Paralelogramo - Comprobación del paralelogramo

¿Notaste el cuadrilátero que se obtiene en la intersección de 2 vías de tren? ¿Cómo se llama ? ¿Cuáles son sus características? Echemos un vistazo a las vías del tren, ¿por qué las vías del tren son 2 vías paralelas? Para que el tren no se salga de las vías debe haber 2 vías que deben distanciarse siempre en la misma longitud. Esta es la definición de líneas paralelas que nunca se encuentran porque la distancia entre ellas siempre es igual. Esta es la definición de las líneas paralelas que nunca se encuentran porque la distancia entre ellas siempre es igual. Al momento que se encuentran 2 vías de tren, se obtiene un cuadrilátero entre ellas, que tiene 2 pares de lados opuestos paralelos, que es el paralelogramo

Si el dato es:

  • AB ǁ CD
  • AD ǁ BC

Entonces: ABCD es un paralelogramo

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Conceptos básicos sobre el tema del paralelogramo

  • Lados opuestos en un cuadrilátero : son lados que no tienen un punto de encuentro común.
  • Lados adyacentes en un cuadrílatero : son lados que tienen un punto de encuentro común.
  • Ángulos adyacentes : son 2 ángulos que tienen un vértice y un lado en común.
  • Ángulos opuestos en el cuadrilátero son ángulos que no tienen lados comunes.
  • Diagonal : es una sección que conecta 2 vértices no adyacentes (y no es un lado )
  • Ángulos opuestos por el vértice : 2 líneas rectas que se cruzan entre sí para formar 4 ángulos en su punto de encuentro. Los 2 ángulos no adyacentes se llaman vértices. Importante saber: los ángulos opuestos por el vértice son iguales.             
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  • Ángulos correspondientes entre paralelas : la línea que cruza 2 líneas paralelas se forma alrededor de cada punto de intersección con cada línea de 4 ángulos. Cualquier par de ángulos que estén en la misma posición alrededor de los puntos de intersección se denominan ángulos correspondientes. Cuando las rectas son paralelas, los ángulos correspondientes también son iguales
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  • Ángulos alternos internos entre paralelas : cada ángulo alrededor de un punto de intersección superior con el vértice al ángulo correspondiente alrededor de un segundo punto de intersección forma un par de ángulos alternos. Una marca de identificación: es posible buscar ángulos entre la forma de Z en el corte de las líneas rectas. Cuando las líneas son paralelas, el corte crea ángulos alternos iguales.
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  • Ángulos colaterales internos entre paralelas : cualquier ángulo alrededor de un punto de intersección superior con el ángulo adyacente correspondiente a ese lado alrededor de un segundo punto de intersección. La suma de los ángulos unilaterales entre paralelos es 180 o
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  • Bisectriz : divide el ángulo en 2 partes iguales.

Características del paralelogramo

Entonces, ¿cuáles son las propiedades de este cuadrilátero especial llamado paralelogramo? Obtenga un breve resumen

Los lados opuestos en el paralelogramo son iguales

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  • AB ǁ DC (por definición del paralelogramo). Por lo tanto: ángulo A2 = C1 (ángulos alternos entre paralelas iguales)
  • AD ǁ BC (por la definición de paralelas). Por lo tanto: A1 = C2 (ángulos alternos entre paralelas iguales)
  • AC = AC (Lado común) por lo que se puede concluir que: ΔADC≅ΔCBA (según el teorema de congruencia: angulo, lado, angulo)
    Para éste: AB = DC, AD = BC congruentes iguales)

Esta congruencia nos lleva a la siguiente propiedad:

Los ángulos opuestos por el vértice en un paralelogramo son iguales

ΔADC≅ΔCBA (comprobado en la oración anterior)

Por lo tanto:

  • Ángulos B = D (ángulos correspondientes en triángulos congruentes iguales)
  • Y también C1 + C2 = A1 + A1 (suma de ángulos iguales)
  • Por lo tanto: Ángulos A = C (suma de ángulos)

Las diagonales en el paralelogramo se cruzan

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Demostremos que:

  • AO=CO
  • BO=DO

Para hacer esto superpondremos los triángulos: ΔAOB con ΔCOD

  • AB = DC Lados opuestos iguales en un paralelogramo
  • AB ǁ DC por la definición del paralelogramo 

Por lo tanto:

  • Ángulos B1 = D1
  • Ángulos A1 = C1

Según el teorema ángulos alternos entre paralelas iguales, por lo tanto:

OBAOB ≅ ΔCOD (según el teorema de congruencia: ángulo, lado, ángulo)

De la congruencia se puede deducir:

  • AO=CO
  • BO=DO

Según lados correspondientes en triángulos congruentes iguales

Práctica del paralelogramo

Comprobaremos en el siguiente ejercicio si entendimos las propiedades del paralelogramo:

Encuentra en el paralelogramo los siguientes valores:

  • X
  • Y
  • t
  • k
  • α
  • β
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Observando las propiedades del paralelogramo:

  • Los lados opuestos son iguales por lo tanto
    • Y=7
    • X=5
  • Las diagonales se cruzan por lo tanto
    • k=4.5
    • t=4
  • Los ángulos alternos entre paralelas son iguales por lo tanto
    • β=500
    • α=300

Cálculo del perímetro del paralelogramo

El cálculo del perímetro de un paralelogramo es el doble de la suma de 2 lados adyacentes, por lo tanto

  • 24 cm = 7x2 + 5x2

Cálculo del área de un paralelogramo

Para calcular el área de un paralelogramo trazaremos una línea desde uno de los vértices con altura al lado opuesto.

Área del paralelogramo = base x altura

Cálculo del área de un paralelogramo mediante la trigonometría

Es posible calcular el área de un paralelogramo incluso sin altura, usando trigonometría: multiplicando 2 lados adyacentes en el seno del ángulo entre ellos.

A veces, el hecho de que las diagonales dividan al paralelogramo en 4 triángulos equiláteros, nos permite mediante el uso de las mitades de las diagonales y el seno del ángulo entre ellas encontrar el área del paralelogramo. Es suficiente encontrar un solo triángulo y multiplicarlo por 4.

Comprobación del paralelogramo

¿Cuáles son las condiciones necesarias para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo?

Definición: un cuadrilátero que tiene 2 pares de lados opuestos paralelos se denomina paralelogramo.

¿Cuáles son los teoremas adicionales que nos permiten determinar sin información que los lados opuestos son paralelos que el cuadrilátero es un paralelogramo?

Un cuadrilátero donde 2 pares de lados opuestos son iguales es un paralelogramo

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Según la figura

  • AB=DC
  • AD=BC
  • AC = AC Este es un lado común

Se puede concluir:

  • ΔABC ≅ ΔCDA Según el teorema de congruencia: lado, lado, lado

Por lo tanto:

  • Ángulos BAC = ACD
  • ACB= DAC 

Según el teorema ángulos correspondientes en triángulos congruentes iguales

Por lo tanto:

  • AB ǁ DC
  • AD ǁ BC [cuando los ángulos alternos son iguales - las líneas son paralelas]

Por lo tanto, ABCD es un paralelogramo (2 pares de lados opuestos paralelos)

Un cuadrilátero donde hay 2 pares de ángulos opuestos iguales es un paralelogramo

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Marcaremos:

  • Ángulos α = B = D
  • Ángulos β=A=C
  • La suma de los ángulos en un cuadrilátero es 3600 Por tanto se obtiene la ecuación 2α + 2β = 3600
    Divida la ecuación por 2 y obtenga: 180 = β + α

Por lo tanto

  • AB ǁ DC
  • AD ǁ BC {cuando la suma de los ángulos de uno de los lado es 180, entonces son líneas paralelas}
  • ABCD es un paralelogramo (cuando hay 2 pares de lados opuestos paralelos es un paralelogramo)

Un cuadrilátero donde las diagonales se cruzan entre sí es un paralelogramo.

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Cuando se le da:

  • AO=CO
  • BO=DO

Y el ángulo atrapado entre ellos:

  • AOB = DOC (Ángulos opuestos por el vértice iguales)

Se puede concluir que: ΔABO≅ΔCOD (según el teorema de congruencia: lado, ángulo, lado)

Por lo tanto:

  • AB = CD (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)

De la misma manera, superpondremos ΔBOC con ΔAOD

Según el dato:

  • BO=DO
  • AO=CO
  • BOC = ángulos AOD (ángulos opuestos por el vértice iguales)

Por lo tanto:

  • ΔBOC ≅ ΔDOA (según el teorema de congruencia: lado, ángulo, lado)
  • Y obtenemos: AD = BC (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)

Por lo tanto: ABCD es un paralelogramo (2 pares de lados opuestos iguales, el cuadrilátero es un paralelogramo)

Un cuadrilátero donde un par de lados opuestos es paralelo e igual es paralelo

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Cuando el dato es:

  • AB=DC
  • AB ǁ DC

Entonces:

  • BAC = Ángulos ACD
  • ABD = BDC
    Según el teorema ángulos alternos entre paralelos iguales

Por lo tanto:

  • ΔABO≅ΔCDO (según el teorema de congruencia: ángulo, lado, ángulo)

De la congruencia:

  • AO=CO
  • BO = DO (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)

Por lo tanto: ABCD es un paralelogramo (un cuadrilátero donde las diagonales se cruzan es un paralelogramo)