Multiplicación de potencias - Ejemplos, Ejercicios y Soluciones

Cuando se nos planteen ejercicios o expresiones en donde aparecen multiplicación de potencias de igual base, podremos sumar los exponentes.

El resultado obtenido de la suma de exponentes, será el nuevo exponente y se mantiene la base original.

La fórmula de la regla:
am×an=a(m+n) a^m\times a^n=a^{(m+n)}

No importa cuántos términos haya. Siempre y cuando haya productos de potencias de igual podremos sumar sus exponentes y obtener una nueva que aplicaremos a la base.

Es importante recordar que esta propiedad solo la debemos aplicar cuando aparecen productos de potencias de igual base. Dicho de otra forma, si tenemos una multiplicación de potencias de distinta base, no podemos sumar los exponentes.

Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Temas sugeridos para practicar con anticipación

  1. Potencia de una potencia
  2. Potencia de una multiplicación
  3. Potencia de un cociente

Practicar Multiplicación de potencias

Ejercicio #1

828385= 8^2\cdot8^3\cdot8^5=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.

828385=810 8^2\cdot8^3\cdot8^5=8^{10}

Respuesta

810 8^{10}

Ejercicio #2

¿Cuál de las cláusulas es igual a la siguiente expresión:

a4a5 a^4\cdot a^5 ?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potenciación:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{^{m+n}} Lo que significa que al multiplicar entre números idénticos elevados a alguna potencia (es decir, bases idénticas elevadas a potencias no necesariamente idénticas) se permite insertar en la misma base y sumar los exponentes de los números,
Aplicamos esta propiedad al problema:

a4a5=a4+5=a9 a^4\cdot a^5=a^{4+5}=a^9 Tengamos en cuenta una cosa importante, que esta solución también se puede explicar verbalmente, porque elevar una potencia significa multiplicar el número (la base) por sí mismo como el número de veces que indica el exponente, y por lo tanto la multiplicara a por sí mismo 4 veces y multiplicar el resultado por el resultado de la multiplicacióna a por sí mismo 5 veces es como duplicar a a por sí mismo 9 veces, es decir, la multiplicación entre números idénticos (bases idénticas) elevados a potencias, no necesariamente identidad, se puede calcular ingresando la misma base (mismo número) y sumando los exponentes.

Respuesta

a9 a^9

Ejercicio #3

(35)4= (3^5)^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de potencias.(an)m=anm (a^n)^m=a^{n\cdot m}

Utilizamos la propiedad con el ejercicio específico y resolvemos:

(35)4=35×4=320 (3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}

Respuesta

320 3^{20}

Ejercicio #4

(62)13= (6^2)^{13}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Utilizamos la fórmula:

(an)m=an×m (a^n)^m=a^{n\times m}

Por lo tanto obtenemos:

62×13=626 6^{2\times13}=6^{26}

Respuesta

626 6^{26}

Ejercicio #5

2102726= 2^{10}\cdot2^7\cdot2^6=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Tengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:

amanak=am+nak=am+n+k a^m\cdot a^n\cdot a^k=a^{m+n}\cdot a^k=a^{m+n+k} Cuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,

Retornemos al problema:

Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:

2102726=210+7+6=223 2^{10}\cdot2^7\cdot2^6=2^{10+7+6}=2^{23} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Respuesta

223 2^{23}

Ejercicio #1

42×44= 4^2\times4^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de multiplicación de potencias con bases iguales:

anam=an+m a^n * a^m = a^{n+m}

Con la ayuda de esta propiedad podemos sumar conectar los exponentes.

42×44=44+2=46 4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6

Respuesta

46 4^6

Ejercicio #2

79×7= 7^9\times7=

Solución en video

Solución Paso a Paso

De acuerdo a la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base multiplicadas entre sí, se deben sumar los exponentes.

Según la fórmula:an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Es importante recordar que un número sin potencia equivale a un número elevado a 1, no a 0.

Por lo tanto, si sumamos los exponentes:

79+1=710 7^{9+1}=7^{10}

Respuesta

710 7^{10}

Ejercicio #3

Simplifique la expresión:

a3a2b4b5= a^3\cdot a^2\cdot b^4\cdot b^5=

Solución en video

Solución Paso a Paso

En el ejercicio de multiplicación de potencias sumaremos todas las potencias de un mismo producto, en este caso los términos a,b

Utilizamos la fórmula:

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Vamos a enfocarnos en el término a:

a3×a2=a3+2=a5 a^3\times a^2=a^{3+2}=a^5

Vamos a enfocarnos en el término b:

b4×b5=b4+5=b9 b^4\times b^5=b^{4+5}=b^9

Por lo tanto, el ejercicio que se obtendrá tras la simplificación es:

a5×b9 a^5\times b^9

Respuesta

a5b9 a^5\cdot b^9

Ejercicio #4

k2t4k6t2= k^2\cdot t^4\cdot k^6\cdot t^2=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usando la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Cabe destacar que esta ley sólo es válida para términos con bases idénticas,

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

k2t4k6t2=k2k6t4t2 k^2t^4k^6t^2=k^2k^6t^4t^2 Más adelante aplicamos la mencionada propiedad de multiplicación a cada tipo diferente de término por separado,

k2k6t4t2=k2+6t4+2=k8t6 k^2k^6t^4t^2=k^{2+6}t^{4+2}=k^8t^6 Cuando en realidad aplicamos la propiedad antes mencionada por separado - para los términos cuyas bases sonk k y para los términos cuyas bases sont t Sumamos las potencias en el exponente cuando insertamos todos los términos con la misma base.

La respuesta correcta entonces es la opción b.

Respuesta

k8t6 k^8\cdot t^6

Ejercicio #5

9380=? \frac{9\cdot3}{8^0}=\text{?}

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la fórmula:

a0=1 a^0=1

9×380=9×31=9×3 \frac{9\times3}{8^0}=\frac{9\times3}{1}=9\times3

Sabemos que:

9=32 9=3^2

Por lo tanto, obtenemos:

32×3=32×31 3^2\times3=3^2\times3^1

Usamos la fórmula:

am×an=am+n a^m\times a^n=a^{m+n}

32×31=32+1=33 3^2\times3^1=3^{2+1}=3^3

Respuesta

33 3^3

Ejercicio #1

ababa2 a\cdot b\cdot a\cdot b\cdot a^2

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

ababa2=aaa2bb a\cdot b\operatorname{\cdot}a\operatorname{\cdot}b\operatorname{\cdot}a^2=a\cdot a\cdot a^2\cdot b\cdot b Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

aaa2bb=a1+1+2b1+1=a4b2 a\cdot a\cdot a^2\cdot b\cdot b=a^{1+1+2}\cdot b^{1+1}=a^4\cdot b^2

Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas basea a y para los términos cuyas bases b b y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.

Nota:

Usamos el hecho de que:

a=a1 a=a^1 y lo mismo para b b .

Respuesta

a4b2 a^4\cdot b^2

Ejercicio #2

E6F4E0F7E= E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Cabe recalcar que esta propiedad sólo es válida para términos con bases idénticas,

Retornamos al problema

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

E6F4E0F7E=E6E0EF4F7 E^6\cdot F^{-4}\cdot E^0\cdot F^7\cdot E=E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7 Posteriormente aplicamos la ley de potencias mencionada para cada tipo de término por separado,

E6E0EF4F7=E6+0+1F4+7=E7F3 E^6\cdot E^0\cdot E\cdot F^{-4}\cdot F^7=E^{6+0+1}\cdot F^{-4+7}=E^7\cdot F^3

Cuando en realidad aplicamos la ley antes mencionada por separado - para los términos cuyas baseE E y para los términos cuyas bases F F y sumamos los exponentes cuando insertamos todos los términos con la misma base en la misma base.

La respuesta correcta es entonces la opción d.

Nota:

Usamos el hecho de que:

E=E1 E=E^1 .

Respuesta

E7F3 E^7\cdot F^3

Ejercicio #3

54×25= 5^4\times25=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.

25=5 \sqrt{25}=5 25=52 25=5^2 Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

54×25=54×52=54+2=56 5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6

Respuesta

56 5^6

Ejercicio #4

3x2x32x= 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=

Solución en video

Solución Paso a Paso

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de 3 3

3x2x32x=2x33x 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}

Respuesta

33x2x 3^{3x}\cdot2^x

Ejercicio #5

a3×a4= a^3\times a^4=

Solución en video

Solución Paso a Paso

Tenga en cuenta que es necesario calcular una multiplicación entre términos con bases idénticas, por lo tanto usaremos la propiedad de potencia adecuada:

bmbn=bm+n b^m\cdot b^n=b^{m+n} Tenga en cuenta que en esta propiedad solo se puede utilizar para calcular la multiplicación entre términos con bases idénticas,

Lo aplicamos en el problema:

a3a4=a3+4=a7 a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

a7 a^7

Temas que se aprenden en secciones posteriores

  1. División de potencias de igual base
  2. Las Reglas de Potenciación
  3. Combinando potencias y raíces