Sacar provecho de todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes

De vez en cuando nos toparemos con ejercicios en los cuales deberemos hacer uso de todas las propiedades de las potencias juntas.
Ni bien tienes el ejercicio, intenta deshacerte primeramente de los paréntesis acorde a las propiedades de las potencias y luego, aplica estas propiedades a los términos correspondientes, una después de la otra.

Todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes son:
am×an=a(m+n)a^m\times a^n=a^{(m+n)}
aman=a(mn)\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)}
(a×b)n=an×bn(a\times b)^n=a^n\times b^n
(ab)n=anbn(\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}
(an)m=a(nm)(a^n )^m=a^{(n*m)}
a0=1a^0=1
Cuando a0a≠0
an=1ana^{-n}=\frac {1}{a^n}

Practicar Propiedades de potenciación (exponentes)

Ejercicio #1

42×44= 4^2\times4^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de multiplicación de potencias con bases iguales:

anam=an+m a^n * a^m = a^{n+m}

Con la ayuda de esta propiedad podemos sumar conectar los exponentes.

42×44=44+2=46 4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6

Respuesta

46 4^6

Ejercicio #2

79×7= 7^9\times7=

Solución en video

Solución Paso a Paso

De acuerdo a la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base multiplicadas entre sí, se deben sumar los exponentes.

Según la fórmula:an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Es importante recordar que un número sin potencia equivale a un número elevado a 1, no a 0.

Por lo tanto, si sumamos los exponentes:

79+1=710 7^{9+1}=7^{10}

Respuesta

710 7^{10}

Ejercicio #3

54×25= 5^4\times25=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.

25=5 \sqrt{25}=5 25=52 25=5^2 Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

54×25=54×52=54+2=56 5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6

Respuesta

56 5^6

Ejercicio #4

2423= \frac{2^4}{2^3}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

bmbn=bmn \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n} Lo aplicamos en el problema:

2423=243=21 \frac{2^4}{2^3}=2^{4-3}=2^1 Recordemos que todo número elevado a la 1ª potencia es igual al número mismo, es decir que:

b1=b b^1=b Por lo tanto en el problema obtenemos:

21=2 2^1=2 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

2 2

Ejercicio #5

8132= \frac{81}{3^2}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero reconocemos que 81 es una potencia del número 3, lo que significa que:

34=81 3^4=81 Reemplazamos en el problema:

8132=3432 \frac{81}{3^2}=\frac{3^4}{3^2} Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

bmbn=bmn \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n} Lo aplicamos en el problema:

3432=342=32 \frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

32 3^2

Ejercicio #1

(35)4= (3^5)^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de potencias.(an)m=anm (a^n)^m=a^{n\cdot m}

Utilizamos la propiedad con el ejercicio específico y resolvemos:

(35)4=35×4=320 (3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}

Respuesta

320 3^{20}

Ejercicio #2

(62)13= (6^2)^{13}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(an)m=an×m (a^n)^m=a^{n\times m}

Por lo tanto obtenemos:

62×13=626 6^{2\times13}=6^{26}

Respuesta

626 6^{26}

Ejercicio #3

(26)3= (\frac{2}{6})^3=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(ab)n=anbn (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

(26)3=(22×3)3 (\frac{2}{6})^3=(\frac{2}{2\times3})^3

Simplificamos:

(13)3=1333 (\frac{1}{3})^3=\frac{1^3}{3^3}

1×1×13×3×3=127 \frac{1\times1\times1}{3\times3\times3}=\frac{1}{27}

Respuesta

127 \frac{1}{27}

Ejercicio #4

(4274)2= (\frac{4^2}{7^4})^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(ab)n=anbn (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

(4274)2=(42)2(74)2 (\frac{4^2}{7^4})^2=\frac{(4^2)^2}{(7^4)^2}

Ahora utilizamos la fórmula para multiplicar potencias:

(an)m=an×m (a^n)^m=a^{n\times m}

42×274×2=4478 \frac{4^{2\times2}}{7^{4\times2}}=\frac{4^4}{7^8}

Respuesta

4478 \frac{4^4}{7^8}

Ejercicio #5

(14)1 (\frac{1}{4})^{-1}

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente negativo:

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n} Anotaremos la fracción entre paréntesis como una potencia negativa con la ayuda de la potencia anteriormente mencionada:

14=141=41 \frac{1}{4}=\frac{1}{4^1}=4^{-1} Retornamos al problema, donde obtuvimos:

(14)1=(41)1 \big(\frac{1}{4}\big)^{-1}=(4^{-1})^{-1} Continuamos y usamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Y lo aplicamos en el problema:

(41)1=411=41=4 (4^{-1})^{-1}=4^{-1\cdot-1}=4^1=4 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

4 4

Ejercicio #1

52 5^{-2}

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n} Lo aplicamos en el problema:

52=152=125 5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

125 \frac{1}{25}

Ejercicio #2

828385= 8^2\cdot8^3\cdot8^5=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.

828385=810 8^2\cdot8^3\cdot8^5=8^{10}

Respuesta

810 8^{10}

Ejercicio #3

2102726= 2^{10}\cdot2^7\cdot2^6=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

amanak=am+nak=am+n+k a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k} Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

2102726=210+7+6=223 2^{10}\cdot2^7\cdot2^6=2^{10+7+6}=2^{23} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

223 2^{23}

Ejercicio #4

101021041010= 10\cdot10^2\cdot10^{-4}\cdot10^{10}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

amanak=am+nak=am+n+k a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k} Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Primero tengamos en cuenta que:

10=101 10=10^1 Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

1011021041010=101+24+10=109 10^1\cdot10^2\cdot10^{-4}\cdot10^{10}=10^{1+2-4+10}=10^9

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

109 10^9

Ejercicio #5

(3×4×5)4= (3\times4\times5)^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:

(xy)n=xnyn (x\cdot y)^n=x^n\cdot y^n Lo aplicamos en el problema:

(345)4=344454 (3\cdot4\cdot5)^4=3^4\cdot4^4\cdot5^4 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Nota:

De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.

Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).

Respuesta

344454 3^44^45^4