Ejemplos, ejercicios y soluciones del área del paralelogramo

¿Quieres aprender cómo se calcula el superficie de un paralelogramo?

¡Lo primordial en el estudio de las matemáticas, como ya lo sabes, es la práctica!
En esta página encontrarás más de 5 ejemplos y ejercicios con soluciones sobre el área del paralelogramo para que puedas practicar por tu cuenta y profundizar tus conocimientos.

🏆Ejercicios de área de un paralelogramo

¿Por qué es importante que sepas cómo se calcula el área del paralelogramo?

Incluso si ya estudiamos la fórmula para calcular el área de un paralelogramo y estamos seguros de haber entendido el asunto en general, ¡es fundamental que intentes resolver ejercicios por tu cuenta!
Vale la pena experimentar tantos tipos de preguntas como sea posible y analizar la mayor cantidad de ejemplos sobre paralelogramos.
Solo practicando y resolviendo un amplio número de preguntas y ejercicios con superficie de un paralelogramo, podrás asimilar a fondo el tema y adquirirás las herramientas necesarias para enfrentar cualquier desafío por tus propios medios.

Preguntas básicas

Ejemplos y ejercicios con soluciones del área del paralelogramo

Ejercicio #1

Calcula el área del paralelogramo según los datos.

101010777AAABBBCCCDDDEEE

Solución

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, según las propiedades del mismo todo par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Por lo tanto CD=AB=10 CD=AB=10

Calculamos el área del paralelogramo según la fórmula de lado por la altura que desciende de ese lado, por lo tanto el área del paralelogramo es igual a:

SABCD=10×7=70cm2 S_{ABCD}=10\times7=70cm^2

Respuesta

70

Ejercicio #2

Dado el paralelogramo de la figura

El área es igual a 70 cm²

Encuentra a DC

555AAABBBCCCDDDEEE

Solución

La fórmula del área de un paralelogramo:

Altura * El lado al que desciende de la altura.

Reemplazamos en la fórmula todos los datos conocidos, incluyendo el área:

5*DC = 70

Dividimos por 5:

DC = 70/5 = 14

¡Y así es como revelamos a la incógnita!

Respuesta

14 14 cm

Ejercicio #3

Dado el paralelogramo de la figura

El área es igual a 40 cm²

Encuentra a AE

888AAABBBCCCDDDEEE

Solución

Dado que ABCD es un paralelogramo,AB=CD=8 AB=CD=8 Según las propiedades del paralelogramo, cada par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Para encontrar AE utilizaremos el área que nos dan en la fórmula para hallar el área del paralelogramo:

S=DC×AE S=DC\times AE

40=8×AE 40=8\times AE

Dividimos ambos lados de la ecuación por 8:

8AE:8=40:8 8AE:8=40:8

AE=5 AE=5

Respuesta

5 5 cm

Ejercicio #4

ABCD paralelogramo, se sabe que:

BE es perpendicular a DE

BF es perpendicular a DF

BF=8 BE=4 AD=6 DC=12

Calcula el área del paralelogramo de 2 maneras distintas

121212666444888AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución

En este ejercicio se nos dan dos alturas y dos lados.

Es importante tener en cuenta: La altura exterior también se puede utilizar para calcular el área

Por lo tanto podemos realizar la operación del siguiente ejercicio:

La altura BF * el lado AD

8*6

 

La altura BE el lado DC
4
12

 La solución de estos dos ejercicios es 48, que es el área del paralelogramo.

 

Respuesta

48 cm²

Ejercicio #5

Dado ABCD paralelogramo

CE es la altura del lado AB

CB=5
AE=7
EB=2

777555AAABBBCCCDDDEEE2

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Solución

Para hallar el área,

primero, se debe hallar la altura del paralelogramo.

Para concluir, observemos el triángulo EBC,

debido a que sabemos que es un triángulo rectángulo (porque es la altura del paralelogramo)

y se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

a2+b2=c2 a^2+b^2=c^2

En este caso: EB2+EC2=BC2 EB^2+EC^2=BC^2

Colocamos la información dada: 22+EC2=52 2^2+EC^2=5^2

Aislamos la variable:EC2=52+22 EC^2=5^2+2^2

Resolvemos:EC2=254=21 EC^2=25-4=21

EC=21 EC=\sqrt{21}

Ahora solo queda calcular el área.

Es importante recordar que para ello se debe utilizar la longitud de cada lado.
Es decir AE+EB=2+7=9

21×9=41.24 \sqrt{21}\times9=41.24

Respuesta

41.24

Ejercicio #6

ABCD paralelogramo, AE es la altura del paralelogramo

AB es mayor que AE por 3 cm

El área del paralelogramo es igual a 32 cm²

Hallar la longitud del lado AB

S=32S=32S=32AAABBBCCCDDDEEE

Solución

Tengamos en cuenta que AB es mayor por 3 cm que AE, por lo que debemos prestar atención a los datos cuando ponemos la fórmula para calcular el paralelogramo:

Altura multiplicado por el lado de la altura:

AB×AE=S AB\times AE=S

Marcaremos AE con la letra a y por lo tanto AB será a+3:

a×(a+3)=32 a\times(a+3)=32

Abrimos los paréntesis:

a2+3a=32 a^2+3a=32

Utilizamos la fórmula trinomio/raíces:

a2+3a32=0 a^2+3a-32=0 (a+8)(a5)=0 (a+8)(a-5)=0

Eso significa que tenemos dos opciones:

a=8,a=5 a=-8,a=5

Dado que no es posible colocar un lado negativo en la fórmula para calcular el áreaa=5 a=5

Ahora podemos calcular los lados:

AE=5 AE=5

AB=5+3=8 AB=5+3=8

Respuesta

8 cm

Ejercicio #7

ABCD es un paralelogramo cuyo perímetro es igual a 24 cm.

El lado del paralelogramo es mayor por 2 del lado adyacente (AB>AD)

CE altura al lado AB

El área del paralelogramo es 24 cm²

Halla la altura CE

AAABBBCCCDDDEEE

Solución

El perímetro del paralelogramo se calcula de la siguiente manera:

SABCD=AB+BC+CD+DA S_{ABCD}=AB+BC+CD+DA Dado que ABCD es un paralelogramo, cada par de lados opuestos es igual y, por lo tanto, AB=DC y AD=BC

De acuerdo con la figura de que el lado del paralelogramo es 2 veces más grande que el lado adyacente a él, se puede argumentar queAB=DC=2BC AB=DC=2BC

Reemplazamos los datos que conocemos en la fórmula para calcular el perímetro:

PABCD=2BC+BC+2BC+BC P_{ABCD}=2BC+BC+2BC+BC

Reemplazamos el perímetro dado en la fórmula y sumamos todos los coeficientes BC en consecuencia:

24=6BC 24=6BC

Dividimos las dos secciones por 6

24:6=6BC:6 24:6=6BC:6

BC=4 BC=4

Sabemos queAB=DC=2BC AB=DC=2BC Reemplazamos el dato que obtuvimos (BC=4)

AB=DC=2×4=8 AB=DC=2\times4=8

Como ABCD es un paralelogramo, entonces todos los pares de lados opuestos son iguales, por lo tanto BC=AD=4

Para hallar EC usamos la fórmula:AABCD=AB×EC A_{ABCD}=AB\times EC

Reemplazamos los datos existentes:

24=8×EC 24=8\times EC

Dividimos las dos secciones por 824:8=8EC:8 24:8=8EC:8

3=EC 3=EC

Respuesta

3 cm

Ejercicio #8

Dado el paralelogramo ABCD,

y dentro un rectángulo AEFC cuyo perímetro es 24.

AE=8 BC=5

P=24P=24P=24555AAABBBCCCDDDEEEFFF8

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Solución

En el primer paso debemos hallar la longitud de EC, que identificaremos con una X.

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados (AE+EC+CF+FA),

Como en el rectángulo los lados opuestos son iguales, la fórmula también se puede escribir así: 2AE=2EC.

Reemplazamos los datos conocidos:

2×8+2X=24 2\times8+2X=24

16+2X=24 16+2X=24

Aislamos a X:

2X=8 2X=8

y dividimos por 2:

X=4 X=4

Ahora podemos usar la fórmula pitagórica para hallar EB.

(Pitágoras: A2+B2=C2 A^2+B^2=C^2 )

EB2+42=52 EB^2+4^2=5^2

EB2+16=25 EB^2+16=25

Aislamos la incógnita

EB2=9 EB^2=9

Extraemos la raíz de la ecuación.

EB=3 EB=3

El área de un paralelogramo es la altura multiplicada por el lado al que desciende la altura, es decirAB×EC AB\times EC .

AB= AE+EB AB=\text{ AE}+EB

AB=8+3=11 AB=8+3=11

Y por lo tanto aplicaremos la fórmula del área:

11×4=44 11\times4=44

Respuesta

44

Ejercicio #9

ABCD es un paralelogramo cuyo perímetro es igual a 38 cm.

AB es mayor de CE por 2

AD es menor de CE por 3

CE altura del paralelogramo para el lado AD

Calcule el área del paralelogramo

AAABBBCCCDDDEEE

Solución

Llamemos CE a X

De acuerdo con los datos

AB=x+2,AD=x3 AB=x+2,AD=x-3

El perímetro del paralelogramo:

2(AB+AD) 2(AB+AD)

38=2(x+2+x3) 38=2(x+2+x-3)

38=2(2x1) 38=2(2x-1)

38=4x2 38=4x-2

38+2=4x 38+2=4x

40=4x 40=4x

x=10 x=10

Ahora se puede argumentar:

AD=103=7,CE=10 AD=10-3=7,CE=10

El área del paralelogramo:

CE×AD=10×7=70 CE\times AD=10\times7=70

Respuesta

70 cm²

Ejercicio #10

El área del trapecio ABCD es X cm².

La recta AE crea el triángulo AED y el paralelogramo ABCE.

Es sabido que la razón entre al área del triángulo AED y el área del paralelogramo ABCE es 1:3.

Calcula la razón entre los lados DE y EC

AAABBBCCCDDDEEE

Solución

Para calcular la razón entre los lados utilizaremos la figura existente:

AAEDAABCE=13 \frac{A_{AED}}{A_{ABCE}}=\frac{1}{3}

Calculamos la razón entre los lados según la fórmula para hallar el área y luego reemplazamos los datos.

Sabemos que el área del triángulo ADE es igual a:

AADE=h×DE2 A_{ADE}=\frac{h\times DE}{2}

Sabemos que el área del paralelogramo es igual a:

AABCD=h×EC A_{ABCD}=h\times EC

Reemplazamos los datos en la fórmula que nos dan mediante la razón entre las áreas:

12h×DEh×EC=13 \frac{\frac{1}{2}h\times DE}{h\times EC}=\frac{1}{3}

Resolvemos multiplicando por cruce y obtenemos la fórmula:

h×EC=3(12h×DE) h\times EC=3(\frac{1}{2}h\times DE)

Abrimos los paréntesis en consecuencia

h×EC=1.5h×DE h\times EC=1.5h\times DE

Dividimos ambos lados por h

EC=1.5h×DEh EC=\frac{1.5h\times DE}{h}

Simplificamos a h

EC=1.5DE EC=1.5DE

Por lo tanto, la razón entreECDE=11.5 \frac{EC}{DE}=\frac{1}{1.5}

Respuesta

1:1.5 1:1.5

Ejercicio #11

ABCD paralelogramo, se sabe que:

ángulo ACB es igual al ángulo EBC

BF=6 CE=9

BF es perpendicular a DE

Calcule el área del paralelogramo

666999BBBFFFEEECCCDDDAAA

Solución

Dado que el ángulo ACB es igual al ángulo CBE, de aquí se concluye que AC es paralelo a BE

dado que los ángulos alternos entre líneas paralelas son iguales.

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, AB es paralela a DC y por lo tanto AB también es paralela a CE ya que es una recta que continúa DC.

Dado que AC es paralela a BE y, además, AB es paralela a CE, se puede argumentar que ABCE es un paralelogramo y, por lo tanto, cada par de lados opuestos en un paralelogramo son paralelos e iguales.

De esto se concluye que AB=CE=9

Ahora calculamos el área del paralelogramo ABCD según los datos.

SABCD=AB×BF S_{ABCD}=AB\times BF

Reemplazamos los datos en consecuencia:

SABCD=9×6=54 S_{ABCD}=9\times6=54

Respuesta

54 cm²

Ejercicio #12

Dado un paralelogramo delimitado por un círculo:

36

Todos los puntos de encuentro son tangentes al círculo.
La circunferencia es 25.13.

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Solución

Primero, agregamos letras como puntos de referencia:

Observemos los puntos A y B.

Sabemos que dos rectas tangentes a una circunferencia y que parten del mismo punto son paralelas entre sí.

Por lo tanto:

AE=AF=3 AE=AF=3
BG=BF=6 BG=BF=6

Y desde aquí podemos calcular:

AB=AF+FB=3+6=9 AB=AF+FB=3+6=9

Ahora necesitamos la altura del paralelogramo.

Sabemos que F es tangente al círculo, por lo que el diámetro que sale del punto F también será la altura del paralelogramo.

También se sabe que el diámetro es igual a dos radios.

Dado que la circunferencia es 25,13.

Fórmula de circunferencia:2πR 2\pi R
Reemplazamos y resolvemos:

2πR=25.13 2\pi R=25.13
πR=12.565 \pi R=12.565
R4 R\approx4

La altura del paralelogramo es igual a dos radios, es decir, 8.

Y desde aquí puedes calcular con una fórmula de área del paralelogramo:

AlturaXLado AlturaXLado

9×872 9\times8\approx72

Respuesta

72 \approx72

Ejercicio #13

Dado un paralelogramo delimitado por un círculo:

36

Todos los puntos de encuentro son tangentes al círculo.
La circunferencia es 25.13.

¿Cuál es el área de las zonas marcadas en azul?

Solución

Primero, agregamos letras como puntos de referencia:

Observemos los puntos A y B.

Sabemos que dos rectas tangentes a una circunferencia y que parten del mismo punto son paralelas entre sí.

Por lo tanto:

AE=AF=3 AE=AF=3
BG=BF=6 BG=BF=6

Desde aquí podemos calcular:

AB=AF+FB=3+6=9 AB=AF+FB=3+6=9

Ahora necesitamos la altura del paralelogramo.

Sabemos que F es tangente al círculo, por lo que el diámetro que sale del punto F también será la altura del paralelogramo.

También se sabe que el diámetro es igual a dos radios.

Se sabe que la circunferencia del círculo es 25,13.

Fórmula de la circunferencia:2πR 2\pi R
Reemplazamos y resolvemos:

2πR=25.13 2\pi R=25.13
πR=12.565 \pi R=12.565
R4 R\approx4

La altura del paralelogramo es igual a dos radios, es decir, 8.

Y desde aquí es posible calcular el área del paralelogramo:

Lado x Altura \text{Lado }x\text{ Altura} 9×872 9\times8\approx72

Ahora, calculamos el área del círculo según la fórmula:πR2 \pi R^2

π42=50.26 \pi4^2=50.26

Ahora, resta el área del círculo de la superficie del trapecio para obtener la respuesta:

7256.2421.73 72-56.24\approx21.73

Respuesta

21.73 \approx21.73

Ejercicio #14

ABCD es un paralelogramo
BFCE es un deltoide

555999444AAABBBCCCDDDFFFEEEHHHGGG7.5

¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?

Solución

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:Lado x Altura \text{Lado }x\text{ Altura} .

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

A2+B2=C2 A^2+B^2=C^2 )

BG2+42=52 BG^2+4^2=5^2

BG2+16=25 BG^2+16=25

BG2=9 BG^2=9

BG=3 BG=3

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:FC=EC=9 FC=EC=9

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

GC2+42=92 GC^2+4^2=9^2

GC2+16=81 GC^2+16=81

GC2=65 GC^2=65

GC=65 GC=\sqrt{65}

Ahora podemos calcular el lado BC:

BC=BG+GT=3+6511 BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

HDBG=HCGE \frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}

HDBG=7.53=2.5 \frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5

HCEG=HC4=2.5 \frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5

HC=10 HC=10

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

10×11110 10\times11\approx110

Respuesta

110 \approx110

¿Cuántos ejercicios y ejemplos de área de un cuadrilátero es necesario realizar?

La cantidad de ejercicios y ejemplos de superficies cuadradas de cuadriláteros que debemos practicar, varía de persona en persona.
En general, recomendamos resolver muchas pruebas y observar varios ejemplos para que, en total, estos cubran la mayor cantidad de tipos de ejercicios posibles.
Cuanto más ejercites con diferentes cuadriláteros, comprenderás el tema más profundamente y aumentará la probabilidad de que te vaya bien y que tengas éxito.

Las preguntas más nuevas