Potencia de una potencia - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Potencia de una potencia

Cuando tengamos una expresión elevada a una potencia que, a su vez, se eleve (entre paréntesis) a otra potencia, podremos multiplicar los exponentes y elevar el número base al resultado de esta multiplicación.

Fórmula de la propiedad

(an)m=a(n×m) (a^n)^m=a^{(n\times m)}
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Practicar Potencia de una potencia

Ejercicio #1

(42)3+(g3)4= (4^2)^3+(g^3)^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(am)n=am×n (a^m)^n=a^{m\times n}

(42)3+(g3)4=42×3+g3×4=46+g12 (4^2)^3+(g^3)^4=4^{2\times3}+g^{3\times4}=4^6+g^{12}

Respuesta

46+g12 4^6+g^{12}

Ejercicio #2

[(17)1]4= [(\frac{1}{7})^{-1}]^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

an=1an a^{-n}=\frac{1}{a^n} Anotaremos la fracción entre paréntesis como una potencia negativa con la ayuda de la potencia anteriormente mencionada:

17=71 \frac{1}{7}=7^{-1} Retornemos al problema, donde obtuvimos:

((17)1)4=((71)1)4 \bigg( \big( \frac{1}{7}\big)^{-1}\bigg)^4=\big((7^{-1})^{-1} \big)^4 Continuamos y usamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Y lo aplicamos en el problema:

((71)1)4=(711)4=(71)4=714=74 \big((7^{-1})^{-1} \big)^4 =(7^{-1\cdot-1})^4=(7^1)^4=7^{1\cdot4}=7^4 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c

Respuesta

74 7^4

Ejercicio #3

Resuelva el ejercicio:

(a5)7= (a^5)^7=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(am)n=am×n (a^m)^n=a^{m\times n}

y por lo tanto obtenemos:

(a5)7=a5×7=a35 (a^5)^7=a^{5\times7}=a^{35}

Respuesta

a35 a^{35}

Ejercicio #4

(a4)6= (a^4)^6=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula

(am)n=am×n (a^m)^n=a^{m\times n}

Por lo tanto obtenemos:

a4×6=a24 a^{4\times6}=a^{24}

Respuesta

a24 a^{24}

Ejercicio #5

((y6)8)9= ((y^6)^8)^9=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Lo aplicamos en el problema:

((y6)8)9=(y68)9=y689=y432 \big((y^6)^8\big)^9=(y^{6\cdot8})^9=y^{6\cdot8\cdot9}=y^{432} Cuando usamos la propiedad antes mencionada dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la última etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente de potencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

y432 y^{432}

Ejercicio #1

(22)3+(33)4+(92)6= (2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(am)n=am×n (a^m)^n=a^{m\times n}

(22)3+(33)4+(92)6=22×3+33×4+92×6=26+312+912 (2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6=2^{2\times3}+3^{3\times4}+9^{2\times6}=2^6+3^{12}+9^{12}

Respuesta

26+312+912 2^6+3^{12}+9^{12}

Ejercicio #2

(4x)y= (4^x)^y=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Mediante la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Lo aplicamos en el problema:

(4x)y=4xy (4^x)^y=4^{xy} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

4xy 4^{xy}

Ejercicio #3

Resuelva el ejercicio:

(x2×3)2= (x^2\times3)^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente en una multiplicación entre paréntesis:

(zt)n=zntn (z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n Esto dice que una potencia aplicada a una multiplicación entre paréntesis se aplica a cada término de la multiplicación cuando se abren los paréntesis,

Lo aplicamos en el problema:

(3x2)2=32(x2)2 (3x^2)^2=3^2(x^2)^2 Cuando en el segundo término de la multiplicación nos ocupamos con cuidado, y esto es porque ya está en una potencia, por eso usamos paréntesis, al término lo trabajaremos usando la ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} y lo aplicamos en el problema:

32(x2)2=9x22=9x4 3^2(x^2)^2=9x^{2\cdot2}=9x^4 Cuando en el primer paso calculamos adicionalmente el resultado de la potencia de la parte numérica, y en el segundo paso calculamos el resultado de la multiplicación del exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

9x4 9x^4

Ejercicio #4

((a2)3)14= ((a^2)^3)^{\frac{1}{4}}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Lo aplicamos en el problema:

((a2)3)14=(a23)14=a2314=a64=a32 \big((a^2)^3\big)^{\frac{1}{4}}=(a^{2\cdot3})^{\frac{1}{4}}=a^{2\cdot3\cdot\frac{1}{4}}=a^{\frac{6}{4}}=a^{\frac{3}{2}} Cuando usamos la propiedad mencionada anteriormente dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la tercera etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente. Mientras recordamos que multiplicar por una fracción en realidad es duplicar el numerador de la fracción y, finalmente, en la última etapa simplificamos la fracción que obtuvimos en el exponente.

Ahora recuerda que -

32=112=1.5 \frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1.5

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

a1.5 a^{1.5}

Ejercicio #5

((b3)6)2= ((b^3)^6)^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula

(am)n=am×n (a^m)^n=a^{m\times n}

Por lo tanto obtenemos:

((b3)6)2=(b3×6)2=(b18)2=b18×2=b36 ((b^3)^6)^2=(b^{3\times6})^2=(b^{18})^2=b^{18\times2}=b^{36}

Respuesta

b36 b^{36}

Ejercicio #1

((143x)2y)5a= ((14^{3x})^{2y})^{5a}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizando la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Aplicamos la ley en la expresión del problema:

((143x)2y)5a=(143x)2y5a=143x2y5a=1430xya ((14^{3x})^{2y})^{5a}=(14^{3x})^{2y\cdot5a}=14^{3x\cdot2y\cdot5a}=14^{30xya} Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias antes mencionada y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante ,

Por lo tanto, del uso de la propiedad sustitutiva en la multiplicación (que se aplica en el exponente de la potencia en la expresión obtenida) se puede concluir que la respuesta correcta es la respuesta D.

Respuesta

1430axy 14^{30axy}

Ejercicio #2

((39)4x)5y= ((3^9)^{4x)^{5y}}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

((39)4x)5y=(39)4x5y=394x5y=3180xy ((3^9)^{4x})^{5y}= (3^9)^{4x\cdot 5y} =3^{9\cdot4x\cdot 5y}=3^{180xy} Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias mencionada anteriormente y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

3180xy 3^{180xy}

Ejercicio #3

((4x)3y)2= ((4x)^{3y})^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Aplicamos esta propiedad en la expresión del problema:

((4x)3y)2=(4x)3y2=(4x)6y ((4x)^{3y})^2= (4x)^{3y\cdot2}=(4x)^{6y} Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada y nos deshicimos del paréntesis exterior, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican términos:

(ab)n=anbn (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

(4x)6y=46yx6y (4x)^{6y} =4^{6y}\cdot x^{6y} Cuando aplicamos la potencia que se aplica a los paréntesis para cada uno de los términos de la multiplicación dentro del paréntesis.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

Respuesta

46yx6y 4^{6y}\cdot x^{6y}

Ejercicio #4

(y3×x2)4= (y^3\times x^2)^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Lo resolveremos en dos pasos, en el primer paso usaremos la ley de potencias a la potencia de un producto entre paréntesis:

(zt)n=zntn (z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n Aquel que afirma que la potencia que afecta a un producto dentro de paréntesis se aplica a cada uno de los elementos del producto al abrir los paréntesis,

Aplicamos la ley en el problema:

(y3x2)4=(y3)4(x2)4 (y^3\cdot x^2)^4=(y^3)^4\cdot(x^2)^4 Cuando abrimos los paréntesis, aplicamos la potencia a cada uno de los términos del producto por separado, pero dado que cada uno de estos términos ya está elevado a una potencia, lo hicimos con precaución y utilizamos paréntesis.

Luego, nos valdremos de la ley de potencias para elevar una potencia a otra

(bm)n=bmn (b^m)^n=b^{m\cdot n} Aplicamos la ley en el problema que obtuvimos:

(y3)4(x2)4=y34x24=y12x8 (y^3)^4\cdot(x^2)^4=y^{3\cdot4}\cdot x^{2\cdot4}=y^{12}\cdot x^8 Cuando en el segundo paso realizamos la operación de multiplicación en los exponentes de potencia de los términos obtenidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.

Respuesta

y12x8 y^{12}x^8

Ejercicio #5

(47)9+2724+(82)5= (4\cdot7)^9+\frac{2^7}{2^4}+(8^2)^5=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver el problema utilizamos dos leyes de potencia, recuérdalas:

A. Propiedad de potencias para términos con bases idénticas:

aman=amn \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} B. Propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n} Aplicaremos estas dos leyes de potencia a la expresión del problema en dos pasos:

Comencemos y apliquemos la ley de potencia especificada en A al segundo término desde la izquierda en la expresión del problema:

2724=274=23 \frac{2^7}{2^4}=2^{7-4}=2^3 Cuando en el primer paso aplicamos la ley de potencias especificada en A y en los siguientes pasos simplificamos la expresión resultante,

Procederemos al siguiente paso y aplicaremos la ley de potencias especificada en B y abordaremos el tercer término desde la izquierda en la expresión del problema:

(82)5=825=810 (8^2)^5=8^{2\cdot5}=8^{10} Cuando en la primera etapa aplicamos la ley de potencias especificada en B y en las siguientes etapas simplificamos la expresión resultante,

Resumamos los dos pasos enumerados anteriormente para resolver el problema general:

(47)9+2724+(82)5=(47)9+23+810 (4\cdot7)^9+\frac{2^7}{2^4}+(8^2)^5= (4\cdot7)^9+2^3+8^{10} En el siguiente paso, calculamos el resultado de multiplicar los términos dentro de los paréntesis en el primer término de la izquierda:

(47)9+23+810=289+23+810 (4\cdot7)^9+2^3+8^{10}=28^9+2^3+8^{10} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

289+23+810 28^9+2^3+8^{10}

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. Potencia de una multiplicación
  2. Potencia de un cociente
  3. Multiplicación de potencias de igual base
  4. División de potencias de igual base
  5. Las Reglas de Potenciación
  6. Combinando potencias y raíces