Potencia con exponente cero

Cuando veamos un número que no sea \( 0 \) elevado a cero, el resultado será \( 1 \).
Fórmula de la propiedad:

\(a^0=1\)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

imagen de Potencia con exponente cero

Ejemplos con explicaciones de potencia con exponente cero:

Ejemplos:
\(5^0=1\)
\((-2)^0=1\)
\(x^0=1\)


La propiedad del exponente cero es simple y fácil ya que, más allá del número o incógnita que haya (a excepción de \( 0 \)), al elevarlo a \( 0 \) dará \( 1 \).

Sin embargo, como cualquier cosa en la vida, cuando entendemos su lógica se nos hace más fácil recordarlo.

Por eso, hablemos un poco de la lógica que hay en esta prioridad.

Te prometemos que valdrá la pena.

¿Por qué todo número elevado a \( 0 \) es igual a \( 1 \)?

Esta propiedad es bastante intuitiva por el simple hecho de que, si observamos que cualquier base va creciendo al elevarla a diferentes potencias, si retrocedemos veremos que cuanto más pequeño sea el exponente la base disminuirá relativamente.


Por ejemplo, si tomamos la base \( 2 \):

\( 2^1,2^2,2^3,2^4 \).......

El valor se duplica a la vez que el exponente va creciendo de a uno:

\( 2,4,8,16.... \)

Ahora nos preguntaremos ¿qué pasaría si disminuyéramos el exponente de \( 2^1 \) en una unidad y comenzáramos desde \( 2^0 \)?

El valor disminuye a la mitad ¿cierto?

De \( 2 \) pasaría a ser \( 1 \).

Por eso nos resulta muy lógico pensar que \( 2^0=1 \)


Otra manera por la que podemos ver la lógica que hay detrás de esta propiedad es observando la próxima expresión

Cuando \( a≠0 \):

\( \frac{a^n}{a^n} \)

Sabemos que cualquier número dividido por sí mismo es igual a \( 1 \), por lo tanto, es cierto que:

\( \frac{a^n}{a^n}=1 \)

Además, hemos aprendido que si tenemos una fracción con bases iguales podemos restar los exponentes.

O sea, nos dará:

\( \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n} \)

Veamos qué obtuvimos: \( a^{n-n} \)

Observemos la potencia, todo número restado por sí mismo da \( 0 \). Por consiguiente, esto nos da:

\( \frac{a^n}{a^n}=1 \)

Presta atención a que previamente hemos recordado que:

\( \frac{a^n}{a^n}=1 \)

y que acorde a la relación transitiva nos da:

\( \frac{a^n}{a^n}=1=a^0 \)

Veamos ejemplos del uso de esta propiedad como parte del ejercicio:

\( \frac{X^{890\times 0}}{3}\times \frac{3}{2}= \)

Observemos cuidadosamente el siguiente ejercicio. Nos daremos cuenta de que el primer paso que tenemos que hacer es multiplicar los exponentes que están separados por operaciones de multiplicar.

Obtendremos:

\( \frac{X^0}{3}\times \frac{3}{2}= \)

Recordemos la propiedad que impone que todo término elevado a \( 0 \) (a excepción del \( 0 \)) es igual a \( 1 \), por lo tanto, también en el caso de tratarse de una incógnita, siempre y cuando la \( X \) no equivalga a \( 0 \), el resultado será \( 1 \). Obtendremos:

\( \frac{1}{3}\times \frac{3}{2}= \)

Ahora multiplicaremos las fracciones normalmente para tener una sola fracción:

\( \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \)

Veamos otro ejemplo un poco engañoso:

\( \frac{0^{-4}\times 5^0\times 2^2}{1^0}= \)

Si prestamos atención no nos dejaremos engañar para nada y ¡resolveremos el ejercicio de forma correcta!

Comencemos por el primer término, \( 0 \) elevado a cualquier potencia (fuera de \( 0 \)) nos dará \( 0 \), por lo tanto, el primer término equivale a \( 0 \).

¡Detente ya! Puedes continuar mirando todo el ejercicio.... pero, cuando ya sabemos que tenemos un \( 0 \) en el numerador que se multiplica por todos los demás términos del numerador, entendemos que toda la expresión equivale a \( 0 \).

No influye para nada que el denominador equivalga a \( 1 \), como deducimos acorde a la propiedad, o que: \( 5^0 \) también equivalga a \( 1 \).

asi que:

\( \frac{0^{-4}\times 5^0\times 2^2}{1^0}= \)

Ahora veamos un ejemplo en el cual deberás despejar la \( X \) y tendrás que hacerlo usando esta propiedad:

\( 47668.786^X=1 \)

Es probable que esta ecuación parezca difícil y extremadamente complicada, pero, si recordamos que todo número con exponente \( 0 \) equivale a \( 1 \), deduciremos que la incógnita \( X \) que estamos buscando no puede ser otra cosa que \( 0 \).

asi que:

\( X=0 \)

Información útil:

Si tomamos el \( 0 \) y lo elevamos a la potencia de \( 0 \) nos dará una expresión indefinida.


Ejercicios de potencia con exponente cero:

Ejercicio 1:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 5^0= \)

Solución:

Todo número con exponente cero es igual a \( 1 \)

Respuesta:

\( 5^0= 1\)


Ejercicio 2:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( X^0=? \)

Solución:

También cuando nos referimos a incógnitas, todo número con exponente \( 0 \) todavía vale \( 1 \).

Respuesta:

\( X^0=1 \)


Ejercicio 3:

Simplifica la siguiente expresión:

\( \frac{4\cdot2}{2^3} \)

Solución:

Escribimos \(4 \) como \(2^2 \) y aplicamos la ley del producto de potencias de la misma base en el numerador, así obtenemos:

\(\frac{2^2\cdot2}{2^3}=\frac{2^3}{2^3} \)

Finalmente, aplicamos la ley del cociente y la ley del exponente cero para obtener el resultado

\(2^{3-3}=2^0=1 \)

Respuesta:

\( \frac{4\cdot2}{2^3} =1 \)


Ejercicio 4:

Calcula el valor de:

\( 3^{7-2-1+3-5+2-4} \)

Solución:

Agrupamos los números positivos y negativos que se encuentran en el exponente, sumamos los números con mismo signo y obtenemos:

\(3^{7+3+2-2-1-5-4} = 3^{12-12} =3^{0}=1\)

Notemos que el resultado es \( 1 \), debido a que obtuvimos una potencia de exponente cero.

Respuesta:

\( 3^{7+3+2-2-1-5-4} =1 \)


Ejercicio 5:

Hallar el valor de \( X \):

\( 5^{x+2}-25=0 \)

Solución:

Sumamos en ambos miembros de la igualdad \(25\) y obtenemos:

\( 5^{x+2}=25\)

Escribimos \( 25\) como \( 5^2\), y dividimos ambos lados de la igualdad por dicho número. Así resulta:

\( \frac{5^{x+2}}{5^2}=\frac{5^2}{5^2} \)

\( 5^{x+2-2}=1 \)

\( 5^{x}=1 \)

De la última igualdad, podemos deducir que \( x=0 \), debido a que un número distinto de cero elevado a la cero es igual a \( 1\).

Respuesta:

\(x=0 \)


Preguntas de Repaso

¿Qué pasa cuando el exponente es cero?

Si un número diferente de cero es elevado a la cero, el resultado es 1. Para comprobar este resultado podemos aplicar por un lado la ley de los exponentes para cocientes de la misma base y por otro lado usar el echo de que si en un cociente el numerador y el denominador son iguales el resultado es \( 1 \).


¿Qué pasa cuando el exponente es menos \( 1 \)?

Cuando un número distinto de cero se eleva a menos \( 1 \), entonces obtenemos el inverso multiplicativo de dicho número

\( a^{-1}=\frac{1}{a} \)


¿Por qué \( 0 \) elevado a \( 0 \) es \( 1 \)?

En general no hay un consenso sobre el resultado de \( 0 \) elevado a la \( 0 \), en algunas ramas de la matemática está expresión vale \( 1 \), mientras que en otras el resultado de la expresión no está definido.