Ejemplos, ejercicios y soluciones del área del paralelogramo

Dado ABCD paralelogramo,
DC=7
EC altura del lado AB cuyo largo es 4.

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Dado que tenemos un paralelogramo, sabemos que cada par de lados opuestos son iguales y paralelos. Por lo tanto:

$DC=AB=7$Usamos la fórmula para hallar el área de un paralelogramo:

Altura por el lado al que desciende la altura, es decir:

$DC\times EC=7\times4=28$

28

Calcula el área del paralelogramo según los datos.

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, según las propiedades del mismo todo par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Por lo tanto $CD=AB=10$

Calculamos el área del paralelogramo según la fórmula de lado por la altura que desciende de ese lado, por lo tanto el área del paralelogramo es igual a:

$S_{ABCD}=10\times7=70cm^2$

70

Dado el paralelogramo de la figura

El área es igual a 70 cm²

Encuentra a DC

La fórmula del área de un paralelogramo:

Altura * El lado al que desciende de la altura.

Reemplazamos en la fórmula todos los datos conocidos, incluyendo el área:

5*DC = 70

Dividimos por 5:

DC = 70/5 = 14

¡Y así es como revelamos a la incógnita!

$14$ cm

Dado el paralelogramo de la figura

El área es igual a 40 cm²

Encuentra a AE

Dado que ABCD es un paralelogramo,$AB=CD=8$Según las propiedades del paralelogramo, cada par de lados opuestos son iguales y paralelos.

Para encontrar AE utilizaremos el área que nos dan en la fórmula para hallar el área del paralelogramo:

$S=DC\times AE$

$40=8\times AE$

Dividimos ambos lados de la ecuación por 8:

$8AE:8=40:8$

$AE=5$

$5$ cm

ABCD paralelogramo, se sabe que:

BE es perpendicular a DE

BF es perpendicular a DF

BF=8 BE=4 AD=6 DC=12

Calcula el área del paralelogramo de 2 maneras distintas

En este ejercicio se nos dan dos alturas y dos lados.

Es importante tener en cuenta: La altura exterior también se puede utilizar para calcular el área

Por lo tanto podemos realizar la operación del siguiente ejercicio:

La altura BF * el lado AD

8*6

La altura BE el lado DC
412

 La solución de estos dos ejercicios es 48, que es el área del paralelogramo.

48 cm²

Dado ABCD paralelogramo

CE es la altura del lado AB

CB=5
AE=7
EB=2

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Para hallar el área,

primero, se debe hallar la altura del paralelogramo.

Para concluir, observemos el triángulo EBC,

debido a que sabemos que es un triángulo rectángulo (porque es la altura del paralelogramo)

y se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2$

En este caso: $EB^2+EC^2=BC^2$

Colocamos la información dada: $2^2+EC^2=5^2$

Aislamos la variable:$EC^2=5^2+2^2$

Resolvemos:$EC^2=25-4=21$

$EC=\sqrt{21}$

Ahora solo queda calcular el área.

Es importante recordar que para ello se debe utilizar la longitud de cada lado.
Es decir AE+EB=2+7=9

$\sqrt{21}\times9=41.24$

41.24

ABCD paralelogramo, AE es la altura del paralelogramo

AB es mayor que AE por 3 cm

El área del paralelogramo es igual a 32 cm²

Hallar la longitud del lado AB

Tengamos en cuenta que AB es mayor por 3 cm que AE, por lo que debemos prestar atención a los datos cuando ponemos la fórmula para calcular el paralelogramo:

Altura multiplicado por el lado de la altura:

$AB\times AE=S$

Marcaremos AE con la letra a y por lo tanto AB será a+3:

$a\times(a+3)=32$

Abrimos los paréntesis:

$a^2+3a=32$

Utilizamos la fórmula trinomio/raíces:

$a^2+3a-32=0$$(a+8)(a-5)=0$

Eso significa que tenemos dos opciones:

$a=-8,a=5$

Dado que no es posible colocar un lado negativo en la fórmula para calcular el área$a=5$

Ahora podemos calcular los lados:

$AE=5$

$AB=5+3=8$

8 cm

ABCD es un paralelogramo cuyo perímetro es igual a 38 cm.

AB es mayor de CE por 2

AD es menor de CE por 3

CE altura del paralelogramo para el lado AD

Calcule el área del paralelogramo

Llamemos CE a X

De acuerdo con los datos

$AB=x+2,AD=x-3$

El perímetro del paralelogramo:

$2(AB+AD)$

$38=2(x+2+x-3)$

$38=2(2x-1)$

$38=4x-2$

$38+2=4x$

$40=4x$

$x=10$

Ahora se puede argumentar:

$AD=10-3=7,CE=10$

El área del paralelogramo:

$CE\times AD=10\times7=70$

70 cm²

ABCD es un paralelogramo cuyo perímetro es igual a 24 cm.

El lado del paralelogramo es mayor por 2 del lado adyacente (AB>AD)

CE altura al lado AB

El área del paralelogramo es 24 cm²

Halla la altura CE

El perímetro del paralelogramo se calcula de la siguiente manera:

$S_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$ Dado que ABCD es un paralelogramo, cada par de lados opuestos es igual y, por lo tanto, AB=DC y AD=BC

De acuerdo con la figura de que el lado del paralelogramo es 2 veces más grande que el lado adyacente a él, se puede argumentar que$AB=DC=2BC$

Reemplazamos los datos que conocemos en la fórmula para calcular el perímetro:

$P_{ABCD}=2BC+BC+2BC+BC$

Reemplazamos el perímetro dado en la fórmula y sumamos todos los coeficientes BC en consecuencia:

$24=6BC$

Dividimos las dos secciones por 6

$24:6=6BC:6$

$BC=4$

Sabemos que\( AB=DC=2BC \)Reemplazamos el dato que obtuvimos (BC=4)

$AB=DC=2\times4=8$

Como ABCD es un paralelogramo, entonces todos los pares de lados opuestos son iguales, por lo tanto BC=AD=4

Para hallar EC usamos la fórmula:$A_{ABCD}=AB\times EC$

Reemplazamos los datos existentes:

$24=8\times EC$

Dividimos las dos secciones por 8$24:8=8EC:8$

$3=EC$

3 cm

Dado el paralelogramo ABCD,

y dentro un rectángulo AEFC cuyo perímetro es 24.

AE=8 BC=5

¿Cuál es el área del paralelogramo?

En el primer paso debemos hallar la longitud de EC, que identificaremos con una X.

Sabemos que el perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados (AE+EC+CF+FA),

Como en el rectángulo los lados opuestos son iguales, la fórmula también se puede escribir así: 2AE=2EC.

Reemplazamos los datos conocidos:

$2\times8+2X=24$

$16+2X=24$

Aislamos a X:

$2X=8$

y dividimos por 2:

$X=4$

Ahora podemos usar la fórmula pitagórica para hallar EB.

(Pitágoras: $A^2+B^2=C^2$)

$EB^2+4^2=5^2$

$EB^2+16=25$

Aislamos la incógnita

$EB^2=9$

Extraemos la raíz de la ecuación.

$EB=3$

El área de un paralelogramo es la altura multiplicada por el lado al que desciende la altura, es decir$AB\times EC$.

$AB=\text{ AE}+EB$

$AB=8+3=11$

Y por lo tanto aplicaremos la fórmula del área:

$11\times4=44$

44

$$\( \)El área del trapecio ABCD es X cm².

La recta AE crea el triángulo AED y el paralelogramo ABCE.

Es sabido que la razón entre al área del triángulo AED y el área del paralelogramo ABCE es 1:3.

Calcula la razón entre los lados DE y EC

Para calcular la razón entre los lados utilizaremos la figura existente:

$\frac{A_{AED}}{A_{ABCE}}=\frac{1}{3}$

Calculamos la razón entre los lados según la fórmula para hallar el área y luego reemplazamos los datos.

Sabemos que el área del triángulo ADE es igual a:

$A_{ADE}=\frac{h\times DE}{2}$

Sabemos que el área del paralelogramo es igual a:

$A_{ABCD}=h\times EC$

Reemplazamos los datos en la fórmula que nos dan mediante la razón entre las áreas:

$\frac{\frac{1}{2}h\times DE}{h\times EC}=\frac{1}{3}$

Resolvemos multiplicando por cruce y obtenemos la fórmula:

$h\times EC=3(\frac{1}{2}h\times DE)$

Abrimos los paréntesis en consecuencia

$h\times EC=1.5h\times DE$

Dividimos ambos lados por h

$EC=\frac{1.5h\times DE}{h}$

Simplificamos a h

$EC=1.5DE$

Por lo tanto, la razón entre$\frac{EC}{DE}=\frac{1}{1.5}$

$1:1.5$

ABCD paralelogramo, se sabe que:

ángulo ACB es igual al ángulo EBC

BF=6 CE=9

BF es perpendicular a DE

Calcule el área del paralelogramo

Dado que el ángulo ACB es igual al ángulo CBE, de aquí se concluye que AC es paralelo a BE

dado que los ángulos alternos entre líneas paralelas son iguales.

Como sabemos que ABCD es un paralelogramo, AB es paralela a DC y por lo tanto AB también es paralela a CE ya que es una recta que continúa DC.

Dado que AC es paralela a BE y, además, AB es paralela a CE, se puede argumentar que ABCE es un paralelogramo y, por lo tanto, cada par de lados opuestos en un paralelogramo son paralelos e iguales.

De esto se concluye que AB=CE=9

Ahora calculamos el área del paralelogramo ABCD según los datos.

$S_{ABCD}=AB\times BF$

Reemplazamos los datos en consecuencia:

$S_{ABCD}=9\times6=54$

54 cm²

Dado un paralelogramo delimitado por un círculo:

Todos los puntos de encuentro son tangentes al círculo.
La circunferencia es 25.13.

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Primero, agregamos letras como puntos de referencia:

Observemos los puntos A y B.

Sabemos que dos rectas tangentes a una circunferencia y que parten del mismo punto son paralelas entre sí.

Por lo tanto:

$AE=AF=3$
$BG=BF=6$

Y desde aquí podemos calcular:

$AB=AF+FB=3+6=9$

Ahora necesitamos la altura del paralelogramo.

Sabemos que F es tangente al círculo, por lo que el diámetro que sale del punto F también será la altura del paralelogramo.

También se sabe que el diámetro es igual a dos radios.

Dado que la circunferencia es 25,13.

Fórmula de circunferencia:$2\pi R$
Reemplazamos y resolvemos:

$2\pi R=25.13$
$\pi R=12.565$
$R\approx4$

La altura del paralelogramo es igual a dos radios, es decir, 8.

Y desde aquí puedes calcular con una fórmula de área del paralelogramo:

$AlturaXLado$

$9\times8\approx72$

$\approx72$

Dado un paralelogramo delimitado por un círculo:

Todos los puntos de encuentro son tangentes al círculo.
La circunferencia es 25.13.

¿Cuál es el área de las zonas marcadas en azul?

Primero, agregamos letras como puntos de referencia:

Observemos los puntos A y B.

Sabemos que dos rectas tangentes a una circunferencia y que parten del mismo punto son paralelas entre sí.

Por lo tanto:

$AE=AF=3$
$BG=BF=6$

Desde aquí podemos calcular:

$AB=AF+FB=3+6=9$

Ahora necesitamos la altura del paralelogramo.

Sabemos que F es tangente al círculo, por lo que el diámetro que sale del punto F también será la altura del paralelogramo.

También se sabe que el diámetro es igual a dos radios.

Se sabe que la circunferencia del círculo es 25,13.

Fórmula de la circunferencia:$2\pi R$
Reemplazamos y resolvemos:

$2\pi R=25.13$
$\pi R=12.565$
$R\approx4$

La altura del paralelogramo es igual a dos radios, es decir, 8.

Y desde aquí es posible calcular el área del paralelogramo:

$\text{Lado }x\text{ Altura}$$9\times8\approx72$

Ahora, calculamos el área del círculo según la fórmula:$\pi R^2$

$\pi4^2=50.26$

Ahora, resta el área del círculo de la superficie del trapecio para obtener la respuesta:

$72-56.24\approx21.73$

$\approx21.73$

ABCD es un paralelogramo
BFCE es un deltoide

¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?

Primero, debemos recordar la fórmula del área de un paralelogramo:$\text{Lado }x\text{ Altura}$.

En este caso intentaremos hallar la altura CH y el lado BC.

Comenzamos desde el lado

Primero, observemos el pequeño triángulo EBG,

Como es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras (

$A^2+B^2=C^2$)

$BG^2+4^2=5^2$

$BG^2+16=25$

$BG^2=9$

$BG=3$

Ahora, comencemos a buscar GC.

Primero, recuerda que el deltoide tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto:$FC=EC=9$

Ahora también podemos hacer en el triángulo GCE Pitágoras.

$GC^2+4^2=9^2$

$GC^2+16=81$

$GC^2=65$

$GC=\sqrt{65}$

Ahora podemos calcular el lado BC:

$BC=BG+GT=3+\sqrt{65}\approx11$

Ahora, observemos el triángulo BGE y DHC

Ángulo BGE = 90°
Ángulo CHD = 90°
Ángulo CDH=EBG porque estos son ángulos opuestos paralelos.

Por lo tanto, entre los dos triángulos existe una razón de semejanza, entonces:

$\frac{HD}{BG}=\frac{HC}{GE}$

$\frac{HD}{BG}=\frac{7.5}{3}=2.5$

$\frac{HC}{EG}=\frac{HC}{4}=2.5$

$HC=10$

Ahora que hay una altura y un lado solo queda calcular.

$10\times11\approx110$

$\approx110$