Las propiedades de las potencias

Sacar provecho de todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes

De vez en cuando nos toparemos con ejercicios en los cuales deberemos hacer uso de todas las propiedades de las potencias juntas.
Ni bien tienes el ejercicio, intenta deshacerte primeramente de los paréntesis acorde a las propiedades de las potencias y luego, aplica estas propiedades a los términos correspondientes, una después de la otra.

Todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes son:
\(a^m\times a^n=a^{(m+n)}\)
\(\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)} \)
\((a\times b)^n=a^n\times b^n\)
\((\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}\)
\((a^n )^m=a^{(n*m)}\)
\(a^0=1\)
Cuando \(a≠0\)
\(a^{-n}=\frac {1}{a^n} \)

Propiedades de la potenciación ejemplos

Ejemplo de un ejercicio para el cual deberemos utilizar todas las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes:

Ejemplo 1.

\((\frac{3}{x})^{-3}\times \frac{(3^{-3})^4\times x^{-2}}{x^{-4}}\)

Sabemos que este ejercicio podría llegar a asustarte mucho pero, confía en nosotros, ya que éste incluye todo lo que ya has estudiado.
La forma de resolverlo es simplemente tratar de averiguar qué puedes hacer con las propiedades de potencias que has aprendido.
¿Vamos?
Al observar el ejercicio veremos que hay términos que están entre paréntesis. Acorde al orden de las operaciones matemáticas, los paréntesis están en el primer lugar, por lo tanto, comenzaremos por ellos.
Veamos el primer término con paréntesis: \((\frac{3}{x})^{-3}\)
Según esta propiedad: \((\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}\)

Nos dará:

\((\frac{3}{x})^{-3}=\frac{3^{-3}}{x^{-3}}\)
Pasemos al segundo término con paréntesis: \((3^{-3})^4\)

Según esta propiedad:
\( (a^n)^m=a^{(n\times m)} \)

Nos dará: 
\((3^{-3})^4=3^{-3=4}=3^{-12}\)

¡Genial! ¡Nos hemos deshecho de los paréntesis! Ahora escribiremos el ejercicio acorde a lo que hemos llegado hasta este momento:

\( \frac{3^{-3}}{x^{-3}}\times\frac{3^{-12}\times x^{-2}}{x^{-4}}= \)

Pon atención a que, entre nuestros dos términos hay una operación de multiplicar.
Por eso, podemos unirlos en un solo término escribiéndolos exactamente como aparecen, pero debajo de una raya fraccionaria.
No nos olvidemos de la multiplicación que hay entre ellos.
Obtendremos:
\(\frac{3^{-3}\times 3^{-12}\times x^{-2}}{x^{-3}\times x^{-4}}\)
Nos daremos cuenta de que, en el ejercicio, hay bases iguales ocultas con operación de multiplicación entre ellas. Por consiguiente, podremos sumar las potencias concernientes.
Según la siguiente propiedad: 
\( a^m\times a^n=a^{(m+n)} \)

Obtendremos:
\( \frac{3^{-15}\times x^{-2}}{x^{-7}} \)

Ya se está viendo mucho mejor ¿Cierto?
Sigamos.
Nos percataremos de que, en el ejercicio que tenemos ahora, se esconde una fracción con igualdad de bases. Siendo así, podremos restar las potencias concernientes.
Según la siguiente propiedad:
\(\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)} \)

Obtendremos:
\( 3^{-15}\times x^5= \)

Pon atención, restamos las potencias -2 y -5:
Cuando se resta menos y menos el resultado, es más.

Hemos llegado a la solución, pero nota que, podrían pedirte que muestres el resultado sólo con potencias positivas.
Podremos transformar la potencia negativa -15 a positiva según la siguiente propiedad:
\(a^{-n}=\frac {1}{a^n} \)

Obtendremos:
\( \frac{1}{3^{15}}\times x^5 \)

Multiplicaremos y obtendremos:
\(\frac{x^5}{3^{15}}\)


Cuanto más practiques el uso de estas propiedades o leyes por separado, más fácil te será aplicarlas juntas y saber cuál de ellas usar primero en un ejercicio complejo.

Acá tienes un ejemplo de ejercicio complejo que requiere el uso de varias propiedades juntas.

Ejemplo 2.

\( (\frac{5X^{X+2}}{Y})^{-3}\times\frac{(X^{-2})^{-4}{\times Y^{-1}}\times5^0}{Y^2}= \)

Wow... Puede ser que estés mirando el ejercicio y te preguntes si tienes alguna idea de por dónde comenzar... Eso es totalmente natural ya que realmente se ve amenazante e incluye muchos signos negativos, fracciones y paréntesis.

Pero no temas, estamos aquí para resolverlo juntos y te daremos recomendaciones para que tengas éxito con ejercicios similares a los que recibirás de aquí en adelante, incluso en los exámenes.

Nuestra primera recomendación para este tipo de ejercicios es que no te atormentes con las fracciones y los negativos, observa los términos que están entre paréntesis.

En el orden de las operaciones matemáticas, ésta es la primera de todas, y es importante que nos deshagamos de los paréntesis.

Comencemos con la primera expresión y recordemos la propiedad de la potencia de un cociente que dice que cada término se eleva a la potencia por separado.

Nos percataremos de que en el numerador ya tenemos una potencia sobre la base X así que utilizaremos la propiedad de la potencia de una potencia.

No nos olvidemos de aplicar la potencia también sobre el coeficiente de la X.

Lo haremos y obtendremos:

\( \frac{5^{-3}\times X^{(X+2)\times(-3)}}{Y^{-3}}\times\frac{(X^{-2})^{-4}\times Y^{-1}\times5^0}{Y^2}= \)

Continuaremos abriendo los paréntesis que hay en el exponente de la X en el numerador del primer miembro y obtendremos:

\( \frac{5^{-3}\times X^{-3X-6}}{Y^{-3}}\times \frac{(X^{-2})^{-4}\times Y^{-1}\times 5^0}{Y^2}= \)

Sabemos que aún no alcanzas a ver cómo se resolverá todo esto, pero oye, ten paciencia. Hemos dado sólo el primer paso.

Ahora pasaremos al segundo término y allí también quitaremos los paréntesis. Aplicaremos la propiedad de potencia de una potencia en la X y obtendremos:

\( \frac{5^{-3}\times X^{-3X-6}}{Y^{-3}}\times \frac{X^{8}\times Y^{-1}\times 5^0}{Y^2}= \)

Ahora nos daremos cuenta de que tenemos un cierto término elevado a 0, y nosotros ya sabemos que, todo término elevado a 0 equivale a 1. Por consiguiente, podemos ignorarlo y escribir el ejercicio de esta manera:

\( \frac{5^{-3}\times X^{-3X-6}}{Y^{-3}}\times \frac{X^{8}\times Y^{-1}}{Y^2}= \)

Ya se está viendo un poco más ordenado, ¿no?

Continuemos.

Nuestra segunda recomendación es juntar las fracciones, sobre todo si hay multiplicación entre ellas. Generalmente, luego de quitar los paréntesis, éste será el siguiente paso.

En efecto, ahora querremos que nos quede una sola fracción. Notaremos que hay multiplicación entre ellas, por lo tanto, podremos hacerlo muy fácilmente.

Notemos que, cuando multiplicamos bases iguales podemos sumar los exponentes y obtener una sola base con un solo exponente.

Calcularemos y obtendremos:

\( \frac{5^{-3}\times X^{-3X+2}\times Y^{-1}}{Y^{-1}}= \)

¡Ah! Esto ya empieza a parecernos algo conocido donde podemos actuar sin temor.

Nos daremos cuenta de que, tanto en el numerador como en el denominador, tenemos una idéntica base y exponente que podemos reducir. Obviamente lo haremos y, de este modo, disolveremos la fracción.

Recibiremos:

\( 5^{-3}\times X^{-3X+2}= \)

¡Excelente! Ahora utilizaremos la propiedad del exponente negativo, convertiremos los términos en fracción de acuerdo con las reglas. Recordaremos que si el exponente negativo es una expresión deberemos alterar los signos de cada uno de los términos de la expresión.

Recibiremos:

\( \frac{1}{5^3}\times \frac{1}{X^{3X-2}}= \)

Podemos unir las fracciones y llegar a:

\( \frac{1}{125X^{3X-2}} \)

¡Hemos terminado!

¿Lo has visto? Bastante simple ¿no?

El truco está en usar las propiedades que aprendiste y entender cuál puedes utilizar en cada caso.

Que no te quepa duda de que, si trabajas despacio y cautelosamente, llegarás al resultado correcto.


Propiedades de las potencias Ejercicios

Ejercicio 1:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 2^3\times2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}= \)

Solución:

Comenzamos resolviendo el producto: \( 2^3\times2^4\)

De acuerdo a la multiplicación de potencias con bases iguales, sumaremos los coeficientes de potencias, \( 3+4 \)

Después la expresión \( \left(4^3\right)^2 \),

De acuerdo a la propiedad de la potencia de una potencia, podemos multiplicar las potencias \( 2\times3=6 \).

Al final, en la expresión \( \frac{2^5}{2^3} \) usamos la propiedad del cociente de la potencia con bases iguales, y mediante ello restamos los coeficientes, \( 5-3=2 \)

Por lo tanto

Respuesta:

\( 2^2+2^7+4^6 \)

NOTA: En este ejercicio podemos escribir el \( 4 \) como \( 2^2 \) y obtener: \(2^2 +2^7 +2^{12}\)


Ejercicio 2:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \left(\left(9xyz\right)^3\right)^4+\left(a^y\right)^x= \)

Solución:

En este ejercicio hay dos leyes centrales, la propiedad de la potencia de una potencia y la potencia de un producto.

Dado que ambas son básicamente operaciones de multiplicación, es posible usar la ley del intercambio en este caso y comenzar multiplicando los coeficientes.

\( 3\times4=12 \)

Usamos la primera ley también para el segundo factor del ejercicio.

\( (x\times y) \)

Y luego usaremos la segunda ley para dar a cada uno de los números entre paréntesis la potencia, y así resulta:

\( 9^{12}\times x^{12}\times y^{12}\times z^{12}+a^{yx} \)

Respuesta:

\( 9^{12}\times x^{12}\times y^{12}\times z^{12}+a^{yx} \)


Ejercicio 3:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( X^3\times X^2:X^5+X^4 \)

Solución:

  • Primero resolvemos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
  • Luego sumas y restas
  • Además, utilizamos las leyes de potencia (Potencia del producto)

\( X^3\times X^2:X^5+X^4= \)

Sumamos las potencias que tienen multiplicación con base igual.

\( X^{2+3}=X^5 \)

\( X^5:X^5+X^4= \)

\( X^5:X^5=1 \)

\( 1+X^4 \)

Respuesta:

\( 1+X^4 \)


Ejercicio 4:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (4\times9\times11)^a \)

Solución:

De acuerdo con la propiedad de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que el valor de la potencia aparece en todo el producto o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación entre los miembros (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada producto

Es decir, cada uno de los productos se potencian.

Por lo tanto \( 4^a9^a11^a \)

Respuesta:

\( 4^a9^a11^a \)


Ejercicio 5:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (x^2\times3)^2= \)

Solución:

En esta consigna hay uso de dos leyes, tanto la multiplicación de potencias como la potencia de una potencia. Cada uno de los productos entre paréntesis recibe la potencia externa, ya que tienen bases diferentes y una operación de multiplicación entre ellos. La potencia dentro del paréntesis se multiplica por la potencia fuera de él, según la ley de una potencia de una potencia.

Por lo tanto:

\( (x^2)^2 \times 3^2=x^4 \times 9 = 9x^4 \)

Respuesta:

\( (x^2\times3)^2=9x^4 \)


Preguntas de repaso

¿Qué es propiedades de las potencias?

Las propiedades de los exponentes son las leyes que nos indican como trabajar con los exponentes. Dependiendo la forma de la expresión o el ejercicio quizá podremos usar alguna de dichas leyes.


¿Cómo se aplican las propiedades de las potencias?

Depende el ejercicio podremos aplicar alguna propiedad de los exponente. Existen propiedades para multiplicación y división de potencias de la misma base, propiedades para potencia de potencia, potencia de productos y cocientes, así como la ley para exponente cero o exponente entero negativo.


¿Cuáles son las propiedades de la potencia y ejemplos?

Las propiedades de los exponentes son las siguientes:

  • Producto de potencias de la misma base: \( a^m\cdot a^n=a^{m+n} \)

Ejemplo: \( 3^2\cdot3^5=3^{2+5}=3^7 \)

  • Cociente de potencias de la misma base: \( \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \)

Ejemplo: \( \frac{5^8}{5^4}=5^{8-4}=5^4 \)

  • Potencia de productos: \( \left(a\cdot b\right)^n=a^nb^n \)

Ejemplo: \( \left(3\cdot5\right)^2=3^2\cdot5^2 \)

  • Potencia de cocientes: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \)

Ejemplo: \( \left(\frac{9}{5}\right)^3=\frac{9^3}{5^3} \)

  • Potencia de potencia: \( \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \)

Ejemplo: \( \left(6^2\right)^5=6^{2\cdot5}=6^{10} \)

  • Potencia con exponente cero: \( a^0=1 \)

Ejemplo: \( 3^0=1 \)

  • Potencia con exponente entero negativo: \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)

Ejemplo: \( 2^{-3}=\frac{1}{2^3} \)