x^3=\log_52a^2

x3=2a2 x^3=2a^2

Dividir por: raíz 3 3

x=2a23 x=\sqrt[3]{2a^2}

a>0 a>0

x>0 x>0

Ingresar a dominio de definición

Respuesta

2a23 \sqrt[3]{2a^2}


Ejercicio 8:

Consigna

log7x+log(x+1)log7=log2xlogx \log7x+\log(x+1)-\log7=\log2x-\log x

¿Cuánto vale X X ?

Solución

Domino de definición

x>0 x>0

x+1>0 x+1>0

x>1 x>-1

log7x+log(x+1)log7=log2xlogx \log7x+\log\left(x+1\right)-\log7=\log2x-\log x

log7x(x+1)7=log2xx \log\frac{7x\cdot\left(x+1\right)}{7}=\log\frac{2x}{x}

Reducimos por: 7 7 y por X X

x(x+1)=2 x\left(x+1\right)=2

x2+x2=0 x^2+x-2=0

(x+2)(x1)=0 \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0

x+2=0 x+2=0

x=2 x=-2

No dominio de definición x>0 x>0

x1=0 x-1=0

x=1 x=1

Dominio de definición

Respuesta

1 1


Preguntas de repaso

¿Cuáles son los elementos de un logaritmo?

La función logaritmo tiene cuatro elementos:

logax=b \log_ax=b

En donde:

log \log es su símbolo

x x es el argumento del logaritmo

a a es la base del logaritmo

b b es el resultado del logaritmo

Se lee: “El Logaritmo en base a a de x x es igual a b b


¿Cuál es la relación entre la función exponencial y la función logarítmica y algunos ejemplos?

Un logaritmo es la operación inversa de la función exponencial, hay que recordar que todas las operaciones tienen una operación inversa, en este caso toda función logarítmica la podemos relacionar con una exponencial.

Ejemplo 1:

Calcular

log416= \log_416=

Debemos de buscar un número el cual deberá ser el exponente que debe de tener la base 4 4 para obtener el argumento del logaritmo que es 1616, en este caso el resultado será 2 2 , ya que

42=16 4^2=16

Resultado

2 2

Ejemplo 2:

Calcular

log8512= \log_8512=

Ahora debemos de buscar el exponente que debe de tener la base 8 8 para obtener como resultado el argumento del logaritmo, en este caso el resultado es 3 3 , porque:

83=512 8^3=512

Resultado

3 3

De estos ejemplos podemos concluir la relación muy estrecha que tiene la función logaritmo y la función exponencial.


¿Para qué sirve un logaritmo?

Un logaritmo sirve para determinar cuál será el número que debe tener como potencia la base del logaritmo para poder obtener el argumento.


¿Qué es un logaritmo y ejemplos?

Como bien lo dijimos ya, un logaritmo es la operación inversa de una exponencial. Por lo tanto la función logaritmo es aquella función donde se debe de calcular el número del exponente que debe de tener la base para que nos dé, el número del argumento, aquí presentaremos algunos ejemplos:

Ejemplos:

  • log72401=4 \log_72401=4

Ya que, 74=2401 7^4=2401

  • log232=5 \log_232=5

Como 25=32 2^5=32

  • log9729=3 \log_9729=3

Esto porque: 93=729 9^3=729

  • log100=2 \log_{}100=2

En este último ejemplo el logaritmo no tiene la base explicita, pero cuando un logaritmo no tiene como tal a la base, nosotros debemos de dar por hecho que es un logaritmo base 10 10 , por lo tanto la respuesta a este logaritmo es 2 2 , ya que 102=100 10^2=100 .


¿Cuáles son las leyes de logaritmos, ejemplos?

Veamos algunas de las leyes de los logaritmos:

  • loga1=0 \log_a1=0
  • logaa=1 \log_aa=1
  • alogax=x a^{\log_ax}=x , esto por ser funciones inversas.
  • logam+logan=loga(m×n) \log_am+\log_an=\log_a\left(m\times n\right)
  • logamlogan=loga(mn) \log_am-\log_an=\log_a\left(\frac{m}{n}\right)
  • logaxr=rlogax \log_ax^r=r\log_ax

Cabe mencionar que no existen logaritmos de números negativos, ni de bases negativas y tampoco existe el logaritmo de cero.

Ejemplos donde podemos aplicar estas leyes

Ejemplo 1:

log88=1 \log_88=1

Y es que esta ley es demasiado obvia ya que 81=8 8^1=8 , por lo tanto el exponente debe ser 1 1 , para poder obtener el argumento de la función logaritmo. Y es por eso que la ley 2 2 que se tiene arriba significa que si se tiene un logaritmo con misma base y argumento siempre el resultado será 1 1 .

Ejemplo 2:

Encontrar el valor de x x , en la siguiente ecuación logarítmica

log3x+log327=5 \log_3x+\log_327=5

Podemos usar la suma de logaritmos y obtenemos:

log327x=5 \log_327x=5

Usamos la tercera ley mencionada arriba:

3log327x=35 3^{\log_327x}=3^5

Tenemos:

27x=243 27x=243

De aquí despejamos x x

x=24327=9 x=\frac{243}{27}=9

Por lo tanto el valor de x=9 x=9

Y podemos hacer la comprobación:

log3x+log327=5 \log_3x+\log_327=5 , aquí sustituimos el valor que hemos encontrado de x=9 x=9

log39+log327=5 \log_39+\log_327=5 y como bien sabemos:

log39=2 \log_39=2 y

log327=3 \log_327=3 , entonces;

log3x+log327=2+3=5 \log_3x+\log_327=2+3=5

Resultado

x=9 x=9

La otra manera de resolver este ejercicio es la siguiente:

log3x+log327=5 \log_3x+\log_327=5

De aquí podemos calcular el segundo logaritmo:

log327=3 \log_327=3 , entonces sustituimos este valor

(log3x)+3=5 \left(\log_3x\right)+3=5

De aquí despejamos al logaritmo:

log3x=53 \log_3x=5-3

log3x=2 \log_3x=2

Entonces aquí ya tenemos el exponente que debe tener la base 3 3 , su exponente debe ser 2 2 , por lo tanto 32=9 3^2=9 , y de aquí obtenemos el argumento del algoritmo, es decir el valor de x x

O usando la ley 3 3 tenemos

3log3x=32 3^{\log_3x}=3^2

x=9 x=9

Resultado

x=9 x=9


¿Cuál es la diferencia entre el logaritmo común y un logaritmo natural?

La diferencia en si solo es la base, ya que el logaritmo común tiene base 10 10 : log10 \log_{10} y el logaritmo natural tiene base e e

lne \ln_e

Aunque en realidad los dos logaritmos no tienen implicitas sus bases, se debe de sobre entender cada una de las bases.

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