El área del paralelogramo: ¿qué es y cómo se calcula?

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados (cuadrilátero), cuyos lados opuestos son.

Propiedad de los paralelogramos

• Los ángulos opuestos del paralelogramo tienen el mismo tamaño.
• Los lados opuestos del paralelogramo tienen la misma longitud.
• Los paralelogramos tienen dos diagonales que se cruzan y que crean así dos pares de triángulos. Además, los cuatro triángulos que se forman tienen la misma superficie. 
• Los ángulos del paralelogramo se complementan entre sí hasta llegar a los $180^o$ grados. 
• La suma de los cuadrados de sus diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados del paralelogramo.

Es decir: 

$KM^{2}+LN^{2}=KL^{2}+LM^{2}+MN^{2}+NK^{2}$

O, en otras palabras:

$KM^{2}+LN^{2}=2KL^{2}+2LM^{2}$

• Rectángulo: es un paralelogramo en el que todos sus ángulos son rectos, es decir, miden $90^o$ grados y sus dos diagonales tienen la misma longitud.

• Rombo: es un paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud (y sus dos diagonales se cortan en ángulo recto, es decir, son perpendiculares)

• Cuadrado: es un paralelogramo que cumple con la definición de rectángulo y rombo (pero también sus dos diagonales son perpendiculares y tienen la misma longitud).

Halla el área del paralelogramo $KLMN$ ilustrado en la siguiente figura utilizando los datos proporcionados:

• $MN=10cm$
• $KP=5cm$

Solución:

Se trata de un ejercicio bastante sencillo en el que debemos sustituir los datos dados en la fórmula correspondiente al área de un paralelogramo:

$A=MN\cdot KP=10\cdot5=50cm²$

Respuesta: La superficie del paralelogramo $KLMN$ es $50cm²$.

Analiza la ilustración que aparece a continuación e indica si hay algún error en los datos dados. Explica tu respuesta.

Solución:

Este ejercicio aborda el área de un paralelogramo. Como ya hemos dicho, el área de esta forma geométrica puede calcularse de dos maneras. Con la primera de ellas , debemos usar como base el lado $DC$ y considerar como su altura relativa $AS$; la otra manera, es considerar el lado adyacente $BC$ como la base y su altura relativa $AF$. La respuesta que obtenemos aplicando ambos métodos debe ser la misma.

Sustituimos los datos en la fórmula y obtendremos lo siguiente:

$A=DC\cdot AS=9\cdot3=27$

$A=BC\cdot AF=6\cdot5=30$

Como podemos ver, hemos obtenido un resultado distinto al aplicar uno u otro método y, por tanto, los datos dados son erróneos.

Halla el área del paralelogramo $DEFG$ según la ilustración y los datos que aparecen a continuación:

• $DE=12\operatorname{cm}$
• $KG=5\operatorname{cm}$
• $DK=9\operatorname{cm}$

Solución:

Si observamos la ilustración, vemos que $DK$ hace referencia a la altura externa del paralelogramo $DEFG$.

Según las características del paralelogramo que acabamos de aprender, los lados opuestos de un paralelogramo son idénticos y paralelos entre sí, es decir: $DE= GF=12$ y $DE$ paralelo a $GF$.  

Para calcular el área de este paralelogramo no necesitamos el dato sobre la longitud de $KG$ ya que esta información no nos sirve para tal cálculo, sino que nos la dieron sólo para confundirnos. Para calcular el área de un paralelogramo, sólo necesitamos la longitud de un lado y su altura relativa.

Dicho esto, sustituimos los datos en la fórmula y obtendremos lo siguiente:

$A=GF\cdot DK=12\cdot9=108cm²$

Respuesta: La superficie del paralelogramo $DEFG$ es $108 cm²$.

Si estás interesado en aprender a calcular áreas de otras formas geométricas puedes ingresar a uno de los siguientes artículos:

• ¿Cómo se calcula el área de un trapecio?
• Cómo calcular el área de un triángulo
• Área circular
• Área de superficie de prismas triangulares
• ¿Cómo se calcula el área de un rombo?
• ¿Cómo calcular el área de un hexágono regular?
• Área del rectángulo
• Cómo calcular el área de un ortoedro

En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

Dentro del paralelogramo $ABCD$ se encuentra el rectángulo $AECF$ con un perímetro de $24$.

$AE = 8$

Tarea:

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Solución:

En el primer paso debemos encontrar el largo $EC$, al cual identificaremos como $X$.

Sabemos que el perímetro del rectángulo es igual a la suma de sus lados $(AE+EC+CF+FA)$.

Debido a que en el rectángulo los lados opuestos son iguales, podemos escribir la fórmula así: $2AE+2EC=24$

Sustituimos los datos conocidos:

$2\times8+2X=24$

$16+2X=24$

Despejamos la $X$

$2X=8$

Y dividimos por $2$

$X=4$

Ahora, podemos usar la fórmula de pitágoras para calcular $EB$.

Pitágoras -$A^2+B^2=C^2$

$EB^2+4^2=5^2$

$EB^2+16=25$

Despejamos $EB$

$EB^2=9$

Calculamos la raíz

$EB=3$

El área del paralelogramo es producto del lado $AB$ por su altura relativa EC $AB\times EC$

$AB=\text{ AE}+EB$

Por otro lado,

$AB=8+3=11$

Sustituimos los datos en la fórmula del área:

$11\times4=44$

Respuesta: $44$

Dado que:

El perímetro del paralelogramo $ABCD$ es igual a $22 cm$. $DL = 3cm$

$AC = 4cm$

La altura $=?$

Y el lado del paralelogramo

$DL = 3cm$

Tarea:

Calcular el área del paralelogramo $ABCD$

Solución:

Los lados opuestos paralelos son iguales $AC=BD=4cm$

Los lados opuestos paralelos son iguales $AB=CD=Xcm$

$AB+BD+CD+AC\text{ }=$ Perímetro del paralelogramo

$X+4+X+4=22$

$2X+8=22$ /-8

$2X=14$ /:2

$X=7$

Primer paso de la respuesta:

$CD=7$

Área $ABCD=CD\cdot LD$ (altura)

Área $ABCD=7\cdot3$

Área $ABCD = 21$

Respuesta:

Área del paralelogramo: $ABCD=21 cm²$

Consigna

Dado el paralelogramo $ABCD$

El área del paralelogramo es $98\operatorname{cm}²$

$\frac{AE}{DC}=\frac{1}{2}$

Objetivo:

Encontrar a $DC$

Solución

Según los datos existentes se puede calcular a $AE$

$AE=\frac{1}{2}DC$

$\text{ABCD}=DC\cdot AE=$

Reemplazamos los datos en consecuencia

$98=\frac{1}{2}DC\cdot DC$

Multiplicamos por $2$

$196=DC^2$

Sacamos la raíz

$DC=14$

Respuesta

$14$

Consigna

El área del paralelogramo $ABCD$ es $72\operatorname{cm}²$

Encontrar a $DC$

Solución

$AE$ es la altura externa $DC$

$\text{ABCD}=DC\cdot AE=$

Reemplazamos los datos en consecuencia

$72y=DC\cdot9$

Dividimos por $9$

$\frac{72y}{9}=DC$

$8y=DC$

Respuesta

$8y$

Consigna

Dado el paralelogramo $ABCD$

La relación entre $AE$ y $DC$ es $4:7$

Encontrar el área del paralelogramo $ABCD$

Solución

Según los datos existentes calculamos primero a $DC$

$\frac{AE}{DC}=\frac{4}{7}$

Reemplazamos a $AE$

$\frac{8}{DC}=\frac{4}{7}$

Multiplicamos en cruce

$8\cdot7=4\cdot DC$

Dividimos por $4$

$DC=\frac{8\cdot7}{4}=7\cdot2=14$

$\text{ABCD}=DC\cdot AE=$

Reemplazamos en consecuencia

$8\cdot14=112$

Respuesta

$112$

Consigna

Dado el paralelogramo de la figura

Su área es igual a $40\operatorname{cm}²$

Encuentra a $AE$

Solución

$\text{ABCD}=DC\cdot AE=$

$DC=AB=8$

En el paralelogramo los lados opuestos son iguales entre sí.

Reemplazamos en consecuencia los datos

$40=AE\cdot8$

Dividir por $8$

$AE=5$

Respuesta

$5$

Consigna

Dado el paralelogramo $ABCD$

Su área es igual a $100\operatorname{cm}²$

Encuentra a $AD$

Solución

$\text{ABCD}=DC\cdot AE=$

Reemplazamos en consecuencia los datos

$100=6\cdot AD$

Dividir por $6$

$AD=16.67$

Respuesta

$16.67$

Si está interesado en aprender más las formas geométricas, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

Líneas paralelas (Rectas paralelas)

Paralelogramo - Comprobación del paralelogramo

Maneras de identificar paralelogramos

Simetría rotacional en paralelogramos

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