Potencia de una potencia - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

$(3^5)^4=$

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de potencias.$(a^n)^m=a^{n\cdot m}$

Utilizamos la propiedad con el ejercicio específico y resolvemos:

$(3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}$

$3^{20}$

$(6^2)^{13}=$

Utilizamos la fórmula:

$(a^n)^m=a^{n\times m}$

Por lo tanto obtenemos:

$6^{2\times13}=6^{26}$

$6^{26}$

Resuelva el ejercicio:

$(a^5)^7=$

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

y por lo tanto obtenemos:

$(a^5)^7=a^{5\times7}=a^{35}$

$a^{35}$

$(4^2)^3+(g^3)^4=$

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

$(4^2)^3+(g^3)^4=4^{2\times3}+g^{3\times4}=4^6+g^{12}$

$4^6+g^{12}$

$[(\frac{1}{7})^{-1}]^4=$

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente negativo:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$Anotaremos la fracción entre paréntesis como una potencia negativa con la ayuda de la potencia anteriormente mencionada:

$\frac{1}{7}=7^{-1}$Retornemos al problema, donde obtuvimos:

$\bigg( \big( \frac{1}{7}\big)^{-1}\bigg)^4=\big((7^{-1})^{-1} \big)^4$Continuamos y usamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Y lo aplicamos en el problema:

$\big((7^{-1})^{-1} \big)^4 =(7^{-1\cdot-1})^4=(7^1)^4=7^{1\cdot4}=7^4$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c

$7^4$

$((y^6)^8)^9=$

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$\big((y^6)^8\big)^9=(y^{6\cdot8})^9=y^{6\cdot8\cdot9}=y^{432}$Cuando usamos la propiedad antes mencionada dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la última etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente de potencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

$y^{432}$

$(a^4)^6=$

Utilizamos la fórmula

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

Por lo tanto obtenemos:

$a^{4\times6}=a^{24}$

$a^{24}$

Resuelva el ejercicio:

$(x^2\times3)^2=$

Usamos la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente en una multiplicación entre paréntesis:

$(z\cdot t)^n=z^n\cdot t^n$Esto dice que una potencia aplicada a una multiplicación entre paréntesis se aplica a cada término de la multiplicación cuando se abren los paréntesis,

Lo aplicamos en el problema:

$(3x^2)^2=3^2(x^2)^2$Cuando en el segundo término de la multiplicación nos ocupamos con cuidado, y esto es porque ya está en una potencia, por eso usamos paréntesis, al término lo trabajaremos usando la ley de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$y lo aplicamos en el problema:

$3^2(x^2)^2=9x^{2\cdot2}=9x^4$Cuando en el primer paso calculamos adicionalmente el resultado de la potencia de la parte numérica, y en el segundo paso calculamos el resultado de la multiplicación del exponente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

$9x^4$

$(4^x)^y=$

Mediante la ley de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$(4^x)^y=4^{xy}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

$4^{xy}$

$(2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6=$

Utilizamos la fórmula:

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

$(2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6=2^{2\times3}+3^{3\times4}+9^{2\times6}=2^6+3^{12}+9^{12}$

$2^6+3^{12}+9^{12}$

$((b^3)^6)^2=$

Utilizamos la fórmula

$(a^m)^n=a^{m\times n}$

Por lo tanto obtenemos:

$((b^3)^6)^2=(b^{3\times6})^2=(b^{18})^2=b^{18\times2}=b^{36}$

$b^{36}$

$((a^2)^3)^{\frac{1}{4}}=$

Utilizamos la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Lo aplicamos en el problema:

$\big((a^2)^3\big)^{\frac{1}{4}}=(a^{2\cdot3})^{\frac{1}{4}}=a^{2\cdot3\cdot\frac{1}{4}}=a^{\frac{6}{4}}=a^{\frac{3}{2}}$Cuando usamos la propiedad mencionada anteriormente dos veces, la primera vez para los paréntesis internos en la primera etapa y la segunda vez para los paréntesis restantes en la segunda etapa, en la tercera etapa calculamos el resultado de la multiplicación en el exponente. Mientras recordamos que multiplicar por una fracción en realidad es duplicar el numerador de la fracción y, finalmente, en la última etapa simplificamos la fracción que obtuvimos en el exponente.

Ahora recuerda que -

$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1.5$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

$a^{1.5}$

$((3^9)^{4x)^{5y}}=$

Utilizamos la propiedad de potencias para un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta ley a la expresión del problema:

$((3^9)^{4x})^{5y}= (3^9)^{4x\cdot 5y} =3^{9\cdot4x\cdot 5y}=3^{180xy}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias mencionada anteriormente y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

$3^{180xy}$

$((14^{3x})^{2y})^{5a}=$

Utilizando la propiedad de potencias de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos la ley en la expresión del problema:

$((14^{3x})^{2y})^{5a}=(14^{3x})^{2y\cdot5a}=14^{3x\cdot2y\cdot5a}=14^{30xya}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potencias antes mencionada y nos deshicimos de los paréntesis exteriores, en el siguiente paso aplicamos nuevamente la propiedad de potencias en cuestión y nos deshicimos de los paréntesis restantes, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante ,

Por lo tanto, del uso de la propiedad sustitutiva en la multiplicación (que se aplica en el exponente de la potencia en la expresión obtenida) se puede concluir que la respuesta correcta es la respuesta D.

$14^{30axy}$

$((4x)^{3y})^2=$

Usamos la propiedad de potenciación de un exponente elevado a otro exponente:

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$Aplicamos esta propiedad en la expresión del problema:

$((4x)^{3y})^2= (4x)^{3y\cdot2}=(4x)^{6y}$Cuando en el primer paso aplicamos la propiedad de potenciación antes mencionada y nos deshicimos del paréntesis exterior, en el siguiente paso simplificamos la expresión resultante,

A continuación, recordamos la propiedad de potenciación para una potencia que se aplica a los paréntesis en los que se multiplican términos:

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$Aplicamos esta propiedad en la expresión que obtuvimos en el último paso:

$(4x)^{6y} =4^{6y}\cdot x^{6y}$Cuando aplicamos la potencia que se aplica a los paréntesis para cada uno de los términos de la multiplicación dentro del paréntesis.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción D.

$4^{6y}\cdot x^{6y}$